C. R., T. XXI, p. i4oi (29 décembre i

Dans le précédent Mémoire, j'ai recherché le nombre m des valeurs distinctes que peut acquérir une fonction qui ne renferme pas plus de six variables. Aux diverses valeurs de m que j'ai trouvées, correspondent généralement des fonctions que l'on formera sans peine, si l'on adopte le mode de formation indiqué dans la séance du 6 octobre, attendu qu'il sera généralement facile de déterminer le nombre et la nature des substitutions diverses qui n'altèrent pas les valeurs de ces fonctions. Toutefois, on doit excepter le cas où il s'agit d'une fonction doublement transitive de six variables, c'est-à-dire d'une fonction (2, qui est tout à la fois transitive par rapport à six variables, et transitive par rapport à cinq. Dans ce cas particulier, le nombre m des valeurs distinctes de O se réduit nécessairement au nombre des valeurs distinctes d'une fonction transitive de cinq variables, c'està-dire à l'un des termes de la suite

et, comme nous l'avons dit, on peut effectivement supposer

m = I ou mz=.i.

Mais peut-on prendre pareillement pour m l'un des trois nombres

C'est ce qui nous reste à examiner. On facilite cet examen en appli-

quant successivement les principes que nous avons établis dans les précédents Mémoires aux fonctions transitives de cinq variables, puis aux fonctions doublement transitives de six variables. C'est ce que nous ferons dans les paragraphes suivants.

§ I. — Sur les fonctions qui sont transitives par rapport à cinq variables, et intransitives par rapport à quatre.

Soient (2 une fonction de cinq variables

M le nombre de ses valeurs égales; m le nombre de ses valeurs distinctes.

On aura

par conséquent

(0 mM = i'2.o.

Si d'ailleurs la fonction ù est transitive par rapport aux cinq variables x,y, z, u, V, alors m sera encore le nombre des valeurs distinctes de li considéré comme fonction des quatre variables j, 5, m, (^; donc /?? sera un diviseur du produit

et le facteur 5 du produit

n'étant pas diviseur de w, devra diviser M. On aura effectivement

3ÏL étant le nombre des valeurs égales de Q. considéré comme fonction des quatre variables 7, z, u, v. Cela posé, il résulte d'un théorème énoncé dans la séance du i3 octobre {voir le théorème IV de la

OEuvres de C. — S. I, t. IX. 63

page 36o) que le système des substitutions conjuguées qui n'altéreront pas la valeur de Cï renfermera des substitutions circulaires du cinquième ordre. Soit P l'une de ces substitutions. Comme on peut disposer arbitrairement de la forme des lettres propres à représenter les diverses variables qui devront succéder l'une à l'autre en vertu de la substitution P, rien n'empêchera d'admettre que ces variables sont

respectivement

et, par conséquent, on pourra toujours supposer

Concevons maintenant que la fonction 12 soit tout à la fois transitive par rapport à cinq variables, et intransitive par rapport à quatre. Alors il arrivera de deux choses l'une : ou Q, considéré comme fonction des quatre variables j, :;, w, (^, sera toujours altéré par toute substitution distincte de l'unité, ou les quatre variables j, s, u, v se partageront en deux groupes dépendants l'un de l'autre, et non permutables entre eux (séance du 29 septembre), chaque groupe étant composé de deux variables que l'on pourra échanger entre elles sans altérer la valeur de £1. D'ailleurs, la composition de ces deux groupes sera inaltérable, et par suite, dans le second cas comme dans le premier, toute substitution qui déplacera deux Tau trois variables seulement altérera la valeur de 12. Cela posé, soit Hi le nombre des substitutions qui déplaceront / variables, sans altérer la valeur de 12. On aura, dans l'un et l'autre cas, non seulement

mais encore

Donc les substitutions qui n'altéreront pas la valeur de 12 se réduiront à des substitutions régulières qui déplaceront quatre ou cinq variables (séance du 8 décembre), et les nombres //,,, 7/5 de ces deux espèces de substitutions seront liés au nombre 3/ des valeurs égales de 12 (séance

du 10 novembre) par les deux formules

desquelles on tirera

Donc, dans l'un et l'autre cas, le nombre //g des substitutions circulaires du cinquième ordre qui n'altéreront pas la valeur de ù sera égal à 4» et, en conséquence, ces substitutions ne pourront être que

les puissances

de la substitution P. Ajoutons que, dans le premier cas, il considéré comme fonction de quatre variables offrira 1.2.3.4, c'est-à-dire 24 valeurs distinctes, et qu'alors

sera encore le nombre des valeurs distinctes de Ù considéré comme fonction transitive de cinq variables. Donc alors aussi on aura

et par suite, comme on devait s'y attendre, la seconde des formules (3)

donnera

Alors enfin, le système des substitutions conjuguées qui n'altéreront pas la valeur de i2 se réduira au système

des diverses puissances de P.

Dans le second cas, où les quatre variables j, z, u, v se partageront en deux groupes dépendants l'un de l'autre et permutables entre eux» la seule substitution qui n'altérera pas la valeur de ù considéré comme fonction de j, -, m, v sera le produit de deux facteurs circulaires du

second ordre. Alors aussi, ù considéré comme fonction de quatre variables offrira deux valeurs égales, par conséquent — ou 12 valeurs distinctes, et ( 6 ) m =: 1 2

sera encore le nombre des valeurs distinctes de 12 considéré comme fonction transitive de cinq variables. Donc, par suite, on aura

et le nombre total H., des substitutions régulières du second ordre qui déplaceront quatre des cinq variables œ, y, z, u, v, sans altérer (2, sera égal à 5. Enfin, si l'on nomme Q celle de ces substitutions qui déplacera les quatre variables j, z, u, v, elle pourra être déterminée (voir la séance du 8 décembre, page 456) par une équation symbolique de la forme

a étant un nombre entier convenablement choisi, pourvu que, après avoir assigné la même place dans P et dans P" à la variable x, on réduise P et P'' à de simples arrangements. H y a plus : comme on tirera de la formule (7)

l'équation entraînera la suivante

Donc, puisqu'on ne pourrait supposer a = i sans réduire Q à l'unité, on aura nécessairement

rt tn — r,

et la formule (7) donnera (8) Q

P-^X f xvuzy

P y \xyzav

ou, ce qui revient au même,

D'ailleurs, l'équation (8) pouvant s'écrire comme il suit

(10) QP-^P-'Q, on en conclura généralement

(n) Q^P^'^rP^-u'/^Q^.

Donc les dérivées des substitutions P, Q pourront toutes être présentées sous chacune des formes

En d'autres termes, le système des puissances de P sera permutable avec le système des puissances de Q. Donc les dérivées des deux substitutions P, Q, dont l'une est du cinquième ordre, l'autre du second, formeront un système de substitutions conjuguées dont l'ordre sera