CHAPITRE X

Du plan incliné.

Il est certain qu'il faut une plus erande force ua purmciine-

■*• 1 O çj(t soutenu en

pour élever un corps dans la direction de la per- ff^'n* ^^' ''

96 DE l'art

pendiculaire CB, que dans la direction du plan incliné A B.

Fi|. aa. Faisons mouvoir la ligne B A sur le point fixe

A. Si nous relevons et la rapprochons de la pendiculaire A D, le plan sera plus incliné à mesure que nous Téleverons , et il faudra une plus grande puissance pour soutenir le poids. Si au contraire nous l'abaissons et la rapprochons de la ligne horizontale CA, le plan sera moins incliné à mesure que nous l'abaisserons; et le même poids sera soutenu avec une moindre puissance. Dans le premier cas , le plan incliné soutient donc une moindre partie du poids; et dans le second, il en soutient une plus grande. Ce sont là des faits dont on s'assure par l'expérience.

vn poids est Si la puissaucc P est en équilibre avec le poids

«outenu sur ua

firoolndiêpms- ^ ' lorsquc la ligne de traction T D est parallèle lorTqurîrîigne' au plan , l'équilibrc cessera, et le poids D entrai-

de traction est pa-

'^^Fi' ""JS'"*"' ^^^^ 1^ puissance P , aussitôt que cette ligne cessera d'être parallèle au plan. Il faut donc que la ligne de traction soit parallèle au plan , si on veut soutenir un poids avec la moindre puissance possible. C'est encore là un fait que l'expérience constate.

La puissance Prcuons uu plau dont la longueur soit le double

doit être au , ^ . .

Fa^'h'àute'uTdu ^^ ^^ hauteur , et faisons passer la ligne de tracgue"uiî '* °"' tion par dessus une poulie : P, poids d'une livre suspendu à l'extrémité de cette ligne, soutiendra, sur le plan, D, poids de deux livres. L'équi-

libre demande donc qu'en ce cas la puissance soit au poids comme la hauteur du plan est à la longueur.

Mais puisque le plan soutient une plus grande ou une moindre partie du poids, à proportion que vous lui donnez plus ou moins de hauteur, vous jugez que vous pouvez généraliser cette règle. Vous direz donc : la puissance est toujours au poids comme la hauteur du plan incliné à la longueur. En effet cette règle est une conséquence des faits que nous venons d'apporter. Elle n'est autre chose que ces faits mêmes exprimés d'une manière générale. Essayons cependant de la démontrer d'après les principes que nous avons établis.

La puissance P agit sur le centre du poids D, Fig^i c'est-à-dire sur l'extrémité de la ligne FD : le poids tend à tomber dans la direction de la ligne DEC perpendiculaire à l'horizon; et il tomberait dans cette direction, s'il n'était soutenu en partie par le plan. Vous pouvez donc regarder DFE, comme un levier recourbé qui a son point d'appui en F ; et vous voyez que la puissance agit à l'extrémité du plus long bras du levier, et que le poids pèse à l'extrémité du bras le plus court, à l'extrémité de la ligne F E, perpendiculaire à DC ; il pèse sur le point E , et il tomberait perpendiculairement en G, s'il n'était pas soutenu.

DF exprime donc la distance où la puissance

98 DE l'art

est du point d'appui, et EF exprime la distance où le poids est de ce même point. Ces deux lignes expriment par conséquent les conditions nécessaires à l'équilibre, c'est-à-dire le rapport de la puissance au poids.

Or ces deux lignes sont entre elles comme la hauteur du plan à la longueur : E F est à D F comme B A est AC. C'est ce qu'il faut démontrer.

Dire que E F est à D F comme B A est à A C, c'est dire que les trois côtés du triangle D E F sont dans les mêmes rapports entre eux que les trois côtés du triangle A B C. Car la longueur de deux côtés d'un triangle étant donnée, la longueur du troisième est déterminée.

Or dire que les trois côtés du triangle E D F sont dans les mêmes rapports que les trois côtés du triangle ABC, c'est dire que ces deux triangles sont semblables. Il nous reste donc à prouver qu'ils sont en effet semblables.

Ils sont semblables l'un à l'autre, s'ils sont semblables à un troisième.

Or DEF est semblable à DCF. Premièrement, DE F a un angle droit en E, et DCF a également un angle droit en F : ils sont donc semblables en ce qu'ils ont chacun un angle droit. En second lieu, ils sont semblables encore par l'angle CD F, qui est commun aux deux. Ils sont donc également semblables par le troisième, puisque deux angles étant donnés , le troisième est déterminé.

DE RAISOIVIVER. Ç)g

Il VOUS sera aussi facile de comprendre que le triangle A B C est semblable au triangle G D F ; car vous voyez qu'ils ont chacun un angle droit. Vous voyez encore que la ligne oblique A C tombe sur deux lignes parallèles , A B et C D ; et que , par conséquent , Tangle DCA est égal à l'angle G A B. Rappelez-vous ce que nous avons dit , lorsque nous observions les angles qu'une ligne oblique fait sur deux lignes parallèles.

I ' Lorsqu'un poids est en équilibre sur un plan incliné , il est donc prouvé que la distance au point

I d'appui est à la distance de la puissance au même point , comme la hauteur est à la longueur du plan ; et que, par conséquent, la puissance est au poids comme la hauteur du plan à la longueur.

Un corps ne descend pas avec la même vitesse, vitesse avec la.

Quelle un corps

lorsqu'il tombe le long d'un plan incliné , que lors- laTïndinï"" qu'il tombe perpendiculairement à l'horizon. Il ne peut descendre qu'avec une force égale à celle de la puissance qui le tiendrait en équilibre. Nous pouvons donc nous faire cette règle générale : la force avec laquelle un corps descend le long d'un plan incliné, est au poids de ce corps comme la hauteur est à la longueur du plan. Il s'agit de savoir actuellement le chemin qu'il doit faire sur la ligne A B , dans le même temps qu'il arrive de A Fig. 4. en G.

Soit le plan A B G, dont la longueur est le double I (le la hauteur, et divisons A G et AB en quatre

parties. Je suppose que AE,EF,FG,GC, sont les quatre espaces qu'un corps doit parcourir en deux secondes.

Un corps à la moitié moins de force, lorsqu'il tombe de A en B, que lorsqu'il tombe de A en G. Il doit donc avoir la moitié moins de vitesse, et par conséquent n'arriver en B qu'en quatre secondes.

Son mouve- Qr , la pcsauteur agrit de la même manière sur '!{Z'l'!rX7' ^^s corps, dans quelque direction qu'ils se meuvent, c'est-à-dire que, dans des temps égaux, l'accélération du mouvement suit la proportion 1,3,5,7, etc. Ainsi donc qu'un corps qui tombe de A en G. parcourt, dans la première seconde, l'espace A E, et dans la suivante , les espaces E F , F G , G G ; de même un corps qui tombe de A en B , doit , dans les deux premières secondes , parcourir l'espace A H , et dans les deux suivantes , les espaces H I, I R , R B. tJn corps mû sur ce plan incliné n'arrive donc qu'en H, dans le même temps qu'il tombe perpendiculairement de A en G; c'està-dire qu'en deux secondes il n'est pas plus bas sur la ligne A E , qu'en une dans la ligne A G ; car , E et H sont à égale distance de la ligne borisontale G B.

Comment on Si dc G VOUS tirez une perpendiculaire sur A B ,

connaît l'espace * •

conrir*'"sur^'m VOUS vcrrcz qu'clic tombera précisément sur H.

plan incline, a n j 1 •

flans le même Douc Dour conuaitrc l espace qu un corps doit

lemps qu'il lom- ' 111

Kite^ur!*"'" parcourir sur un plan dans le même temps qu'il

DE RAISONNER. lOI

descendrait de A en C , nous n'avons qu'à tirer une perpendiculaire de C sur le plan A B.

Dès que la pesanteur agit toujours de la même ,onSep""r 3 -manière, il s ensuit que, quelle que soitlmcli- leiong dut. pian

* incliné, il ac-

naison du plan, le corps aura la même vitesse, ?o"ce\l,ui«7et lorsqu'il sera arrivé en bas , qu'il aurait eu s'il était ZeLmêmeTau! tombé le long de la perpendiculaire. Si le plan est plus incliné, et par conséquent plus court, l'accélération se fera plus vite , et la vitesse sera acquise plus tôt : si le plan est moins incliné ou plus long , l'accélération sera plus lente , et la même vitesse sera acquise plus tard. Quelle que soit donc la ligne que plusieurs corps décrivent , arrivés en bas , ils ont la même force , toutes les fois qu'ils sont tombés de la même hauteur.