S = P/;»SP

ramènera certainement a; à la place que cette variable occupait primitivement dans la fonction 12, si l'on prend pour P^' celle des substitutions (17) qui fait succéder s k 00, puisque alors la substitution inverse P^T' aura pour effet de faire succéder x â s. Donc alors la

EXTRAIT N° 317. kTl

valeur de 5, déterminée par la formule (23), sera, non seulement une dérivée des substitutions (i i) et (17), par conséquent l'une des substitutions qui n'altèrent pas ù, mais encore l'une de celles qui laissent immobile la variable ce. Elle se réduira donc à l'un des termes de la série (17). On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème V. — Soient ù une/onction de n variables indépendantes x,

y, z, ...,et

deux substitutions qui n'altèrent pas sa valeur. Supposons, d'ailleurs, que la substitution P, étant régulière ou irrégulière, déplace la variable x, et que la substitution ($, étant circulaire, déplace les n — i variables y, z, ... en laissant immobile la variable x. Enfin, posons généralement

^;=^'P^/, / étant un nombre entier quelconque, et nommons

I, <S, % Si, ...

le système des substitutions conjuguées qui, sans altérer Ci, déplacent les n — i variables y, z, . . ., ou quelques-unes d'entre elles. Non seulement les n — I termes de la suite

"0^^^ ^ , Pi, P2, • • . , P/2-2>

qui représenteront des substitutions semblables entre elles, seront tous distincts les uns des autres, mais on pourra en dire autant des divers termes du Tableau (19) et des divers termes du Tableau (21); et, par conséquent, si l'on nomme S un terme quelconque de la série (fi), toute substitution de la forme