lO

Donc la fonction transitive Q, dont le caractère sera de n'être altérée ni par la substitution

ni par la substitution

offrira effectivement ro valeurs égales, et par conséquent — ou 12 valeurs distinctes.

§ II. — Sur les fonctions gui sont transitives par rapport à cincj et à quatre variables.

Conservons les notations adoptées dans le § I, et supposons d'ailleurs que la fonction 12 soit transitive, non seulement par rapport aux cinq variables 07, j, z, u, v, mais aussi par rapporta quatre variables j, z,

o02 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

M, ç^. Alors le nombre m des valeurs distinctes restera le même pour i2 considéré comme fonction de cinq, de quatre ou même de trois variables. Donc m sera un diviseur du produit

et, puisqu'on ne pourra supposer le nombre m inférieur à 5 quand il surpassera 2, m devra se réduire à l'un des termes de la suite

D'autre part, on formera sans peine des fonctions de a?, j, s, u, v qui offriront une ou deux valeurs distinctes. Il y a plus : il résulte des principes qui servent de base à la théorie des équations binômes, que l'on peut aussi trouver des fonctions de cinq variables qui offrent six valeurs distinctes. Ajoutons que l'on peut encore arriver à cette conclusion de la manière suivante.

Nous avons déjà remarqué (§ I) que, si la fonction £} est transitive par rapport aux cinq variables x,y, z, 11, v, la valeur de Q. ne sera point altérée par des substitutions du cinquième ordre, dont l'une pourra être supposée de la forme

(1) Vr=z{x,y,z,ii,v).

Si d'ailleurs la fonction £1 est transitive par rapport à quatre variables, et offre six valeurs distinctes, en sorte qu'on ait

alors, considéré comme fonction de trois variables, O offrira encore six valeurs distinctes, dont chacune sera toujours altérée par toute substitution qui déplacera seulement ces trois variables ou deux d'entre elles. Donc, si l'on nomme Hi le nombre des substitutions qui déplaceront /variables sans altérer £2, on aura, comme dans le § I,

et, par suite,

Donc les substitutions qui déplaceront les cinq variables x, y, z, u, v sans altérer (2, et qui devront être régulières (séance du 8 décembre), se réduiront aux puissances de P distinctes de l'unité, c'est-à-dire à

D'autre part, puisque 12, considéré comme fonction des quatre variables y, s, w, V, offrira six valeurs distinctes, par conséquent quatre valeurs égales, les substitutions distinctes de l'unité qui déplaceront ces quatre variables, sans altérer 12, seront au nombre de trois seulement, et ces trois substitutions, qui devront être elles-mêmes régulières, pourront être représentées par les expressions symboliques

c'est-à-dire qu'elles se réduiront aux suivantes

/ xz{>yu\ / xuyvz\ ^xvuzy\

\xyzuv ) ^ \xyzuvj' \xyzuvj

que l'on peut écrire sous les formes

(y, -, «s «), (/,",<',-). {7,^){^,")- Elles se réduiront donc aux trois puissances

de la substitution du quatrième ordre

Ce n'est pas tout : comme l'équation (3) donnera

(4) QP = P'Q,

on en conclura

Donc les dérivées des substitutions P, Q pourront toutes être présentées sous chacune des formes

et par suite le système des puissances de P sera permutable avec le système des puissances de Q. Donc les dérivées des deux substitutions P, Q, dont l'une est du cinquième ordre, l'autre du quatrième, formeront un système de substitutions conjuguées, dont l'ordre sera

Donc la fonction transitive dont le caractère sera de n'être altérée ni par la substitution

ni par la substitution

offrira vingt valeurs distinctes, et par conséquent — ou 6 valeurs égales.

D'après ce qu'on vient de voir, lorsqu'une fonction transitive de cinq variables 00, y, z, u, ç offre six valeurs distinctes, les substitutions qui déplacent les quatre variables r, z, u, v sans altérer (i, et en laissant X immobile, sont au nombre de trois. Mais il est clair que trois substitutions semblables peuvent, sans altérer û, déplacer quatre variables, en laissant immobile ou x, ou z, ou m, ou v. Donc le nombre total Hj^ des substitutions qui déplaceront quatre variables, sans altérer ùy sera

Cette conclusion s'accorde avec les formules (3) du § I, dont la seconde, jointe aux équations

donne

^4== 20 — 5 :rrl5.

U est important d'observer que les quinze substitutions dont il s'agit

se trouvent toutes comprises dans les trois formes symboliques

pj' UJ' Ip

desquelles on les déduit, en faisant coïncider successivement la variable à laquelle on assigne la première place, dans la substitution P et dans ses puissances, avec chacune des cinq variables ce, y, z, u, v.