VI. L'expérience et l'analogie peuvent nous

donner des certitudes différentes à peu près évales et quelquefois de même genre : par exemple, je suis presque aussi certain de l'existence de la ville de Constantinople, que je n'ai jamais vue, que de l'existence de la lune que j'ai vue si souvent, et cela parce que les témoignages en grand nombre peuvent produire une certitude presque égale à la certitude physique, lorsqu'ils portent sur des choses qui ont une pleine analogie avec celles que nous conpaissons. La certitude physique doit se mesurer par un nome immense de probabilités, puisque cette certitude est produite par une suite constante d'observations, qui font ce qu'on appelle l'expérience de tous les temps. La certitude morale doit se mesurer par un moindre nombre de probabilités , puisqu'elle ne suppose qu'un certain nombre d'analogies avec ce qui nous est connu.

En supposant un homme qui n’eût jamais rien vu, rien entendu, cherchons comment la croyance et le doute se produiraient dans son esprit : supposons-le frappé pour la première fois par l'aspect du soleil ; il le voit briller au haut des cieux , ensuite décliner et enfin disparaitre; qu'en peut-il conclure ? rien, sinon qu'il a vu le soleil, qu'il l'a vu suivre une certaine route, et qu'il ne le voit plus. Mais cet astre reparait et disparait encore le lendemain; cette seconde vision est une première expérience, qui doit produire en lui l'espérance de revoir le soleil, et il commence à croire qu'il pourrait revenir; cependant il en doute beaucoup. Le soleil reparait de nouveau; cette troisième vision fait une seconde expérience qui diminue le doute autant qu'elle augmente la probabilité d’un troisième retour. Une troisième expérience l'augmente au point qu'il ne doute plus guère que le soleil ne revienne une quatrième fois ; et enfin quand il aura vu cet astre de lumière paraitre et disparaitre régulièrement dix, vingt, cent fois de suite, il croira être certain qu'il le verra toujours paraitre, disparaitre et se mouvoir de la même façon. Plus il aura d'observations semblables, plus la certitude de voir le soleil se lever le lendemain sera grande. Chaque observation, c’est-à-dire chaque jour, produit une probabilité; et la somme de ces probabilités réunies , dès qu’elle est trèsgrande , donne la certitude physique. L'on pourra done toujours exprimer cette certitude par!esnombres, en datant de l'origine du temps

ESSAI

de notre expérience , et il en sera de même de tous les autres effets de la nature : par exemple, si l'on veut réduire ici l'ancienneté du monde et de notre expérience à six mille ans, le soleil ne s’est levé pour nous ! que 2 miilions 190 mille fois; et comme à dater du second jour qu'il s’est levé, les probabilités de se lever le lendemain augmentent, comme la suité 1,2, 4,8, 16,32, 64... Où 221, On aura | lorsque dans la suite naturelle des nombres, » est évale 2,190000); on aura, dis-je, 2 %— 1— 2218999: ce qui est déjà un nombre si prodigieux que nous ne pouvons nous en formér une idée; et c'est par cette raison qu'on doit regarder la certitude physique comme composée d'une immensité de probabilités; puisqu'en reculant la date de la création seulement de deux milliers d'années, cette immensité de probabilités devient 22900 fois plus que 2215299,

VII. Mais il n'est pas aussi aisé de faire l’estimation de la valeur de l’analogie, ni par conséquent de trouver la mesure de la certitude morale; c'est, à la vérité, le degré de probabilité qui fait la force du raisonnement analogique ; et en elle-même l’analogie n’est que la somme des rapports avec les choses connues.

Néanmoins, selon que cette Somme ou ce rapport en général sera plus où moins grand, la conséquence du raisonnement analogique sera plus où moins sûre, sans cependant être jamais absolument certaine : par exemple, qu'un témoin que je suppose de bon sens me dise qu'il vient de naître un enfarit dans cette ville, je le croirai sans hésiter , le fait dela naissance d’un enfant n'ayant rien que de fortordinaire, mais ayant au contraire une infinité de rapports avec les choses connues, c'est-à-dire avec la naissance de tous les autres enfants ; je croirai done ce fait, sans cependant en être absolument certain. Si le même homme me disait que cet enfantest né avec deux têtes, je le croirais encore, mais plus faiblement, un enfant avec deux têtes ayant moins de rapport avec les choses connues. S'il ajoutait que ce nouveau-né a non seulement deux têtes, mais qu’il a encore six bras et huit jambes, j'aurais avec raison bien de la peine à le croire; et cependant quelque faible que fût ma croyance, je ne pourrais la lui refuser en entier; ce monstre , quoique fort extraordinaire, n'étant néanmoins composé que

1 Je dis pour nous, on plutôt pour notre climat, car cela ne serait pas exactement vrai pour lé climat des pôles.

D'ARITHMÉTIQUE MORALE

de parties qui ont toutes quelque rapport avec les choses connues, et n'y ayant que leur assemblage et leurnombre de fort extraordinaire. La force du raisonnement analogique sera done toujours proportionnelle à l'analogie elle-même, c'est-à-dire au nombre des rapports avec les choses connues; et il ne s'agira, pour faire un bon raisonnement analogique, que de se mettre bien au fait de toutes les circonstances, Îles comparer avec les circonstances analogues, sommer lenombre de celles-ci, prendre ensuite un modèle de comparaison auquel on rapportera cette valeur trouvée, et l’on aura au juste la probabilité, c’est-à-dire le degré de force du raisonnement analogique.

VEIT. Il ya donc une distance prodisieuse entre la certitude physique et l'espèce de certitude qu'on peutdéduire dela plupart des analogies: la première est une somme immense de probabilités qui nous force à croire ; l'autre n'est qu'une probabilité plus ou moins grande , et souvent si petite qu'elle nous laisse dans la perplexité. Le doute est toujours en raison inverse de la probabilité ; c'est-à-dire qu'il est d'autant plus grand que la probabilité est pis petite. Dans l'ordre des certitudes produites par l’analogie , on doit placer la certitude morale; elle semble même tenir le milieu entre le doute et la certitude physique; et ce milieu n’est pas un point, mais une ligne très-étendue, et de laquelle il est bien difficile de déterminer les limites. On sent bien que c’est un certain nombre de probabilités qui fait la certitude morale; mais quel est ce nombre, et pouvons-nous espérer de le déterminer aussi précisément que celui par lequel nous venons de représenter la certitude physique ?

Après y avoir réfléchi, j'ai pensé que de toutes les probabilités morales possibles, celle qui affecte le plus l'homme en général, c’est la crainte de la mort, et j'ai senti dès lors que toute crainte ou toute espérance, dont la probabilité serait égale à cellequi produit la crainte de la mort, peut dans le moral être prise pour l'unité à laquelle on doit rapporter la mesure des autres craintes ; et j'y rapporte de même celle des espérances, car il n’y a de différence entre l'espérance et la crainte que celle du positif au négatif; et les probabilités de toutes deux doivent se mesurer de la même manière. Je cherche donc quelle est réellement la probabilité qu'ug homme qui se porte bien, et qui par conséquent n a nulle crainte de la mort, meure

néanmoins dans les vingt-quatre heures. En consultant les Tables de mortalité, je vois qu’on en peut déduire qu'il n’y a que dix mille cent quatre-vingt-neuf à parier contre un, qu’un homme de cinquante-six ans vivra plus d'un jour !. Or, comme tout homme de cet âge, où la raison à acquis toute sa maturité et l'expérience toute sa force, n'a néanmoins nulle crainte de la mort dans les vingt-quatre heures; quoiqu'iln'y ait que dix mille cent quatre-vingt-neuf à parier contre un qu'il ne mourra pas dans ce court intervalle de temps, j'en conclus que

| toute probabilité égale ou plus petite doit être

resardée comme nulle, et que toute crainte ou toute espérance quise trouve au-dessous de dix mille ne doitni nous affecter, ni même nous occuper un seul instant le cœur ou Ja tête ?. Pour me faire mieux entendre, supposons que dans une loterie où il n’y a qu'un seul lot et dix mille billets, un homme ne prenne qu'un billet, je dis que la probabilité d'obtenir le lot n'étant que d'un contre dix mille, son espérance est nulle, puisqu'il r’y a pas plus de probabilité, c'est-à-dire de raison d'espérer le lot, qu'il y en a de craindre Ja mort dans les vingtquatre heures, et que cette crainte ne l’affectant en aucune facon, l'espérance du lot ne doit pas l'affecter davantage, et même encore beaucoup moins, puisque l'intensité de la crainte de la mort est bien plus grande que l'intensité de

+ Voyez le résultat des Tables de mortalité,

? Ayant communiqué cette idée à M Daniel Bernoulli, l'un des plus grands géomètres de notre siècle, et le plus versé de tous dans la science des probabilités, voici la réponse qu'il m'a faite par sa lettre, datée de Bâle, le 19 mars 1762.

« J'approuve fort, monsieur, votre manière d'estimer les « limites des probabiités morales ; vous consultez {a nature « de l'homune par ses actions, et vous suppc:sez en fait, que « personue ne s'inquiète le matin s'il mourra ce jour-là ; cela « étant, comme il meurt, selon vous, un sur dix mille, vous « coucluez qu'un dix-millième de probabilité ne doit faire « aucune impression dans l'esprit de l'homme, etpar con- « séquent que ce dix-millième doit être regardé comme un « rien absolu. C'est sans doute raisonuer en mathématicien « philosophe; mais ce principe ingénieux semble conduire à « une quantité plus petite, car l'exemption de frayeur n'est « assurément pas dans ceux qui sont déjà malades. Je na « combats pas votre principe, mais il paraît plutôt conduire € 60006 IU'à ron00: ”

J'avoue à M. Bernoulli que, coinme le dix-millième est pris d'après les Tables de mortalité, qui ne représentent jamais que l'homme moyen, c'est-à-dire les hommes en géuéral, bien portanls où malades, sains a inlirmes , vigoureux ou faibles , il y a peut-être un peu plus de dix mille à parier contre un, qu'un homme bien portant, sain et vigoureux, ne mourra pas dans les vingt-quatre heures; maïs il s'en fant bien que cette probabilité doive être augmentée jusqu'à cent mille, Au reste, cette différence, quoique très-grande , ne change rien aux principales conséquences que je tire de mon principe,

toute eutre crainte ou de toute autre espérance. Si, malgré l'évidence de cette démonstration, cet homme s'obstinait à vouloir espérer, et qu'une semblable loterie se tirant tous ies jours, il prit chaque jour un nouveau billet, comptant toujours obtenir le lot, on pourrait, pour le détromper, parier avec lui but à but, qu'il serait mort avant d'avoir gagné le lot.

Ainsi dans tous les jeux , les paris, les risques, les hasards; dans tous les cas, en un mot, où la probabilité est plus petite que 5, elle duit être, et elle est en effet pour nous absolumeut nulle, et par la même raison dans tous les cas où cette probabilité est plus grande que 10000 , elle fait pour nous la certitude morale la plus complète.

IX. De là nous pouvons conclure que la certitüude physique est à la certitude morale comme 2°899 : 10000 ; et que toutes les fois qu'un effet, dont nous ignorons absolument la cause, arrive de la même facon, treize ou quatorze fois de suite, nous sommes moralement certas qu'il arrivera encore de même une quinzième fois, car 2 (5 — 8192, et 2'*— 16384, et par conséquent lorsque cet effet est arrivé treize fois, il y a 8192 à parier contre 1 qu'il arrivera une quatorzième fois; et lorsqu'il est arrivé quatorze fois, il y a 16384 à parier contre 1 qu'il arrivera de même une quinzième fois, ce qui est une probabilité plus grande que celle de 10000 contre 1, c'est-à-dire plusgrande que la probabilité qui fait la certitude morale.

On pourra peut-être me dire que, quoique nous n’ayons pas la crainte ou la peur de la mort subite, il s’en faut bien que la probabilité de la mort subite soit zéro, et que son influence sur notre conduite soit nulle moralement. Un homme dont l'âme est belle , lorsqu'il aime quelqu'un, ne se reprocherait-il pas de retarder d'un jour les mesures qui doivent assurer le bonheur de la personne aimée? Si un ami nous confie un dépôt considérable , ne mettonsnous pas le jour même une apostille à ce dépôt? Nous agissons done dans ce cas comme si Ja probabilité de la mortsubite était quelque chose, et nous avons raison d'agir ainsi. Done, l'on ne doit pas regarder la probabiiité de la mort subite comme nulle en général.

Cette espèce d'objection s'évanouira, si l’on considère que l'on fait souvent plus pour les autres que l'on ne ferait pour soi. Lorsqu'on metune apostille au moment même qu'on reçoit

ESSAI

un dépôt, c'est uniquement par honnèteté pour le propriétaire du dépôt, pour sa tranquillité, et point du tout par la crainte de notre mort dans les vingt-quatre heures. J] en est de même de l'empressement qu'on met à faire le bonheur de quelqu'un ou le nôtre : ce n’est pas le sentiment de la crainte d’une mort si prochaine

‘qui nous guide, c’est notre propre satisfaction

qui nous anime; nous cherchons à jouir en tout le plus tôt qu'il nous est possible.

Un raisonnement qui pourrait paraître plus fondé , c'est que tous les hommes sont portés à se flatter ; que l'espérance semble naïtre d’un moindre degré de probabilitéque la crainte; et que par conséquent on n'est pas en droit de substituer la mesure de l'une à la mesure de l’autre. La crainte et l'espérance sont des sentiments et non des déterminations; il est possible, il est même plus que vraisemblable que ces sentiments ne se mesurent pas sur le degré précis de probabilité ; et dès lors doit-on leur donner une mesure égale, ou même leur assigner aucune mesure ?

A cela je réponds que la mesure dont il est question ne porte pas sur les sentiments, mais sur les raisons qui doivent les faire naître, et que tout homme sage ne doit estimer la valeur de ces sentiments de crainte ou d'espérance que par le degré de probabilité; car, quand même la nature, pour le bonheur de l'homme, lui aurait donné plus de pente vers l'espérance que vers la crainte, il n’en est pas moins vrai que la probabilité ne soit la vraie mesure et de l'une et de l’autre. Ce n’est même que par l'application de cette mesure que l’on peut se détromper sur ses fausses espérances , Ou se rassurer sur ses craintes mal fondées.

Avant de terminer cet article, je dois observer qu'il faut prendre garde de se tromper sur ce que j'ai dit des effets dont nous ne connaissons pas la cause; car j'entends seulement les effets dont les causes, quoique ignorées, doivent être supposées constantes, telles que celles des effets naturels. Toute nouvelle découverte en physique, constatée par treize ou quatorze expériences, qui toutes se confirment, a déjà un degré de certitude égal à celui de la certitude morale, et ce degré de certitude augmente du double à chaque nouvelle expérience ; en sorte qu'en les multipliant, l'on approche de plus en plus de la certitude physique. Mais il ne faut pas conclure dece raisonnement, que

D'ARITIHMÉTIQUE MORALE.

les effets du hasard suivent la mème loi: il est vrai qu'en un sens ces effets sont du nombre de ceux dont nous ignorons les causes immédiates ; mais nous savons qu'en général ces causes, bien loin depouvoir êtresupposées constantes, sontau contraire nécessairement variables et versatiles autant qu'il est possible. Ainsi, par la notion même du hasard, il est évident qu'il n'y a nulle liaison, nulle dépendance entre ses effets; que par conséquent le passé ne peut influer en rien sur l'avenir, et l'on se tromperait beaucoup, et même du tout au tout, si l'on voulait inférer des événements antérieurs quelque raison pour ou contre les événements postérieurs. Qu'une carte, par exemple, ait gagné trois fois de suite, il n'en est pas moins probable qu'elle gagnera une quatrième fois, et l'on peut parier également qu'elle gagnera ou qu'elle perdra, quelque nombre de fois qu'elle ait gagné ou perdu, dès que les lois du jeu sont telles queles hasards y sont égaux. Présumer ou croire le contraire, comme le font certains joueurs, c'est aller contre le principe même du hasard, ou ne pas se souvenir que par les conventions du jeu, il est toujours également réparti.

X. Dans les effets dont nous voyons les causes, une seule épreuve suffit pour opérer la certitude physique : par exemple, je vois que dans une horloge le poids fait tourner les roues, et que les roues font aller le balancier ; je suis certain dès lors, sans avoir besoin d'expériences réiterées, que le balancier ira toujours de même, tant que le poids fera tourner les roues. Ceci est une conséquence nécessaire d’un arrangement que nous avons fait nous-mêmes en construisant la machine; mais lorsque nous voyous un phénomène nouveau, un effet dans la nature encore inconnu, comme nous en ignorons les causes , et qu'elles peuvent être constantes ou variables, permanentes ou intermittentes, naturelles ou accidentelles , nous n’avons d’autres moyens pour acquérir la certitude, que l'expérience réitérée aussi souvent qu il est nécessaire. Ici rien ne dépend de nous, et nous ne connaissons qu'autant que nous expérimentons ; nous ne sommes assurés que par l'effet même et par la répétition de l’effet. Dès qu'il sera arrivé treize ou quatorze fois de la même facon , nous avons déjà un degré de probabilité, égal à la certitude morale qu'il arrivera de même une quinzième fois , et de ce point nous pouvons bientôt franchir un intervalle

immense , et conclure par analogie que cet effet dépend des lois générales de la nature, qu'il est par conséquent aussi ancien que tousles autres effets, et qu'il ya certitude physique qu'il arrivera toujours comme il est toujours arrivé, et qu'il ne lui manquait que d'avoir été observé.

Dans les hasards que nous avons arrangés , balancés et calculés nous-mêmes , on ne doit pas dire que nous ignorons les causes des effets : nous ignorons à la vérité la cause immédiate de chaque effet en particulier ; mais nous voyons clairement la cause première et générale de tous les effets. J'ignore , par exemple, et je ne peux même imaginer en aucune façon, quelle est la différence des mouvements de la main, pour passer ou ne pas passer dix avec trois dés, ce qui néanmoins est la cause immédiate de l'événement ; mais je vois évidemment par le nombre et la marque des dés qui sont ici les causes premières et générales, que les hasards sont absolument égaux, qu'il est indifférent de parier qu’on passera ou qu'on ne passera pas dix ; je vois de plus, que ces mêmes événements, lorsqu'ils sesuccèdent, n’ont aucune liaison , puisqu'à chaque coup de dés le hasard est toujours le même, et néanmoins toujours nouveau; que le coup passé ne peut avoir aucune influence sur le coup à venir; quel'on peut toujours parier également pour ou contre, qu'enfin plus long-temps on jouera , plus le nombre des effets pour, et le nombre des effets contre, approcheront de l'égalité : en sorte que chaque expérience donne ici un produit tout opposé à celui des expériences sur les effets naturels, je veux dire , la certitude de l’inconstance au lieu de celle de la constance des causes. Dans ceux-ci chaque épreuve augmente au double la probabilité du retour de l'effet, c'est-à-dire la certitude de la constance de la cause : dans les effets du hasard, chaque épreuve au contraire augmente la certitude de l’inconstance de la cause, en nous démontrant toujours de plus en plus qu'elle est absolument versatile et totalement indifférente à produire l'un ou l'autre de ces effets.

Lorsqu'un jeu de hasard est par sa nature parfaitement égal, le joueur n’a nulle raison pour se déterminer à tel ou tel parti ; car enfin, de l'égalité supposée de ce jeu, il résulte nécessairement qu'il n’y a point de bonnes raisons pour préférer l'un ou l’autre parti; et par

| conséquent si l'on délibérait, l'on ne pourrait

être déterminé que par de mauvaises raisons ; aussi la logique des joueurs m'a paru tout à fait vicieuse, et même les bons esprits qui se permettent de jouer tombent, en qualité de joueurs, dans des absurdités dont ils rougissent bientôt en qualité d'hommes raisonnables.

XI. Au reste, tout cela suppose qu'après avoir balancé les hasards et les avoir rendus égaux , comme au jeu de passe-diæ avec trois dés, ces mêmes dés qui sont les instruments du hasard soient aussi parfaits qu'il est possible, c'est-à-dire qu'ils soient exactement cubiques , que la matière en soit homogène, que les nombres y soient peints et non marqués en creux, pour qu'ils ne pèsent pas plus sur une face que sur l’autre : mais comme il n’est pas donné à l'homme de rien faire de parfait, et qu'il n'y a point de dés travaillés avec cette rigoureuse précision , il est souvent possible de reconnaitre par l'observation de quel côté l'imperfection des instruments du sort fait pencher le hasard. Il ne faut pour cela qu'observer attentivement et longtemps la suite des événements, les compter exactement, en comparer les nombres relatifs ; et si de ces deux nombres l'un excède de beaucoup l’autre, on en pourra conclure , avec grande raison , que l'imperfection des instruments du sort détruit la parfaite égalité du hasard, et lui donne réellement une pente plus forte d'un côté que de l'autre. Par exemple, je suppose qu'avant de jouer au passediæ, l'un des joueurs fût assez fin, ou pour mieux dire, assez fripon pour avoir jeté d’avance mille fois les trois dés dont on doit se servir, et avoir reconnu que dans ces mille épreuves il y en a eu six cents qui ont passé dix, il aura dès lors un très-crand avantage contre son adversaire en pariant de passer, puisque par l'expérience la probabilité de passer dix avec ces mêmes dés sera à la probabilité de ne pas passer dix :: 600 : 400 :: 3 : 2. Cette différence qui provient de l'imperfection des instruments peut donc être reconnue par l'observation , et c'est par cette raison que les joueurs changent souvent de dés et de cartes, lorsque la fortune leur est contraire.

Ainsi quelque obscures que soient les destinées, quelque impénélrable que nous paraisse l'avenir, nous pourrions néanmoins, par des expériences réitérées, devenir, dans quelques cas aussi éclairés sur les événements futurs que le seraient des êtres, ou plutôt des natures supé-

ESSAI

rieures qui déduiraient immédiatement les effets de leurs causes. Et dans les choses même qui paraissent être de pur hasard, comme les jeux etles loteries , on peut encore connaitre la pente du hasard. Par exemple , dans une loterie qui se tire tous les quinze jours , et dont on publie les numéros gagnants, si l’on observe ceux qui ont le plus souvent gagné pendant un an, deux ans, trois ans de suite, on peut en déduire, avec raison, que ces mêmes numéros gagneront encore plus souvent que les autres; car de quelque manière que l’on puisse varier le mouvement et la position des instruments du sort, il est impossible de les rendre assez parfaits pour maintenir l'égalité absolte du hasard; il y a une certaine routine à faire, à placer, à mêler les billets , laquelle dans le sein même de la confusion produit un certain ordre, et fait que certains billets doivent sortir plus souvent que les autres. Il en est de même de l’arrangement des cartes à jouer; elles ont une espèce de suite dont on peut saisir quelques termes à force d'observations ; car en les assemblant chez l’ouvrier on suit une certaine routine, le joueur lui-même en les mêlant a sa routine ; le tout se fait d'une certaine facon plus souvent que d'une autre, et dès lors l'observateur attentif aux résultats recueillis en grand nombre, pariera toujours avec grand avantage qu'une telle carte, par exemple, suivra telle autre carte. Je dis que cet observateur aura un grand avantage, parce que les hasards devant être absolument égaux, la moindre inégalité, c'est-à-dire le moindre degré de probabilité de plus, a de très-crandes influences au jeu, qui n'est en luimême qu'un pari multiplié et toujours répété. Si cette différence reconnue par l'expérience de la pente du hasard était seulement d'un centième, il est évident qu'en cent coups, l'observateur gagnerait sa mise, c'est-à-dire la somme qu'il hasarde à chaque fois; en sorte qu'un joueur muni de ces observations malhonnètes ne peut manquer de ruiner à la longue tous ses adversaires. Mais nous allons donner un puissant antidote contre le mal épidémique de la passion du jeu, et en mème temps quelques préservatifs contre l'illusion de cet art dangereux.

XIT. On sait en général que le jeu est une passion avide, dont l'habitude est ruineuse ; mais cette vérité n'a peut-être jamais été démontrée que par une triste expérience , sur la-

D'ARITHMÉTIQUE MORALE

quelle on n'a pas assez réfléchi pour se corriger par la conviction. Un joueur, dont la fortune, exposée chaque jour aux coups du hasard, se mine peu à peu et se trouve enfin nécessairement détruite, n'attribue ses pertes qu'à ce même hasard qu'il accuse d’injustice ; il regrette également et ce qu'il a perdu et ce qu'il n'a pas gagné ; l'avidité et la fausse espérance lui faisaient des droits sur le bien d'autrui; aussi humilié de se trouver dans la nécessité qu'affligé de n'avoir plus moyen de satisfaire sa cupidité, dans son désespoir il s'en prend à son étoile malheureuse; il n'imagine pas que cette aveugle puissance, la fortune du jeu , marche à la vérité d'un pas indifYérent et incertain ; mais qu'à chaque démarche elle tend néanmoins à un but, et tire à un terme certain, qui estla ruine de ceux qui la tentent ; il ne voit pas que l'indifférence apparente qu'elle a pour le bien ou pour le mal produit avec le temps la nécessité du mal; . qu'une longue suite de hasards est une chaine fatale, dont le prolongement amène le malheur : il ne sent pas qu'indépendamment du dur impôt des cartes et du tribut encore plus dur qu'il a payé à la friponnerie de quelques adversaires , il a passé sa vie à faire des conventions ruineuses ; qu'enfin le jeu par sa nature même est un contrat vicieux jusque dans son principe, un contrat nuisible à chaque contractant en particulier, et contraire au bien de toute société. Ceci n’est point un discours de morale vague, cesont des vérités précises demétaphysique, que je soumets au calcul ou plutôt à la force de la raison ; des vérités que je prétends démontrer mathématiquement à tous ceux qui ont l'esprit assez net et l'imagination assez forte pour combiner sans géométrie et calculer sans algèbre.

Je ne parlerai point de ces jeux inventés par l'artifice et supputés par l’avarice , où le hasard perd une partie de ses droits, où la fortune ne

peut jamais balancer, parce qu'elle est invin- |

ciblement entrainée et toujours contrainte à pencher d’un côté; je veux dire tous ces jeux où les hasards, également répartis, offrent un gain aussi assuré que malhonnèête à l'un, et ne laissent à l'autre qu'une perte sûre et honteuse, comme au pharaon, où le banquier n’est qu'un fripon avoué, et le ponte une dupe, dont on est convenu de ne se pas moquer.

C'est au jeu en général, au jeu le plus égal, el par conséquent le plus honnête que je trouve

une essence vicieuse : je comprends même sous le nom de jeu toutes les conventions . tous les paris où l’on met au hasard une partie de son bien pour obtenir une pareille partie du bien d'autrui; et je dis qu'en général le jeu est un pacte mal entendu, un contrat désavantageux aux deux parties, dont l'effet est de rendre la perte torjours plus grande que le gain, et d'ôter au bien pour ajouter au mal. La démonstration en est aussi aisée qu'évidente.

XIIT. Prenons deux hommes de fortuneégale, qui, par exemple , aient chacun cent mille livres de bien , et supposons que ces deux hommes jouent en un ouplusieurs coups de dés cinquante millelivres, c’est-à-dire lamoitié de leur bien : il est certain que celui qui gagne, n'augmente son bien que d’un tiers, et que celui qui perd diminue le sien de moitié; car chacun d’eux avait cent mille livres avant le jeu : mais après l'événement du jeu , l'un aura cent cinquante mille livres , c’est-à-dire un tiers de plus qu'il n'avait , et l’autre n’a plus que cinquante mille livres , c’est-à-dire moitié moins qu'i n'avait; donc la perte est d’une sixième partie plus grande que le gain; car il y a cette différence entre le tiers et la moitié : done la convention est nuisible à tous deux , et par conse-

quent essentiellement vicieuse.

| Ce raisonnement n’est point captieux, il est vrai et exact, car quoique l’un des joueurs n'ait perdu précisément que ce que l’autre a gagné , cette égalité numérique de la somme n'empêche pas l'inépalité vraie de la perte et du gain ; l'égalité n'est qu'apparente, et l'inégalité très-réelle. Le pacte que ces deux hommes font en jouant la moitié de leur bien, est égal pour l'effet à un autre pacte que jamais personne ne s'est avisé de faire, qui serait de convenir de jeter dans la mer chacun la douzième partie de | son bien. Car on peut leur démontrer, avant | qu'ils hasardent cette moitié de leur bien, que la perte étant nécessairement d’un sixième plus | grande que le gain, ce sixième doit être regardé | comme une perte réelle, qui, pouvant tomber

indifféremment ou sur l’un ou sur l’autre, doit

par conséquent être également partagée.

Si deux hommes s’avisaient de jouer tout leur bien, quel serait l'effet de cette convention ? l'un ne ferait que doubler sa fortune, et l'autre réduirait la sienne à zéro ; or, quelle proportion y a-t-il ici entre la perte et le gain? la même qu'entre tout et rien; le gain de l'un

n'est qu'égal à une somme assez modique, et la perte de l'autre est numériquement infinie , et moralement si grande, que le travail de toute sa vie ne suffirait peut-être pas pour regagner son bien

La perte est donc infiniment plus grande que le gain lorsqu'on joue tout son bien ; elle est plus grande d’une sixième partie lorsqu'on joue la moitié de son bien; elle est plus grande d'une vingtième partie lorsqu'on joue le quart de son bien; en un mot, quelque petite portion de sa fortune qu'on hasarde au jeu, il y a toujours plus de perte que de gain; ainsi le pacte du jeu est un contrat vicieux, et qui tend à la ruine des deux contractants. Vérité nouvelle, mais très-utile , et que je désire qui soit connue de tous ceux qui, par cupidité ou par oisiveté, passent leur vie à tenter le hasard.

On a souvent demandé pourquoi l’on est plus sensible à la perte qu'au gain; on ne pouvait faire à cette question une réponse pleinement satisfaisante, tant qu'on ne s’est pas douté de la vérité que je viens de présenter; maintenant la réponse est aisée : on est plus sensible à la perte qu’au gain, parce qu’en effet, en les supposant numériquement égaux, la perte est néanmoins toujours et nécessairement plus grande que le gain ; le sentiment n’est en général qu'un raisonnement implicite moins clair, mais souvent plus fin, et toujours plus sûr que le produit direct de la raison. On sentait bien que le gain ne nous faisait pas autant de plaisir que la perte nous causait de peine; ce sentiment n'est que le résultat implicite du raisonnement que je viens de présenter.

XIV. L'argent ne doit pas être estimé par sa quantité numérique : sile métal, qui n’est que le signe des richesses, était la richesse même, c'est-à-dire, si le bonheur oules avantages qui résultent de la richesse étaient proportionnels à la quantité de l'argent , les hommes auraient raison de l’estimer numériquement et par sa quantité; mais il s'en faut bien que les avantazes qu'on tire de l'argent soient en juste proportion avec sa quantité . un homme riche à ent mille écus de rente n’est pas dix fois plus heureux que l’homme qui n’a que dix mille écus ; il y a plus, c'est que l'argent, dès qu'on passe de certaines bornes, n'a presque plus de valeur réelle, et ne peut augmenter le bien de celui qui le possède ; un homme qui découvrirait une montagne d’or ne serait pas plus

ESSAI

riche que celui qui n’en trouverait qu'une toise

| cube,

L'argent a deux valeurs, toutes deux arbitraires , toutes deux de convention, dont l’une est la mesure des avantages du particulier, et dont l’autre fait le tarif du bien de la société ; la premiere de ces valeurs n’a jamais été estimée que d'une manière fort vague; la seconde est susceptible d'une estimation juste par la comparaison de la quantité d'argent avec le produit de la terre et du travail des hommes.

Pour parvenir à donner quelques règles précises sur la valeur de l'argent, j'examinerai des cas particuliers, dontl'esprit saisit aisément les combinaisons , et qui, comme des exemples, nous conduiront par induction à l'estimation générale de la valeur de l'argent pour le pauvre, pour le riche, et même pour l’homme plus ou moins sage.

Pour l'homme qui, dans son état, quel qu'il soit, n’a que le nécessaire, l'argent est d'une valeur infinie ; pour l’homme qui, dans son état, abonde en superflu, l'argent n’a presque plus de valeur. Mais qu'est-ce que le nécessaire, qu'est-ce que le superflu? j'entends par le nécessaire , La dépense qu’on est obligé de Jaire pour vivre comme lon a toujours vécu.

avec ce nécessaire on peut avoir ses aises et même des plaisirs; mais bientôt l'habitude en a fait des besoins. Ainsi, dans la définition du superflu , je compterai pour rien les plaisirs auxquels nous sommes accoutumés, et je dis que le superflu est la dépense qui peut nous procurer des plaisirs nouveaux. La perte du nécessaire est une perte qui se fait ressentir infiniment; et lorsqu'on hasarde une partie considérable de ce nécessaire, le risque ne peut être compensé par aucune espérance, quelque grande qu’on la suppose : au contraire, la perte du superflu a des effets bornés; et si dans le superflu même on est encore plus sensible à la perte qu'au gain, c'est parce qu'en effet la perte étant en général toujours plus grande que le gain , ce sentiment se trouve fondé sur ce principe, que le raisonnement n'avait pas développé : car les sentiments ordinaires sont fondés sur des notions communes ou sur des inductions faciles; mais les sentiments délicats dépendent d'idées exquises et relevées, et ne sont en effet que les résultats de plusieurs combinaisonssouvent trop fines pourétreapercues nettement, etpresque toujours trop compliquées pour

D'ARITHMÉTIQUE MORALE

être réduites à un raisonnement qui puisse les démontrer.

XV. Les mathématiciens qui ont caleulé les jeux de hasard, et dont les recherches en ce genre méritent des éloges , n'ont considéré l'argent que comme une quantité susceptible d'augmentation et de diminution, sans autre valeur que celle du nombre ; ils ont estimé par la quantité numérique de l'argent les rapports du gain et de la perte; ils ont caleulé le risque et l'espérance relativement à cette même quantité numérique. Nous considéreronsici la valeur de l'argent dans un point de vue différent; et, par nos principes , nous donnerons la solution de quelques cas embarrassants pour le caleul ordinaire. Cette question, par exemple, du jeu de croix et pile, où l’on suppose que deux hommes (Pierre et Paul) jorient l'un contre l'autre, à ces conditions que Pierre jettera en l'air une pièce de monnaie, autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle présente croix, et que si cela arrive du premier coup, Paul lui donnera un écu ; si cela n'arrive qu'au second coup ; Paul lui donnera deux écus ; si cela n'arrive qu'au troisième coup, il lui donnera quatre écus: si cela n'arrive qu'au quatrième coup, Paul donnera huit écus ; si cela n'arrive qu'au cinquième coup, il donnera seize écus, et ainsi de suite en doublant toujours le nombre des éeus : ilest visible que par cette condition Pierre ne peut que gagner, etqueson gain sera au moins un écu, peut-être deux écus, peut-être quatre écus, peut-être huit écus, peut-être seize écus, peut-être trente-deux écus , ete., peut-être cinq cent douze écus, etc., peut-être seize mille trois cent quatre-vinet-quatre écus, ete., peutétre cing cent vingt-quatre mille quatre cent quarante-huit écus , ete., peut-être même dix millions , cent millions, cent mille millions d'éeus , peut-être enfin une iniinité d'écus. Car il n'est pas impossible de jeter cinq fois, dix fois, quinze fois, vingt fois, mille fois, cent mille fois la pièce sans qu'elle présente croix. On demande donc combien Pierre doit donner à Paul pour l'indemniser , où ce qui revient au même, quelle est la somme équivalente à l'espérance de Pierre, qui ne peut que gagner.

Cette question m'a été proposée pour la première fois par feu M. Cramer , célèbre professeur de mathématiques à Genève, dans un voyage que je fis en cette ville, en l’année 1730;

ment par M. Nicolas Bernoulli à M. de Montmort , comme en effet on la trouve p. 402 et 407 de l'Analyse des jeux de hasard, de cet auteur. Je rèvai quelque temps à cette question sans en trouver le nœud ; je ne voyais pas qu'il fût possible d'accorder le calcul mathématique avec le bon sens, sans y faire entrer quelques considérations morales; et ayant fait part de mes idées à M. Cramer !, il me dit que j'avais

4 Voici ce que j'en laissai alors par écrit à M. Cramer, et dont j'ai conservé la copie originale. « M. de Montmort sC « contente de répondre à M. Nic. Bernoulli, que l'équivalent

«est égal à la somme de la suite & & l j ete., écus, con- « tinuée à l'infini, c'est-à-dire — À , et je ne crois pas qu'en « effet on puisse contester son calcul mathématique ; cepen- «< dant, loin de donner un équivalent iufoi, 1 n'y a point « d'homme de bon sens qui voulût donner vingt évus, ni « ième dix.

« La raison de cette contrariété, entre le calcul mathéma- « tique et le bon sens, me semble consister dans le peu de « proportion qu'il y a entre l'argent et l'avantage qui en ré- « sulte. Un mathématicien, dans son calcul, n'estime l'argent « que par sa quantité , c'est-à-dire par sa valeur numérique ; « mais l'homme moral doit l'esimer autrement etuniquement « par les avantages ou le plaisir qu'il peut procurer; il est « certain qu'il doit se conduire dans cette vue, et n'estimer « l'argent qu'à proportion des avantages qui en résultent , et « non pas relativement à la quantité qui, passé de certaines « borues , ne pourrait aullement augmenter son bouheur ; il « ne serait, par exemple , guère plus heureux avec mille mil- « lious, qu'il le serait avec cent , ni avec cent mille millions, < plus qu'avec mille millions; ainsi, passé de certaines bornes, «il aurait très-graud tort de hasarder son argent. Si, par «exemple, dix mille écus étaient tout son bien , il aurait un « tort infini de les hasarder, et plus ces dix mille écus seront « uu objet par rapport à lui, plus il aura de tort. Je crois « donc que son tort serait infini , Lant que ces dix mille écus « feront une partie de son nécessaire, c'est-à-dire, tant queces « dix mille écus lui seront absolument nécessaires pour vivre « comme il a été élevé et comme il a toujours vécu. Si ces « dix mille écus sont de son superflu , son tort diminue, et « plus ils seront une petite partie de son superflu, et plus son « tort diminuera ; mais il ne sera jamais nul, à moins qu'il ne « puisse regarder cette partie de son superflu comine indiffé- « rente, ou bien qu'il ne regarde la somme espérée comme « nécessaire pour réussir dans un dessein qui lui doanera à « proportion autant de plaisir que cette même somme est « plus grande que celle qu'il hasarde ; et c'est sur cette facon « d'envisager un bouheur à venir, qu'on ne peut point don- « ner de règles: il y a des gens pour qui l'espérance eile- « mème est un plaisir plus grand que ceux qu'ils pourraient « se procurer par la jouissance de leur mise. Pour raisonner « donc plus certainement sur toutes ces choses, il faudrait « établir quelques principes : je dirais, par exemple, que le « nécessaire est égal à la somme qu'on est obligé de dépenser « pour continuer à vivre comme on a toujours vécu ; le né- « cessaire d'un roi sera, par exemple , dix millions de reute « (car un roi qui aurait moins serait un roi pauvre); le né- « cessaire d'un homme de condition sera de dix mille livres de « rente (car uu bomimne de condition qui aurait moins serait «un pauvreseigueur ; le nécessaire d'un paysan sera cinq cents « livres, parce qu'à moins que d'être dans la misère, il ne « peut moins dépenser pour vivre et nourrir sa famille. Je « supposerais que le nécessaire ne peut nous procurer des « plaisirs nouveaux, Où pour parler plus exacteineut, je « compterais pour rien les plaisirs ou avantages que mons

il me dit qu'elle avait été proposée précédem- ! 4 avons toujours eus; et d'après cela, je définivais le supertlu,

raison , et qu'il avait aussi résolu cette question par une voie semblable ; il me montra ensuite sa solution à peu près telle qu'on l'a imprimée depuis dans les Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, en 1738, à la suite d’un Mémoire excellent de M. Daniel Bernoulli, sur {a mesure du sort, où j'ai vu que la plupart des idées de M. Daniel Bernoulli s'accordent avec les miennes; ce qui m'a fait grand plaisir, car j'ai toujours, indépendamment de ses grands talents en géométrie, regardé et reconnu M. Daniel Bernoulli comme l'un des meilleurs esprits de ce siècle. Je trouvai aussi l'idée de M. Cramer très-juste, etdigne d’un homme quinous adonné des preuves de son habileté dans toutes les sciences mathématiques, et à la mémoire duquel je rends cette justice, avec d'autant plus

de plaisir que c'est au commerce et à l'amitié |

de ce savantque j'ai dû une partie des premières connaissances que j'ai acquises en ce genre.

M. de Montmort donne la solution de ce pro-

blème par les règles ordinaires, et il dit que la | somme équivalente à l'espérance de celui qui ne |

peut que gagner est égale à la somme de la suite 4,4, 5, 3,2 3 » écu, ete., continuée à l'infini, et que par conséquent cette somme équivalente est une somme d'argent infinie. La raison sur laquelle est fondé ce caleul, c’est qu'il y a un demi de probabilité que Pierre, quine peut que gagner, aura un éeu; un quart de probabilité qu'il en aura deux ; un huitième de probabilité qu'ilen aura quatre ; un seizième de probabilité qu'il en aura huit; un trente-deuxième de probabilité qu'il en aura seize, ete., à l'infini;

et que par conséquent son espérance pour le | | time l'argent parsa quantité; mais l’hommemoral | doit l’estimer autrement: par exemple, si l'on pro-

premier cas est un demi-écu, car l'espérance se mesure par la probabilité multipliée par la somme qui est à obtenir; or, la probabilité est un demi, et la somme à obtenir pour le premier

«ce qui pourrait nous procurer d'autres plaisirs ou des « avantages nouveaux ; je dirais de plus, que la perte du né- « cessaire se fait ressentir infiniment; qu'ainsi elle ne peut être « compensée par aucune espérance, qu'au contraire le sen- « iment de la perte du superflu est borné, et que par consé- « quent il peut être compensé. Je crois qu'on sent soi-même « cette vérité lorsqu'on joue, car la perte , pour peu qu'elle « soit considérable . nous fait toujours plus de peine qu'un « gain égal ne nous fait de plaisir , et cela sans qu'on puisse y « faire entrer l'amour-propre mortifié, puisque je suppose le « jeu d'entier et pur hasard, Je dirais aussi que la quantité « de l'argent, dans le nécessaire, est proportiounelle à ce qu il «nous en revient; mais que dans le superflu cette proportion « commence à diminuer, et diminue d'autant plus que le su- « perflu devient plus grand.

« Je vous laisse , monsieur, juge de ces idées, etc. Genève, « ce 5 octobre 1750, Signé : Le Clerc de Buffon. »

ESSAI

coup est un écu; donc l'espérance est un demiéeu. De même son espérance pour le second cas est encore un demi-écu, car la probabilité est un quart, et lasomme à obtenir est deux éeus; or, un quart multiplié par deux éeus donne encore un demi-écu. On trouvera de même que son espérance pour le troisième cas est encore un demi-écu; pour le quatrième cas un demiéeu; en un mot, pour tous les cas à l'infini toujours un demi-écu pour chacun, puisque le nombre des écus augmente en même propertion que le nombre des probabilités diminue; done, la somme de toutes ces espérances est une somme d'argent infinie, et par conséquent il faut que Pierre donne à Paul, pour équivalent, la moitié d’une infinité d’écus.

Cela est mathématiquement vrai, et on ne peut pas contester ce caleul; aussi M. de Montmort et les autres géomètres ont regardé cette question comme bien résolue; cependant cette solution est si éloignée d’être la vraie, qu'au lieu de donner une somme infinie , ou même une très-grande somme , ce qui est déjà fort diffé-

rent ,iln'y a point d'homme de bon sens qui

voulüt donner vingt écus ni même dix, pour acheter cette espérance en se mettant à la place de celui qui ne peut que gagner.

XVI. La raison de cette contrariété extraor dinaire du bon sens et du calcul vient de deux causes : la première est que la probabilité doit être regardée comme nulle, dès qu'elle est trèspetite, c’est-à-dire au-dessousde 5; laseconde cause est le peu de proportion qu'il y a entre la quantité de l'argent et les avantages qui en résultent. Le mathématicien, dans son calcul, es-

posait à un homme d’une fortune médiocre de mettre cent mille livres à une loterie, parce qu'il n'y à que cent mille à parier contre un qu'il y gagnera cent mille foiscentmillelivres ,ilestcertain que la probabilité d'obtenir cent mille fois cent mille livres étant un contre cent mille, il est certain, dis-je, mathématiquement parlant, que son espérance vaudra sa mise de cent mille livres; cependant cet homme aurait très-grand tort de hasarder cette somme , et d'autant plus tort, que la probabilité de gagner serait plus petite, quoique l'argent à gagner augmentât à proportion , et cela parce qu'avec cent mille fois cent mille livres, il n'aura pas le double des avantages qu'il aurait avec cinquante mille fois

D'ARITHMÉTIQUE MORALE. ait

cent mille livres, ni dix fois autant d'avantage qu'il en aurait avec dix mille fois cent mille livres; et comme la valeur de l'argent, par rapport à l'homme moral, n’est pas propor tionnelle à sa quantité , mais plutôt aux avantages que l'argent peut procurer, il est visible que cet homme ne doit hasarder qu'à proportion de l'espérance de ces avantages, qu'il ne doit pas calculer sur la quantité numérique des sommes qu'il pourrait obtenir, puisque la quantité de l'argent, au-delà de certaines bornes, ne pourrait plus augmenter son bonheur, et qu'il ne serait pas plus heureux avec cent mille millions de rente, qu'avec mille millions.

XVII. Pour faire sentir la liaison et la vérité de tout ce que je viens d'avancer, examinons de plus près que n'ont fait les géomètres la question que l'on vient de proposer. Puisque le calcul ordinaire ne peut la résoudre à cause du moral qui se trouve compliqué avec le mathématique, voyons si nous pourrons, par d'autres règles, arriver à une solution qui ne heurte pas le bon sens, etqui soit en même temps conforme à l'expérience. Cette recherche ne sera pas inutile, et nous fournira des moyens sûrs pour estimer au juste le prix de l'argent et la valeur de l'espérance dans tous les cas. La première chose que je remarque, c'est que dans le calcul mathématique qui donne pour équivalent de l'espérance de Pierre une somme infinie d'argent, cette somme infinie d'argent est la somme d'une suite composée d'un nombre infini de termes qui valent tous un demi-écu; et je vois que cette suite, quimathématiquement doit avoir une infinité de termes , ne peut pas moralement en avoir plus de trente , puisque si le jeu durait jusqu'à ce trentième terme, c'est-à-dire si croix ne se présentait qu'après vingt-neuf coups, il serait dû à Pierre une somme de 520 millions 870 mille 912 écus, c’est-à-dire autant d'argent qu'il en existe peut-être dans tout le royaume de France. Une somme infinie d'argent est un être de raison qui n'existe pas, et toutes les espérances fondées sur les termes à l'infini qui sont au-delà de trente n'existent pas non plus. Il y a ici une impossibilité morale qui détruit la possibilité mathématique; car il est possible, mathématiquement et même physiquement, de jeter trente fois, cinquante, cent fois desuite, ete., la pièce de monnaie, sans qu'elle présente croix; mais il est impossible de satisfaire à la condition

du problème, c'està-dire de payer lenombred'écus qui serait dù, dans le cas où cela arriverait; car tout l'argent qui est sur la terre ne suffirait pas pour faire la somme qui serait due, seulement au quarantième coup, puisque cela supposerait mille vingt-quatre fois plus d'argent qu'il n'en existe dans tout le royaume de France, et qu'il s'en faut bien que sur toute la terre il y ait mille vingt-quatreroyaumes aussi riches que la France.

Or, le mathématicien n’a trouvé cette somme infinie d'argent, pour l'équivalent à l'espérance de Pierre, que parce que le premier cas lui donne un demi-écu, le second cas un demi-écu, et chaque cas à l'infini toujours un demi-écu ; done l'homme moral, en comptant d'abord de même, trouvera vingt écus au lieu de la somme infinie, puisque tous les termes qui sont au-delà du quarantième donnent des sommes d'argent si grandes qu’elles n'existent pas; en sorte qu'il ne faut compter qu'un demi-éeu pour le premier cas, un demi-écu pour le second , un demi-écu pour le troisième, ete., jusqu'à quarante, ce qui fait en tout vingt écus pour l'équivalent de l’espérance de Pierre, somme déjà bien réduite et bien différente dela somme infinie. Cette somme de vinot écus se réduira encore beaucoup en considérant que le trente-unième terme donnerait plus de mille millions d'écus, c’est-à-dire supposerait que Pierre aurait beaucoup plus d'argentqu'iln'yenadans le plus riche royaume de l'Europe, chose impossible à supposer ; et dès lors, les termes depuis trente jusqu'à quarante sont encore imaginaires, et les espérances fondées sur ces termes doivent être regardées comme nulles; ainsi l'équivalent de l'espérance de Pierre est déjà réduit à quinze écus.

On la réduira encore en considérant que la valeur de l'argent ne devant pas être estimée par sa quantité, Pierre ne doit pas compter que mille millions d'écus lui serviront au double de cinq cent millions d'écus , m au quadruple de deux cent cinquante millions d’écus, etc.; el que par conséquent l'espérance du trentième terme n'est pas un demi-écu, non plus que l'espérance du vingt-neuvième, du vingt-huitième, etc. La valeur de cette espérance ; qui mathématique-

* C'est par cette raison qu'un le nos plus habiles géomètres, feu M. Fontaine, a fait entrer dans la solution quil nons a donnée de ce problème la déclaration du bien de Pierre, parce qu'en effet il ne peut donner pour équivalent que la totalité du bien qu'il possède. Voyez cette solution dans les Mémoires mathématiques de M, Fontaine , in-4° Paris, 1764,

ment se trouve être un demi-écu pour chaque terme, doit être diminuée dès le second terme, et toujours diminuée jusqu'au dernier terme de la suite, parce qu'on ne doit pas estimer la valeur de l'argent par sa quantité numérique.

XVIII, Mais comment donc l'estimer ? comment trouver la proportion de cette valeur suivant les différentes quantités? qu'est-ce donc que deux millions d'argent, si ce n'est pas le double d'un million du même métal? pouvonsuous donner desrègles précises et générales pour cette estimation? Il parait que chacun doit juger son état, et ensuite estimer son sort et la quantité de l'argent proportionnellement à cet état et à l'usage qu'il en peut faire; mais cette manière est encore vague et trop particulière pour qu’elle puisse servir de principe, et je crois qu'on peut trouver des moyens plus généraux et plus sûrs de faire cette estimation. Le premier moyen qui se présente est de comparer le calcul mathématiqueavec l'expérience; car, dans bien des cas, nous pouvons, par des expériences réitérées, arriver, commeje l'ai dit, à connaitre l'effet du hasard, aussi sûrement que si nous le déduisions immédiatement des causes.

J'ai donc fait deux mille quarante-huit expériences sur cette question , c’est-à-dire, j'ai joué deux mille quarante-huit fois ce jeu en faisant jeter la pièce en l'air par un enfant. Les deux mille quarante-huit parties de jeu ont produit dix mille cinquante-sept écus en tout; ainsi, la somme équivalente à l'espérance de celui qui ne peut que gagner est à peu près cinq écus pour chaque partie. Dans cette ex périence il y a eu mille soixante-une parties qui n'ont produit qu'un écu, quatre cent quatreviogt-quatorze parties qui ont produit deux écus, deux cent trente-deux parties qui en ont produit quatre, cent trente-sept parties qui ont produit huit écus, cinquante-six parties { ui en ont produit seize, vingt-neuf parties qui ont produit trente-deux écus, vingt-cinq parties qui en ont produit soixante-quatre, huit parties qui en ont produit cent vingt-huit, et enfin six parties qui en ont produit deux cent cinquante-six. Je tiens ce résultat général pour bon, parce qu'il est fondé sur un grand nombre d'expériences, et que d’ailleurs il s'accorde avec

uautreraisonnementmathématiqueetinconteslable, par lequel on trouve à peu près ce même équivalent de cinq écus. Voici ce raisonne-

ESSAI

ment. Si l'on joue deux mille quarante-huit parties, il doit y avoir naturellement mille vingtquatre parties qui ne produiront qu’un écu chacune, cinq cent douze parties qui en produiront deux , deux cent cinquante-six parties qui en produiront quatre, cent vingt-huit parties qui en produiront huit, soixante-quatre parties qui en produiront seize , trente-deux parties qui en produiront trente-deux, seize parties qui en produiront soixante-quatre , huit parties qui en produiront cent vingt-huit, quatre parties qui en

| produiront deux cent cinquante-six, deux par-

ties qui en produiront cinq cent douze, une partie qui produira mille vingt-quatre, et enfin une partie qu'on ne peut pas estimer, mais qu'on peut négliger sans erreur sensible, parce que je pouvais supposer , sans blesser que tres-

légèrement l'égalité du hasard , qu'il y aurait

mille vingt-cinq au lieu de mille vingt-quatre parties quine produiraientqu'un éeu. D'ailleurs, l'équivalent de cette partie, étant mis au plus fort, ne peut être de plus de quinze écus, puisque l'on a vu que pour une partie de ce jeu, tous les termes au-delà du trentième terme de la suite donnent des sommes d'argent si grandes qu'elles n'existent pas, et que par conséquent le plus fort équivalent qu'on puisse supposer est quinze écus. Ajoutant ensemble tous ces écus, que je dois naturellement attendre de l'indifférence du hasard , j'ai onze mille deux cent soixante-cinq écus pour deux mille quarante-huit parties. Ainsi ce raisonnement donne à très-peu près cinq écus et demi pour l’équivalent, ce qui s'accorde avec l'expérience à près. Je sens bien qu'on pourra m'objecter que cette espèce de calcul, qui donne cinq écus et demi d’équivalent lorsqu'on joue deux mille quarantehuit parties, donneraitun équivalent plus grand, si on ajoutait un beaucoup plus grand nombre de parties; car, par exemple, il se trouve que si au lieu de jouer deux mille quarante-huit parties, on n'en joue que mille vingt-quatre , l’équivalent est à très peu près cinq écus; que si l'on ne joue que cinq cent douze parties, l'équivalent n'est plus que quatre écus et demi à trèspeu près; que si l’on n’en joue que deux cent cinquante-six, il n’est plus que quatre écus, et ainsi toujours en diminuant; mais la raison en est que le coup qu’on ne peut pas estimer fait alors une partie considérable du tout , et d'autant plus considérable, qu’on joue moins de parties, et que par conséquentil faut un grand

D'ARITHMÊTIQUE MORALE.

nombre de parties, comme mille vingt-quatre ou deux mille quarante-huil, pour que ce coup puisse être regardé comme de peu de va'eur, ou même comme nul. En suivant la même marche, on trouvera que si l'on joue un million quarantehuit mille cinq cent soixanteseize parties , l'équivalent par ce raisonnement se trouverait être à peu près dix éeus. Mais on doit considérer tout dans la morale, et par là on verra qu'il n'est pas possible de jouer un million quarante-huit mille cinq cent soixante-seize parties à ce jeu : car, à ne supposer que deux minutes de temps pour la duréede chaque partie, y compris le temps qu'il faut pour payer , ele., on trouverait qu'il faudrait jouer pendant deux millions quatre-vingt-dix-sept-mille cent cinquante-deux minutes, c'est-à-dire, plus de treize ans de suite, six heures parjour, ce qui est une convention moralement impossible. Et si l'on y fait attention , on trouvera qu'entre ne jouer qu'une partie, et jouer le plus grand nombre de parties moralement possibles, ce raisonnement, qui donne des équivalents différents pour tous les différents nombres de parties, donne pour l'équivalent moyen cinq éeus. Ainsi je persiste à dire que la somme équivalente à l'espérance de celui qui ne peut que gagner est cinq écus , au lieu de la moitié d'une somme infinie d'écus, comme l'ont dit les mathématiciens, et comme leur calcul parait l'exiser.

XIX. Voyons maintenant si, d'après cette détermination, il ne serait pas possible de tirer la proportion de la valeur de l'argent par rapport aux avantages qui en résultent.

La progression des 1 1,448 Las 4 { La progression des sommes d'argent à ob- | tenirest1,2, 4, 8216 52,64, 1282562

La somme de toutes ces probabilités, multipliée par celle de toutes les sommes d'argent à obtenir, est ?, qui est l'équivalent donne par le calcul mathématique , pour l'espérance de celui qui ne peut que gagner. Mais nous avons vu que cette somme % ne peut, dans le réel, être que cinq éeus : il faut donc chercher une suite telle que la somme multipliée par la suite des probabilités soit évale à cinq écus; et cette suite étant géométrique comme celle des probabilités, on trouvera qu'elle est... 1,9,%, FE ES, AU JEU (ess... 11, 2, 4, 8, 16, 32. Or, cette suite 1, 2, 4, 8, 16,

A5 32, ete, représente la quantité de l'argent, et par conséquent sa valeur numérique et mathémaltique.

Et l'autre suite 1, 2,51, 743, GA, 00, représente la quantité géométrique de l'argent donnée par l'experience, et par conséquent sa valeur morale et réelle.

Voilà done une estimation générale et assez juste de la valeur de l'argent dans tous les cas possibles, et indépendamment d'aucune supposition. Par exemple, l'on voit, en comparant les deux suites, que deux mille livres ne produisent pas le double d'avantages de mille livres; qu'il s’en faut À, et que deux mille livres ne sont dans le moral et dans la réalité que ? de deux mille livres, c'est-à-dire dix-huit cents livres. Un homme qui a vingt mille livres de bien ne doit pas l’estimer comme le double du bien d'un autre qui a dix mille livres, car il n’a réellement que dix-huit mille livres d'argent de cette même monnaie, dont la valeur se compte par les avantages qui en résultent; et de même un homme qui a quarante mille livres n'est pas quatre fois plus riche que celui qui a dix mille livres, car il n’est en comparaison réellement riche que de 32 mille 400 livres; un homme qui a 80 mille livres n'a, par la même règle, que 58 mille 300 livres; celui qui a 160 mille livres ne doit compter que 104 mille 900 livres, c'est-à-dire que quoiqu'il ait seize fois plus de bien que le premier, il n'a guère que dix fois autant de notre vraie monnaie. De même encore un homme qui a trente-deux fois autant d'argent qu'un autre, par exemple 320 mille livres, en comparaison d'un homme qui a 10 mille livres, n’est riche dans la réalité que de 188 mille livres, c'est-à-dire dix-huit ou dix-neuf fois plus riche, au lieu de trente-deux fois , ete.

L'avare est comme le mathématicien : tous deux estiment l'argent par sa quantité numérique : l'homme sensén’en considère ni la masse ni le nombre, iln’y voit que les avantages qu'il peut en tirer; il raisonne mieux quel'avare, et sent mieux que le mathématicien. L’écu que le pauvre a mis à part pour payer un impôt de nécessité , et l’écu qui complète les sacs d'un financier. n'ont pour l’avare et pour le mathématicien que la même valeur; celui-ci les comptera par deux unités égales ; l’autre se les appropriera avee un plaisir égal ; au lieu que l'homme sensé comptera l'éeu du pauvre pour

un louis, ve l'éeu du financier pour un liard.

XX. Une autre considération qui vient à l'appui de cette estimation de la valeur morale de l'argent, c'est qu'une probabilité doit être regardée comme nulle dès qu'elle n'est que 56 c'est-à-dire, dès qu'elle est aussi petite que la crainte non sentie de La mort dans les vingtquatre heures. On peut même dire qu'attendu l'intensité de cette crainte de la mort qui est bien plus grande que l'intensité. de tous les autres sentiments de crainte ou d'espérance. l'on doit regarder comme presque nulle, une crainte ou une espérance qui n'aurait que x de probabilité. L'homme le plus faible pourrait tirer au sort sans aucune émotion, si le billet de mort était mêlé avec dix milie billets de vie; el l'homme ferme doit tirer sans crainte, si ce billet est mêlé sur mille : ainsi, dans tous les cas où la probabilité est au-dessous d’un millième, on doit la regarder comme presque nulle. Or, dans notre question, la probabilité se trouvant être ,4,, dès le dixième terme de la suite 5, 4, Lo 25) do à280 286) S19 7075 il S'ensuit que, moralement pensant, nous devons négliger tous les termes suivants, et borncr toutes nos espérances à ce dixième terme; ce qui produit encore cirq écus pour l'équivalent que nous avons cherché, et confirme par conséquent la justesse de notie détermination.

En réformant et abrégeant ainsi tous les caleuls où la probabilité devient plus petite qu'un millième, il re restera plus de contradiction entre le calcul mathématique et le bon sens.

Toutes les difficultés de ce genre disparaissent. L'homme pénétré de cette vérité ne se livrera plus à de vaines espérances ou à de fausses craintes ; il ne donnera pas volontiers son écu pour en obtenir mille, à moins qu'il ne vois clairement que la probabilité est plus grande qu'un millième. Enfin il se corrigera du frivole espoir de faire une grande fortune avec de petits moyens.

XXI. Jusqu'ici je n'ai raisonné et caleulé que pour l’homme vraiment sage, qui ne se déterraine que par le poids de la raison; mais ne devons-nous pas faire aussi quelque attention à ce grand numbre d'hommes que l'illusion ou la passion déçoivent, et qui souvent sont fort aises d'être déçus? n'y a-t-il pas même à perdre en présentant toujours les choses telles qu'elles sont ? L'espérance, quelque petite qu'en soit la probabilité, n'est-elle pas un bien pour tous les

ESSAI

hommes, et le seul bien des malheureax ? Après avoir calculé pour le sage, caleulons done aussi pour l'homme, bien moins rare, qui jouit de ses erreurs souvent plus que de sa raison. Indépendamment des cas où faute de tous moyens, une lueur d’espoir est un souverain bien; indé

pendamment de ces circonstances où le cœur agité ne peut se reposer que sur les objets de son illusion, et ne jouit que de ses désirs, n'y a-t-il pas mille et mille occasions ou la sagesse même doit jeter en avant un volume d’espérance au défaut d'une masse de bien réel? Par exemple, la volonté de faire le bien, reconnue dans ceux qui tiennent les rênes du gouvernement, füt-elle sans exercice, répand sur tout un peuple une somme de bonheur qu’on ne peut estimer; l'espérance, füt-elle vaine, est done un bien réel, dont la jouissance se prend par anticipation sur tous les autres biens. Je suis forcé d’avouer que la pleine sagesse ne fait pas le plein bonheur de l’homme, que malheureusement la raison seule n'eut en tout temps qu'un petit nombre d’auditeurs froids, et ne fit jamais d'enthousiastes ; que l'homme comblé de biens ne se trouverait pas encore heureux s’il n’en espérait de nouveaux; que le superflu devient avec le temps chose très-nécessaire, et que la seule différence qu'il y ait ici entre le sage et le non sase, c'est que ce dernier, au moment même qu'il lui arrive une surabondance de bien, convertit ce beau superflu en triste nécessaire, et monte son état à l'égal de sa nouvelle fortune; tandis que l’homme sage, n'usant de cette surabondance que pour répandre des bienfaits et pour se procurer quelques plaisirs nouveaux, ménage la consommation de ce superflu, en même temps qu'il en multiplie la jouissance.

XXII. L'étalage de l'espérance est le leurre de tous les pipeurs d'argent. Le grand art du faiseur de loterie est de présenter de grosses sommes avec de très-petites probabilités, bientôt enflées par le ressort de la cupidité. Ces pipeurs grossissent encore ce produit idéal en le partageant, et donnant pour un très-petit argent, dont tout le monde peut se défaire, une espérance qui, quoique bien plus petite, parait participer de la grandeur de la somme totale. On ne sait pas que quand la probabilité est au-dessous d'un millième , l'espérance devient nulle, quelque grande que soit la somme promise, puisque toute chose, quelque grande

D'ARITIHMÉTIQUE MORALE.

qu'elle puisse être, se réduit à rien dès qu’elle est nécessairement multipliée par rien, comme l'est ici la grosse somme d'argent multipliée par

la probabiliténulle, comme l'est en général tout

nombre qui, multiplié par zéro, est toujours zéro. On ignore encore qu'indépendamment de cette réduction des probabilités à rien, dès qu'elles sont au-dessous d’un millième , l’espé rance souffre un déchet successif et proportiunnel à la valeur morale de l'argent, toujours moindre que sa valeur numérique, en sorte que celui dont l'espérance numérique parait double de celle d’un autre n’a néanmoins que ? d'espérance réelle au lieu de 2; et que de même celui dont l'espérance numérique est 4, n’a que 3% de cette espérance morale, dont le produit est le seul réel ; qu'au lieu de 8, ce produit n’estque 5 %; qu'aulieu de 16, iln'est que 10 ÿff; au lieu de 32, 18 #2; au lieu de 64, 34,$L;:

au lieu de 128, 61 “j£; au lieu de 256, 110 SU; au lieu de 512, 198 TA; au lieu de 1024, 357 SE, ete.; d'où l'on voit combien l'espérance morale diffère dans tous les cas de l'espérance numérique pour le produit réel qui en résulte. L'homme sage doit donc rejeter comme fausses toutes les propositions, quoique démontrées par le calcul, où la très-grande quantité d'argent semble compenser la très-petite probabilité ; et s'il veut risquer avec moins de désavantage, il ne doit jamais mettre ses fonds à la grosse aventure; il faut les partager. Hasarder cent mille francs sur un seul vaisseau, ou vingt-cinq mille francs sur quatre vaisseaux, n’est pas la même chose ; car on aura cent pour le produit de l'espérance morale dans ce dernier cas, tandis qu'on n'aura que quatre-vingtun pour ce même produit dans le premier cas.

C'est par cette même raison que les commerces les plus sûrement lucratifs sont ceux où la masse du débit est divisée en un grand nombre de créditeurs. Le propriétaire de la masse ne peut essuyer que de légères banqueroutes; au lieu qu'il n’en faut qu'une pour le ruiner, si cette masse de son commerce ne peut passer que par une seule main, ou même ne se partager qu'entre un petit nombre de débiteurs. Jouer gros jeu dans le sens moral est jouer un mauvais jeu; un ponte au pharaon qui se mettrait dans la tête de pousser toutes ses cartes jusqu'au quinze et le va perdrait près d’un quart sur le produit de son espérance morale ; car, tandis que son espérance numérique est de ti-

rer 16, l'espérance mora.e n'est que de 13 {4. Ilen est de même d'une infinité d'autres exemples que l'on pourrait domner ; et de tous il résultera toujours que l'homme sage doit mettre au hasard le moins qu'il est possible, et que l'homme prudent, qui par sa position ou son commerce est forcé de risquer de gros fonds, doit les partager, et retrancher de ses spéculations toutes les espérances dont la probabilité est très-petite, quoique la somme à obtenir soit proportionnellement aussi grande.

XXIIT. L'analyse est le seul instrument dont on se soit servi jusqu’à ce jour dans la science des probabilités, pour déterminer et fixer les rapports du hasard : la géométrie paraissait peu propre à un ouvrage aussi délié, cependant, si l'on y regarde de près, il sera facile de reconnaitre que cet avantage de l'analyse sur la géométrie est tout à fait accidentel , et que le hasard, selon qu'il est modifiéet conditionné , se trouve du ressort de la géométrie aussi bien que de celui de l'analyse. Pour s’en assurer, il suflira de faire attention que les jeux et les questions de conjecture nc roulent ordinairement que sur des rapports de quantités discrètes; l'esprit humain, plus familier avec les nombres qu'avec les mesures de l'étendue, les a toujours préférés.: les jeux en sont une preuve, car leurs lois sont une arithmétique continuelle. Pour mettre donc la géométrie en possession de ses droits sur la science du hasard, il ne s’agit qued'inventer des jeux qui roulent sur l'étendue etsur ses rapports , ou calculer le petit nombre de ceux de cette nature qui sont déjà trouvés. Le jeu du franc-carreau peut nous servir d’exemple: voici ses conditions qui sont fort simples.

Dans une chambre parquetée ou pavée de carreaux égaux, d'une figure quelconque, on jette en l'air un écu; l’un des joueurs parie que cet écu après sa chute se trouvera à franc-carreau, c’est-à-dire sur un seul carreau; le second parie que cet écu se trouvera sur deux carreaux , c'est-à-dire qu'il couvrira un des joints qui les séparent; un troisième joueur pariera que l’écu se trouvera sur deux joints; un quatrième parie que l'écu se trouvera sur trois, quatre ou six joints : on demande le sort de chacun de ces joueurs.

Je cherche d’abord le sort du premier joueur et du second : pour le trouver, j'iascris dans l'un des carreaux une figure semblable, éloignée des côtés du carreau, de la longueur du

demi-diamètre de l'écu; le sort du premier Joueur sera à celui du second comme la superficie de la couronne circonserite est à la superficie de la figure inscrite. Cela peut se démontrer aisément, car tant que le centre de l'écu est dans la figure inscrite, cet écu ne peut être que sur un seul carreau, puisque par construction cette figure inscrite est partout éloignée du contour du carreau, d'une distance égale au rayon de l'éeu : et au contraire, dès que le centre de l'écu tombe au dehors de la figure inscrite , l'écu est nécessairement sur deux ou plusieurs carreaux, puisqu'alors son rayon est plus grand que la distance du contour de cette figure inscrite au contour du carreau : or, tous les points où peut tomber ce centre de l'écu sont représentés dans le premier cas par la superficie de la couronne qui fait le reste du carreau; donc le sort du premier joueur est au sort du second, comme cette première superficie est à la seconde. Ainsi, pour rendre égal le sort de ces deux joueurs , il faut que la superficie de la figure inscrite soit égale à celle de la couronne , ou, ce qui est la même chose, qu'elle soit la moitié de la surface totale du carreau. Je me suis amusé à en faire le caleul, et j'ai trouvé que pour jouer à jeu égal sur deux carreaux carrés , le côté du carreau devait être au diamètre de l'écu , comme 1 : 1 — y/1; c'està-dire à peu prèstroisetdemie fois plusgrand que le diamètre de lapièce avec laquelie on joue. Pour jouer sur des carreaux triangulaires équilatéraux , le côté du carreau doit être au

‘ diamètre de la pièce, comme 1 : Tr:

c'est-à-dire presque six fois plus grand que le diamètre de la pièce.

Sur des carreaux en losange , le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme

"rs ; à dy: 15 V3 c'est-à-dire presque quatre fois plus grand.

Enfin sur des carreaux hexagones, le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce comme 1 TT, c'est-à-dire presque doublé. A

Je n'ai pas fait le calcul pour d'autres figures, parce que celles-ci sont les seules dont on puisse: remplir un espace sans y laisser des inter valles d'autres figures; et je n'ai pas eru qu'il fût nécessaire d'avertir que les joints des carreaux ayant quelque largeur, ils donnent de

ESSAI

l'avantage au joueur qui parie pour le joint, et que par conséquent l’on fera bien, pour rendre le jeu encore plus égal, de donner aux carreaux carrés un peu plus de trois et demie fois, aux triangulaires six fois, aux losanges quatre fois, etaux hexagones deux fois la longueur du dia-

mètre de la pièce avec laquelle on joue.

Je cherche maintenant le sort du troisième joueur qui parie que l'écu se trouvera sur deux joints ; et pour le trouver, j'inscris dans l'un des carreaux une figure semblable, comme j'ai déjà fait; ensuite je prolonge les côtés de cette figure inscrite jusqu'à ce qu'ils rencontrentceux du carreau : le sort du troisième joueur sera à celui de son adversaire comme la somme des espaces compris entre le prolongement de ces lignes et les côtés du carreau et au reste de la surface du carreau. Ceci n'a besoin, pour être pleinement démontré , que d'être bien entendu.

J'ai fait aussi le calcul de ce cas, et j'ai trouvé que pour jouer à jeu égal sur des carreaux carrés, le côté du carreau doit être au diametre de la pièce comme 1 Se c'est-a-dire plus grand d'un peu moins d'un tiers. :

Sur des carreaux triangulaires équilatéraux , le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce comme 1 : 4, c'est-à-dire double.

Sur des carreaux en losange, le côté du ear reau doit être au diamètre de la pièce, comme

1 * 1 : A3, c'est-à-dire plus grand d’erfviron

| deux cinquièmes.

Sur des carreaux hexagones , le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce comme 1:45, c'est-à-dire plus grand d'un demiquart.

Maintenant, le quatrième joueur parie que sur des carreaux triangulaires équil:téraux, l'écu se trouvera sur six joints; que sur des carreaux carrés ou en losange il se trouvera sur quatre joints, et sur des carreaux hexagones il se trouvera sur trois joints : pour déterminer son sort, je décris de la pointe d'un angle du carreau un cercle égal à l’éeu, et je dis quesur des carreaux triangulaires équilatéraux, son sort sera à celui de son adversaire comme la moitié de la superficie de ce cercle est à celledu reste du carreau; que sur des carreaux carrés ou en losance, son sort sera à celui de l’autre comme la superficie entière du cercle est à celle du reste du carreau; et que sur des carreaux

D'ARITHMETIQUE MORALE

hexagones, son sort sera à celui de son adversaire , comme le double de cette superficie du cercle est au reste du carreau. En supposant donc que la circonférence du cerele est au diamètre, comme 22 sont à 7, on trouvera que pour jouer à jeu égal sur des carreaux triangu-

laires équilatéraux , le côté du carreau doit être |

au diamètre de la pièce comme 1

c'est-à-dire plus grand d'un peu plus d'un quart.

Sur des carreaux en losanges, le sort sera le même que sur des carreaux triangulaires équilatéraux.

Sur des carreaux carrés , le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 :

VA | cestà-dire plus grand d'environ un cinquième.

Sur des carreaux hexagones , le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce comme

Vavs

; , c'est-à-dire plus grand d'environ un treizième.

J'omets ici la solution de plusieurs autres cas, comme lorsque l’un des joueurs parie que l'écu ne tombera que sur un joint ou sur deux, sur trois, ete; ils n'ont rien de plus difficile que les précédents ; et d'ailleurs on joue rarement ce jeu avecd'autres conditions que celles dont nous avons fait mention.

Mais siau lieu dejeter en l’air une pièce ronde, comme un éeu, on jetait une pièce d'une autre figure, comme une pistole d'Espagne carrée, ou une aiguille, une baguette, ete., le problème demanderait un peu plus de géométrie, quoique en général il fût toujours possible d'en donner la solution par des comparaisons d'espaces , comme nous allons le démontrer.

Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé par des joints parallèles, on jette en l’air une baguette, et que l'un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parallèles du parquet, et que l'autre au contraire parie que la baguette croisera quelques-unes de ces parallèles; on demande le sort de ces deux joueurs. On peutjouer ce jeu sur un damier avec une aiguille à coudre ou une épingle sans tête.

tu,

Pour le trouver, jetire d'abord, entre les deux joints parallèles À Bet C D du parquet, deux autres lignes parallèles a Det ce d , éloignées des premières de la moitié de la longueur de Ja baguette £ F, et je vois évidemment que, tant que le milieu de la baguette sera entre ces deux secondes parallèles, jamais elle ne pourra croiser les premières dans quelque situation Æ F, e f, qu'elle puisse se trouver ; et comme tout ce qui peut arriver au-dessus de a b arrive de même au-dessous de € d, il ne s'agit que de déterminer l'un ou l'autre; pour cela je remarque que toutes les situations de la baguette peuvent être représentées par le quart de la circonférence du cercle dont la longueur de la baguette est le diamètre; appelant done 2 & la distance € À des joints du parquet , € le quart de la circonférence du cercle dont la longueur de la baguette est le diamètre; appelant 2 b la longueur de la baguette, et f la longueur À B des joints, j'aurai f(a — b) ec pour l'expression qui représente la probabilité de ne pas croiser le joint du parquet, ou, ce qui estla même chose, pour l’expressin de

| tous les cas où le milieu de la baguette tombe au-

dessous dela ligne ab et au-dessusdela ligne c 4.

Mais lorsque le milieu de la baguette tombe hors de l’espace ab cd, compris entre les secondes parallèles, elle peut, suivant sa situation, croiser ou ne pas croiser le joint ; de sorte que le milieu de la baguette étant, par exemple, ene, l'are » G représentera toutes les situations où elle croiserale joint, etl’are G Æ toutes celles où elle ne le croisera pas, et comme il en sera de même de tous les points de la ligne :>, j'appelle d x les petites parties de cette ligne, ety les arcs de cercle ? G, et j'ai f(s ydæ) pour l'expression de tous les cas où la baguette croi-

sera, et f| be—syd zx) pour celle des cas

où elle ne croisera pas; j'ajoute cette dernière

expression à celle trouvée ci-dessus f { a—b) c;

afin d’avoir la totalité des cas où la baguette ne

croisera pas, et dès lors je vois que le sort du premier joueur est à celui du second, comme ac—sydæ:sydx.

Si l'on veut done que le jeu soit égal, l'on sudzx aura a c—2syædoua =, c'est-àdire à l'aire d'une partie de cycloide, dont le cercle générateur a pour diamètre 2 b, longueur de la baguette; or, on sait que cette aire de cycloide est égale au carré du rayon : done a = Fe c'est-à-dire que la longueur de la

baguette doit faire à peu près les trois quarts de la distance des joints du parquet.

La solution de ce premier cas nous conduit aisément à celle d'un autre, qui d’abord aurait paru plus difficile, qui est de déterminer le sort de ces deux joueurs dans une chambre pavée de carreaux carrés; car en inscrivant dans l'un des carreaux carrés un carré éloigné partout des côtés du carreau de la longueur 6, l'on aura d’abord c (a—t}? pour l'expression d’une partie des cas où la baguette ne croisera pas le joint; ensuite on trouvera (2 a — b) sy d x pour celle de tous les cas où elle croisera, et enfin cb\2a — D) —(2 a 0) sy d æ pour le reste des cas où elle ne croisera pas. Ainsi le sort du premier joueur est à celui du second,

comme c(a —b Eee7| 2 a—b)—(c a —b)

sydx :(ca=0d)sydx.

Si l'on veut done que le jeu soit égal, l'on

aura c(a —b}?+ecb (2a— ) = (2 a—b)?

sy dx ou gese —sy dx; mais comme nous l'avons vu ci-dessus, s y d xæ—bb; done Aa Fr — bb; ainsi le côté du carreau doit être à la longueur de la baguette , à peu près comme %# : 1, c'est-à-dire pas tout-à-fait double. Si l'on jouait done sur un damier avec une aiguille dont la longueur serait la moitié de la longueur du côté des carrés du damier, il y aurait de l'avantage à parier que l'aiguille croisera les joints.

On trouvera par un calcul semblable que, si l'on joue avec une pièce de monnaie carrée, la somme des sorts sera au sort du Joueur qui parie pour le joint, comme aa c:4 abb pi — b5— } Ab; À marque ici l'excès de la superficie du cercle circonscrit au carré, et à la demidiagonale de ce carré.

Ces exemples suffisent pour donner une idée