I, P, Q, R, U, V, VV
qui n'altèrent pas 12 est déterminé par la formule
et ces substitutions se réduisent aux divers termes de chacun des Tableaux (19), (21). Donc alors aussi les substitutions (2) se réduisent aux dérivées de la substitution P, jointe aux substitutions conjuguées
(II) i, (^, % SI, ...
qui n'altèrent pas Q, considéré comme fonction des n — i variables
Corollaire III. — Lorsque, ù étant une fonction transitive de n et même de « — i variables, /z — i est un nombre premier, alors, parmi les substitutions qui, sans altérer (2, déplacent n — i variables, se trouvent nécessairement des substitutions circulaires de l'ordre n— \. Donc alors les substitutions qui n'altèrent pas O se réduisent aux dérivées des substitutions diverses qui laissent la variable x immobile, et d'une seule substitution prise parmi celles qui déplacent la variable x.
§ II. — Sur le nombre des substitutions qui n'altèrent pas une fonction de plusieurs variables indépendantes.
Soient
12 une fonction transitive de n variables x, y, z, . . .; m le nombre de ses valeurs distinctes (2, (2', 12", ... ; Af le nombre de ses valeurs égales.
Soient encore
P l'une des substitutions qui n'altèrent pas la valeur de 12;
C7 le nombre des substitutions semblables à P qui peuvent être formées avec les variables x, y, z, ... ;
h le nombre des substitutions semblables à P qui n'altèrent pas la valeur de 12;
k le nombre de celles des fonctions 12, 12', 12", ... qui ne sont pas altérées par la substitution P.
Comme nous l'avons vu dans le précédent Mémoire, on aura, non seulement
(i) mMz=N,
la valeur de A^ étant
iV= 1.2.3. . .«,
mais encore
(2) M=lh,
la somme qu'indique le signe 2 s'étendant aux divers systèmes de substitutions semblables entre elles, et
(3) hm^nkxxs.
Soit maintenant r le nombre des variables qui restent immobiles quand on effectue la substitution P; soient encore
a, b, c, les nombres égaux ou inégaux qui représentent les ordres des divers
facteurs circulaires de cette substitution réduite à sa plus simple expression. Enfin, pour mieux indiquer la forme de cette substitution à laquelle se rapportent les quantités exprimées par les lettres
plaçons au bas de ces lettres, comme indices, les nombres a, b, c, . .., en écrivant
"^Ufh.c,...} '^a,b,c,...j f^ay/ttC,...
au lieu de cr, h, k. Si l'on nomme Zr„r le nombre total des substitutions qui, sans altérer û, déplacent n — r variables, en laissant les r autres variables immobiles, on aura
(4) Hn-r'=^ha,l>,c,...,
la somme qu'indique le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs de a, b, c, ..., égales ou inégales, mais supérieures à l'unité, qui vérifient l'équation
( 5 ) rt H- ^ 4- c + . . . = « — /'.
Cela posé, la formule (2) donnera simplement (6) M=lJf„^,.,
la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs de r comprises dans la suite
et les valeurs de Ho, H^ étant respectivement
Quant à la formule (3), elle deviendra
Lorsque il est une fonction transitive de /z, de « — i, de /z — 2, . . ., et même de /î — /-h i variables, on peut aux formules (4), (6) et (7) joindre les formules analogues qu'on obtient en considérant Çl comme
fonction de n — i, de n — 2, ou de n — l variables seulement. Dans ces nouvelles formules, analogues aux premières, les quantités
m et ka,h,c,...
conservent toujours les valeurs qu'elles avaient dans les équations (4), (6) et (7). Mais il n'en est plus de même des quantités
dont les v-aleurs sont modifiées. Si, pour fixer les idées, on veut passer des formules (4), (6) et (7) aux formules analogues, qu'on obtiendra en considérant ù comme fonction de « — / variables, on devra, dans les formules (4), (6) et (7), diviser i¥ par le produit
et
par le nombre entier 0„,., que détermine la formule
Ajoutons que les quotients ainsi obtenus devront encore être des nombres entiers.
Dans un prochain article, je donnerai de nombreuses applications des principes établis dans le présent Mémoire et dans ceux qui l'ont précédé. Je ferai voir, en particulier, comment, à l'aide de ces principes, on parvient à constater, non seulement l'existence de la fonction transitive 12 de six variables
qui offre cent vingt valeurs égales, par conséquent six valeurs distinctes, et que l'on peut caractériser en disant qu'elle n'est pas altérée par les dérivées des trois substitutions circulaires
P = {œ,f,z,u,v,w), Q~z{z,y, u,t\',v), H = (y, z,a\i-), OU, ce qui revient au même, par les dérivées des deux substitutions P
ORui-rcs de C. — S. 1, t. IX. 6l
et Q, ou P et R, mais encore l'existence d'une autre fonction transitive des mêmes variables, qui offre soixante valeurs égales, par conséquent douze valeurs distinctes, et que l'on peut caractériser en disant qu'elle n'est pas altérée par les dérivées des trois substitutions régulières
ou, ce qui revient au même, par les dérivées des deux substitutions P^ et Q.
Analyse mathématique. — Applications diverses des principes établis dans les précédents Mémoires.
