C. R., T. XXI, p. i356 (22 décembre i

§ I. — Considérations générales.

Je vais, dans ce paragraphe, rappeler d'abord en peu de mots quelques-unes des formules établies dans les précédents Mémoires, et particulièrement celles qui servent à déterminer le nombre des valeurs que peut acquérir une fonction transitive ou intransitive de plusieurs variables.

Soient

ù une fonction de n variables x, y, ::, ... ;

M le nombre de ses valeurs égales, et

m le nombre de ses valeurs distinctes, lié au nombre M par la formule

(i) mM--N,

dans laquelle

représente le nombre des arrangements divers que l'on peut former avec n lettres.

Si la fonction ù est intransitive, on pourra partager les variables

X, y, z, ... en divers groupes, en s'astreignant à la seule condition de réunir toujours dans un même groupe deux variables dont l'une prendra la place de l'autre, en vertu d'une substitution qui n'altérera pas la valeur de Cî. Il pourra d'ailleurs arriver que certains déplacements de variables comprises dans certains groupes entraînent des déplacements correspondants de variables comprises dans d'autres groupes, en sorte qu'on soit obligé, pour ne pas altérer ù, d'effectuer simultanément ces deux espèces de déplacements. Gela posé, soient

a le nombre des variables comprises dans le premier groupe; h le nombre des variables comprises dans le second groupe; c le nombre des variables comprises dans le troisième groupe; Etc., et

r le nombre des variables dont chacune forme un groupe à elle seule, c'est-à-dire le nombre des variables qui ne peuvent être déplacées sans que la valeur de ù soit altérée;

Soient de plus

A le nombre des valeurs égales que peut acquérir ù en vertu de substitutions correspondantes à des arrangements divers des variables comprises dans le premier groupe;

B le nombre des valeurs égales que peut acquérir Ù en vertu de substitutions qui, sans déplacer les variables du premier groupe, correspondent à des arrangements divers des variables comprises dans le second groupe;

C le nombre des valeurs égales que peut acquérir û en vertu de substitutions qui, sans déplacer les variables des deux premiers groupes, correspondent à des arrangements divers des variables comprises dans le troisième groupe;

Etc.

On aura, non seulement

(2) rt -I- 6 + c-t-. . .-^ /• = «,

i84 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

mais encore (séance du 22 septembre) (3) • M=ABC...,

et par suite, si l'on pose

( 1 . 2 . . . a) ( 1 . 2 . . . 6 ) . . . ( 1 . 2 . . . /■ ) 1. 2 . . . ft

la formule (3), jointe à l'équation (i), donnera

(6) m=DLJl,D!)3

Il est bon de rappeler ici que le nombre désigné par OL dans l'équation (6) est précisément le coefficient du produit

dans le développement de l'expression

Lorsque chacun des groupes auxquels se rapporte la formule (6) renferme le plus petit nombre possible de variables, alors deux variables comprises dans un même groupe sont toujours deux variables dont l'une peut passer à la place de l'autre, sans que la valeur de ù soit altérée. Mais il n'est point nécessaire que cette dernière condition soit remplie; et, si, après avoir distribué les variables en groupes, de manière à la vérifier, on réunit plusieurs groupes en un seul, la formule (6) continuera de subsister. C'est ce qui arrivera en particulier si l'on réduit le système des variables comprises dans les second, troisième, quatrième, ... groupes h un groupe unique composé de />-(-c+... variables. Si, dans cette même hypothèse, le premier groupe ne renferme qu'une seule variable x, on aura

3L^= n, Jla m I ,

et la formule (6) donnera

(7) m = /iilî),

EXTRAIT N° 318. 485 ijb étant le nombre des valeurs distinctes de ù considéré comme fonction des n — i variables j, :;, En conséquence, on pourra énoncer

la proposition suivante :

Théorème I. — Si une fonction de n variables x, y, z, ... est toujours altérée quand on déplace une certaine variable x, le nombre des valeurs distinctes de 12 considéré comme fonction de x, y, z, . . . sera le produit de n par le nombre des valeurs distinctes de ii considéré comme fonction des n — i variables y, z, ....

Si les groupes formés avec les diverses variables sont indépendants les uns des autres, en sorte que des déplacements, simultanément effectués dans les divers groupes, en vertu d'une substitution qui n'altère pas la valeur de ù, puissent aussi s'effectuer séparément, sans altération de cette valeur, alors chacune des quantités désignées par X, ift,, e, ... dans la formule (6) représentera précisément le nombre des valeurs distinctes de Q. considéré comme fonction des seules variables comprises dans le premier groupe, ou dans le second,

ou dans le troisième, Il suit d'ailleurs des principes établis dans

la séance du 6 octobre (pages 336 et suivantes), que l'on pourra effectivement trouver une fonction Q qui offre un nombre de valeurs déterminé par la formule (6), si l'on peut former

avec a lettres, une fonction qui offre ,^1, valeurs distinctes; avec b lettres, une fonction qui offre ilî) valeurs distinctes;

En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème II. — Supposons que l'on partage arbitrairement les n variables X, y, z, . . . en plusieurs groupes dont chacun renferme une ou plusieurs variables. Soient respectivement

les nombres de variables comprises dans le premier, le second, le troisième, . . . groupe, et nommons X le coefficient du produit

dans le développement de l'expression

Si l'on peut former

avec a lettres une fonction qui offre X valeurs distinctes; avec b lettres une fonction qui offre iPo valeurs distinctes; avec c lettres une fonction qui offre S valeurs distinctes;

on pourra former avec les n variables données une fonction intransitive qui offrira m valeurs distinctes, la valeur de m étant déterminée par la formule

Corollaire I. — Il résulte des principes établis dans la séance du 22 septembre que le nombre des valeurs distinctes d'une fonction intransitive de n variables x, y, z, .., est toujours une des valeurs de m que fournit le théorème précédent, non seulement dans le cas où les groupes formés avec ces variables sont tous indépendants les uns des autres, mais aussi dans le cas contraire.

Corollaire IL — Si l'on suppose que les groupes se réduisent h deux, et que le premier groupe, étant indépendant du second, renferme seulement une, ou deux, ou trois, ... variables, alors, à la place du théorème I, on obtiendra la proposition suivante :

Théorème lll. — Avec n variables x, y, z, . . ., on peut toujours former une fonction intransitive qui offre m valeurs distinctes, m étant le produit de n par l'un quelconque des entiers propres à représenter le nombre des valeurs distinctes d'une fonction de n — \ variables, ou le produit du nombre triangulaire — par l'un des facteurs \, i et par l'un quelconque des entiers propres à représenter le nombre des valeurs distinctes

d'une fonction de n — i variables, ou le produit du nombre pyramidal

n(n — i) in — i) ,, i r -^ n i> » .^ par t un des j acteurs i , 2 , o , Ky et par l un quelconque

des entiers propres à représenter le nombre des valeurs distinctes d'une fonction de n — 3 variables, etc.

Supposons maintenant que la fonction Q cesse d'être intransitive et devienne transitive. Alors, en joignant à des résultats déjà connus ceux que nous avons trouvés dans les précédents Mémoires, on obtiendra les propositions suivantes :

Théorème IV. — Si ù est une fonction transitive de n variables x , y , Zy .. ., le nombre m des valeurs distinctes de 0 considéré comme fonction de ces n variables sera encore le nombre m des valeurs distinctes de Q considéré comme fonction des n — i variables y, z, ....

Théorème V. — Ai^ec un nombre quelconque n de variables, on peut toujours former, non seulement des fonctions symétriques dont chacune offrira une seule valeur distincte, mais encore des fonctions dont chacune offre seulement deux valeurs distinctes.

Corollaire I. — Parmi les fonctions qui offrent deux valeurs distinctes, on doit distinguer la fonction alternée, dont les deux valeurs sont égales au signe près, mais affectées de signes contraires. Telle est, en particulier, la fonction de /z variables ^,7, 5, ..., qui se trouve représentée par le produit

dont les facteurs sont des différences entre ces variables rangées dans un ordre quelconque, et combinées deux à deux de toutes les manières po&sibles.

Corollaire IL — Si, ù étant une fonction de x, y, z, ... qui offre seulement deux valeurs distinctes

on pose

la valeur de II étant déterminée par l'équation (8), alors

U et V seront évidemment deux fonctions symétriques de x, y, z Or

des formules (9) on déduit immédiatement l'équation

(10) i2:=ru+vn,

qui, comme Abel en a fait la remarque, détermine la forme générale des fonctions dont les valeurs distinctes sont au nombre de deux seulement. Il est d'ailleurs évident que toute valeur de Q, déterminée par l'équation (10), sera une fonction qui offrira seulement deux valeurs distinctes.

Corollaire IIL — Eu égard au théorème V, le théorème III comprend, comme cas particulier, une proposition énoncée par M. Bertrand, savoir, qu'avec n variables on peut toujours composer une fonction qui offre 2.n valeurs distinctes.

Théorème VI. — Soient

n un nombre entier quelconque ;

I V indicateur maximum correspondant au module n ;

V un diviseur quelconque de n ;

i un diviseur quelconque de I.

On pourra toujours, avec n lettres x, y, z, . . . , former une fonction transitive il qui offre m valeurs distinctes, la valeur de m étant déterminée par la formule