I ) (n) „ mziz j
OU même, plus généralement, par la formule
^ ^ 1 . 2 . 3 . . . ( rt — I ) (12) m— ~ VI
{voir la séance du 6 octobre, page 34 1).
On peut encore, des principes établis dans les séances du 22 septembre et du 6 octobre, déduire immédiatement la proposition suivante :
Théorème VII. — • Soit
n :=z la
un nombre entier, non premier, et par conséquent décomposable en deux
facteurs /, a, dont aucun ne se réduit à l'unité. Si l'on peut former avec a lettres une fonction qui offre X valeurs distinctes, et avec l lettres une fonction qui offre 4^ valeurs distinctes, on pourra former, avec n lettres, une fonction transitive complexe qui offrira mvaleurs distinctes, la valeur de m étant déterminée par la formule
(i3) m — 5iZ!(X^,
dans laquelle on suppose (i4) 9Z
§ II. — Recherche du nombre des valeurs que peut acquérir une fonction transitive ou intransitive qui ne renferme pas plus de six variables.
Fonctions de deux variables.
Si iifist une fonction de deux variables oc, y, le nombre m de ses valeurs distinctes devra être un diviseur du produit
Ce nombre ne pourra donc être que i ou 2. On aura elî'ectivement
m = 2 si la fonction est intransitive,
m = I si elle est symétrique, et par conséquent transitive.
Fonctions de trois variables.
Si ù est une fonction de trois variables x,y, z, le nombre m de ses valeurs distinctes devra être un diviseur du produit
yV=I.2.3=:6.
Ce nombre ne pourra donc être que l'un des termes de la suite
D'ailleurs, il pourra être l'un quelconque d'entre eux. En effet, si la fonction Î2 est supposée intransitive, alors, en vertu du théorème III
Œuvres de C. — S. i, X. W. ^2
du § I, m pourra être le produit du facteur 3 par l'un quelconque des nombres i, 2; en sorte qu'on pourra supposer
m = 3 ou /?î =z 6.
Si, au contraire, la fonction ù est supposée transitive, elle pourra offrir, comme toute fonction d'un nombre quelconque de variables (voirie théorème V du § I), une ou deux valeurs distinctes. C'est ce que prouve aussi le théorème VI du § I ; car, lorsqu'on suppose n = 3, l'indicateur maximum /se réduit au nombre2, et alors les formules (i i) et (12) du § I donnent
Fonctions de quatre variables.
Si ù est une fonction de quatre variables
le nombre m de ses valeurs distinctes sera un diviseur du produit
Ce nombre ne pourra donc être que l'un des termes de la suite
D'ailleurs, il pourra être l'un quelconque de ces termes, ainsi que nous allons l'expliquer.
D'abord, si la fonction £i est supposée intransitive, alors, en vertu du théorème III du § I, le nombre m pourra être le produit du facteur 4 par l'un des nombres
A 3 ou le produit du facteur 6 = -^ par l'un des nombres
ou par le carré de l'un d'entre eux. On pourra donc alors réduire m à
Tun quelconque des termes de l'une des deux suites
c'est-à-dire que l'on pourra prendre pour m l'un quelconque des
nombres
En second lieu, si la fonction (î est supposée transitive, on pourra, en vertu du théorème V du § I, supposer
/n = I ou m =: 2.
Il y a plus : comme l'indicateur maximum / correspondant au module 4 est le nombre 1, on pourra, en vertu du théorème VI du § I, réduire la valeur de m à celle que détermine l'une des formules
On pourra donc former une fonction transitive de trois variables qui offre seulement trois ou six valeurs distinctes.
Il est bon d'observer que, parmi les fonctions de quatre variables, celle qui, n'étant pas altérée par une substitution régulière du second ordre, c'est-à-dire par une substitution de la forme
offre douze valeurs distinctes, est la seule qui présente les quatre variables partagées en deux groupes dépendants l'un de l'autre, non permutables entre eux, et composés chacun de variables que l'on puisse échanger entre elles sans altérer la valeur de la fonction.
Fonctions de cinq variables.
Si û est une fonction des cinq variables
le nombre m de ses valeurs distinctes devra être un diviseur du produit
Ce nombre ne pourra donc être que l'un des termes de l'une des suites
5, 10, i5, 20, 3o, 4oj 6o> '20,
dont on obtient la seconde en multipliant les termes de la première par le facteur 5. Il reste à examiner quels sont les termes de ces deux suites qui pourront effectivement représenter le nombre des valeurs distinctes d'une fonction de cinq variables.
D'abord, si la fonction ù est supposée intransitive, alors, en vertu du théorème III du § I, on pourra prendre pour m un terme quelconque de la seconde suite.
En second lieu, si Q est une fonction transitive des cinq variables X, y, z-. II, V, elle ne pourra être en même temps'intransitive par rapport à quatre variables j, z, u, v que dans le cas où ces quatre variables resteront immobiles ou pourront être partagées en deux groupes dépendants l'un de l'autre, mais non permutables entre eux (séance du 29 septembre, pages 817 et suivantes), et composés chacun de variables que l'on puisse échanger entre elles sans altérer la valeur de Ci, par conséquent, dans le cas où le nombre des valeurs distinctes de £i considéré comme fonction de y, z, w, v serait déterminé par l'une des
formules
En troisième lieu, si (2 est une fonction transitive de cinq variables X, y, z, u, V, et même de quatre variables y, z, u, v, alors m devra se réduire au nombre des valeurs distinctes de ù considéré comme fonction de trois variables s, u, v. Donc alors m ne pourra être que l'un des nombres
Mais on ne pourra supposer le nombre jn inférieur à 5, s'il est supérieur à 2 (séance du 17 novembre). Donc, si la fonction H est transitive par rapport à cinq et à quatre variables, m ne pourra être que l'un des nombres
Ainsi donc, si ù est une fonction transitive des cinq variables
le nombre m des valeurs distinctes de O devra se réduire à l'un des nombres
D'ailleurs, dans cette hypothèse, on pourra prendre effectivement, en vertu du théorème V du § I,
m=zi ou m =: 2,
et, en vertu du théorème VI,
OU
ou même
Donc, en résumé, si (2 est une fonction transitive ou intransitive de cinq variables
le nombre m de ses valeurs distinctes pourra être l'un quelconque des termes de la suite
Fonctions de six variables.
Si ù est une fonction de six variables
le nombre m de ses valeurs distinctes devra être un diviseur du produit
7V=iI.2.3.4.5.6=r: 720.
Mais, si l'on veut savoir quels diviseurs de ce produit pourront être
pris pour m, on devra considérer les divers cas qui peuvent se présenter.
D'abord, si la fonction ù est intransitive, alors, en vertu du théorème III du § I, on pourra prendre pour m, non seulement le produit du facteur 6 par l'un quelconque des entiers
I, 2, 5, 6, lo, 12, i5, 20, 24, 3o, 4o, 60, 120,
qui sont propres à représenter le nombre des valeurs distinctes d'une fonction de cinq variables, mais encore le produit du nombre triangulaire
par l'un des facteurs i, 2 et par l'un quelconque des entiers
qui sont propres à représenter le nombre des valeurs distinctes d'une fonction de quatre variables, et enfin le produit du nombre pyramidal
par deux des facteurs i, 2, 3, 6, ou par le carré de l'un d'entre eux. Donc alors on pourra prendre pour m l'un quelconque des termes de la suite
En second lieu, si Ù est une fonction transitive complexe, dans laquelle les six variables ^r, j, z, u, v, w se partagent en deux groupes de trois lettres ou en trois groupes de deux lettres, qui puissent être échangés entre eux, mais qui soient indépendants les uns des autres, le nombre m des valeurs distinctes de (2 pourra être déterminé à l'aide de l'équation (i3) du § I, par conséquent à l'aide des formules
mr=z- — r—T oJla'z= lOoJU-, q)1» =: I, 2 ou 0,
ou à l'aide des formules
