CHAPITRE XI

Du pendule.

Tirons plusieurs plans inclinés depuis le point un corps q«i

^ * ^ '^ tombe le long

A sur la ligne horisontale B G , et tirons des per- !",]« jes pi"pendiculaires de C sur ces plans. Prenons ensuite Se Tmps

qu'il parcouF'-

un centre à une égale distance de A et de C, et mfeîre"^ '' *^'^ traçons un cercle par les points angulaires, DEF.

Les lignes A D, A E, A F sont des cordes du Fig=5.pi.iu. cercle ; et nous pouvons , dans l'autre demi-cercle, tirer des lignes qui , étant parallèles à ces pre-

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mières , leur seront égales et également inclinées. Or il est évident que toutes ces lignes sont la même chose que les plans dont nous venons de traiter. Un corps descendra donc le long de chacune dans le même temps qu'il tomberait du haut du diamètre au bas de A en C.

Que dans un cercle placé verticalement on tire donc autant de cordes qu'on voudra, un corps emploiera toujours le même temps à parcourir chaque corde, et ce temps sera le même que celui qu'il aurait mis à parcourir le diamètre. Vous remarquerez en effet que les cordes sont plus longues ou plus courtes , à proportion qu'elles sont plus ou moins inclinées.

La pesanteur agit toujours perpendiculairement; et, quelle que soit l'inclinaison du plan, le corps a la même force , lorsqu'il arrive sur la ligne horizontale BC, que s'il était tombé perpendiculairement de A en C.

Fig. ^5. Soit donc un corps suspendu au centre M par

un fil dont la longueur est le demi-diamètre du cercle. Ce corps , descendant de h , ne peut pas tomber plus bas que C ; mais la force qu'il a acquise en parcourant cet espace , peut lui en faire parcourir un semblable : il remontera donc en E. Arrivé à ce point , il a perdu toute sa force. Il retombe donc par sa pesanteur , et il acquiert assez de force pour remonter en /?, d'où il retombe encore; ainsi de suite.

DE RAISONIVER. Io3

Un corps ainsi suspendu est ce qu'on nomme pendule. Il pevit être attaché à un cordon ou à un fil de fer. rimm.

Le mouvement du pendule de A en C et de C en E , est ce qu'on nomme vibration ou oscillation.

Il tombe, par un mouvement accéléré de h en C, dans le même temps qu'il serait tombé de A; et dans un temps égal , il remonte en E par un mouvement retardé. ' n- c^mj

Or , si dans ces deux temps il était tombé perpendiculairement du point A , il aurait parcouru quatre diamètres du cercle.

Un corps suspendu au centre M emploie donc à une vibration le même temps qu'il emploierait à parcourir perpendiculairement quatre diamètres ; ou, ce qui revient au même, à parcourir huit fois la hauteur du pendule.

Telle est la proportion entre le mouvement de vibration et le mouvement perpendiculaire, lorsque le pendule est supposé descendre et montei* par les cordes.

Or parce que les arcs de cercle diffèrent d'autant moins des cordes , qu'ils sont plus petits, on suppose que la proportion est la même, lorsque le pendule fait sa vibration par le petit arc L C K : il est vrai que cette supposition n'est pas exacte , puisque les géomètres démontrent que le temps de la descente d'un corps grave , par un arc infiniment petit, est au temps de la descente par

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la corde du même arc comme la circonférence du cercle à quatre fois son diamètre, ou à peu près comme 355 à 452. Cependant les vibrations, par de très-petits arcs de cercle, sont d'égale durée, puisque leurs durées sont entre elles comme les durées égales de la descente par les cordes de ces arcs.

Conditions H faut VOUS fairc remarquer que dans tout ce

nécessaires aux A A

chronir* "*" que nous disons sur le mouvement , nous n'avons point égard ni au frottement^ ni à la résistance de Tair. Mais ce frottement est d'autant moins sensible, que le pendule est plus long, et qu'il décrit un plus petit arc de cercle.

S'il n'y avait ni frottement, ni résistance, le I pendule , une fois en mouvement , continueriiit éternellement ses vibrations dans des temps égaux.

Lorsqu'il est court, et que les arcs de cercle

sont grands, le frottement et la résistance de l'air

sont plus sensibles , et les vibrations se font en

des temps inégaux. Lorsqu'au contraire , il est

plus long , et les arcs plus petits , les vibrations

peuvent , sans erreur sensible , être regardées

comme faites en temps égaux, jusqu'à ce que le

pendule soit en repos. De pareilles vibrations s^T*^

nomment isochrones.

Proportion Lc tcmos dcs vibrations est plus court, à proentre la Ion- * 1 / l

SeihdE portion que les pendules sont plus courts. Voici

des vibrations, ni-A . Ai->-r\./-i

Fig. 26. quelle doit être cette proportion : A E B G et

DE RAISONIS^ER. Io5

DfBi sont deux cercles dont les diamètres AB et DB sont l'un à l'autre comme quatre à un.

Nous avons démontré que si un corps tombe de A en B, dans un temps déterminé , il ne tombera, dans la moitié de ce temps , que de D en B.

Nous avons aussi démontré qu'un corps tombe le long de la corde d'un cercle , dans le même temps qu'il tombe le long du diamètre.

Donc un corps en E tombera le long de la corde EB, dans le double du temps qu'un corps en y tombera le long de la corde f B. Or on démontre que les arcsE B et f B, étant supposés sen^bîables ou très-petits, les temps des chutes^ par ces arcs, ou les temps des demi-vibrations, sont entre eux comme les temps des chutes par les cordes. Donc le temps de la vibration du pendule C B sera double du temps de la vibration du pendule e B. ,

Quand vous voudrez donc avoir les vibrations deux fois plus lentes, il faudra que le pendule soit quatre fois plus long; et au contraire, il faudra qu'il soit quatre fois plus court , quand vous voudrez que les vibrations soient deux fois plus rapides.

Mais pour mesurer un pendule, il faut pouvoir Pour d^er-

*^ * ^ miTior la Ion-

déterminer le centre d'oscillation; caria longueur ^llî^r^rC

1 ^1 11* 1 lî CI imaîtrelecon-

au pendule est comme la distance du centre dos- tred'osciiiauon, cillation au centre de suspension. Cette matière est une des plus difficiles. H s'en faut bien que ce que nous avons étudié jusqu'à présent suffise

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pour nous apprendre à trouver le point précis qui est le centre d'oscillation. Bornons-nous donc à nous faire une idée de ce problème.

Fig.a7. Représentez-vous le pendule CP, comme un

levier qui a son point d'appui dans le centre de suspension C ; et, n'ayant aucun égard à la pesanteur du levier , supposez tout le poids dans un corps suspendu au point P.

Dans cette supposition , ce corps tombera de P en B avec une vitesse qui sera en raison de la masse multipliée parla distance du centre de gravité au centre de suspension C ; et le centre d'oscillation sera le même que le centre de gravité.

Si vous faites les mêmes suppositions sur le pendule cp, qui n'est que le quart de CP, le centre d'oscillation sera encore pour lui le même qile le centre de gravité du corps suspendu.

Or ces deux pendules faisant leurs vibrations par des arcs qui sont entre eux comme les circonférences dont ils font partie , p arrivera en/', lorsque P ne sera encore qu'en B; et il sera retourné au point d'où il était parti , lorsque P arrivera en F. p fait donc deux vibrations : pendant que P n'en fait qu'une; et s'il met, par exemple, une demi-seconde à chacune de ses vibrations, P emploiera à chacune des siennes une seconde entière.

1 ig. :=s. Vous pouvez encore considérer le levier sus-

pendu A C , sans avoir égard à sa pesanteur, et le

divisant en quatre parties égales , placer à la seconde division B de deux livres , et à l'extrémité C de deux livres également.

Les vitesses de B et de C sont comme leurs masses multipliées par la distance où ils sont de A, et les produits sont 12. Or le produit de la masse, par la distance du corps de quatre livres, placé en D à la troisième division, serait également 12. Les vibrations de ce pendule se feront donc avec une vitesse moyenne à celles de B et de G, comme si tout le poids se réunissait en D.

Vous voyez par ces suppositions, que moins le fil aura de poids par rapport au poids du pendule , moins la pesanteur du levier causera d'erreur sensible. C'est ce qui arrive, lorsqu'on suspend un corps considérable à un fil d'acier fort subtil; et on a observé qu'un pendule dont la longueur est de 39 pouces et deux dixièmes, mesure d'Angletere, depuis le centre de la balle jusqu'au point de suspension , achève chaque vibration dans une seconde, ou en fait 36oo dans une heure. Cette expérience a été faite avec un pendule qui pesait 5o livres , et auquel on avait donné une forme lenticulaire, afin qu'il trouvât moins de résistance dans l'air : les vibrations continuèrent pendant tout un jour.

L'expérience montre encore à peu près le centre Fig. .9. d'oscillation d'une barre homogène et de même épaisseur dans toutes ses parties ; car les vibrations

suivait

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en sont isochrones avec celles d*un pendule dont la longueur serait les deux tiers de celles de la barre.

SiV" ""' ^^ n'entrerai pas dans un plus grand détail sur les mécaniques. Les principes que je viens d'exposer suffisent pour vous faire comprendre comment Tévidence de fait et l'évidence de raison concourent à la découverte de la vérité; et, comme ces principes vous mettent en état de vous faire une idée du système du monde , je vais vous donner une idée de ce système pour un nouvel exemple des raisonnemens qui portent tout à la fois sur l'évidence de fait et sur l'évidence de raison. Vous verrez, Monseigneur, que ce monde n'est qu'une machine semblable à celles que nous venons d'étudier; c'est une balance. Cette vérité va vous être démontrée par une suite de propositions identiques avec les propositions de ce second livre.

DE RAISONNER. lOQ