CHAPITRE V

Des aires proportionnelles aux temps.

*.g. 3«. L'aire d'un trianerle est l'espace renfermé dans

Ce qu'on O F

r?you lecteur i*t ses trois côtés. Tcls sont les espaces A S B ,BSC, etc.

qî'ii d'écriT"' Lorsque la planète se meut de A par B, C, etc., on se représente le rayon S A comme une ligne , qui , s'élevant sur le centre S , porte la planète à l'autre bout; et qui, étant transportée avec elle , balaye, pour ainsi dire, chaque aire, à mesure que la planète en décrit le côté opposé au centre S. Ce rayon se nomme rayon vecteur , c'est-à-dire qui porte. Voilà ce qu'on entend lorsqu'on dit qu'une planète décrit des aires autour du centre de son mouvement.

Lesairessont Tous Ics astrouomcs connaissent aujourd'hui

proporlionnel- «*

les «u» temps. ^^ j^^ m^% décritcs par une planète sont proportionnelles aux temps, c'est-à-dire égales en temps égaux. Kepler est le premier qui ait décou- ,vert ce phénomène , et qui ait conjecturé que la gravitation vers le soleil en est la cause. Nev^^ton

DE RAISONNER. l33

a démontré la vérité de cette . découverte et de cette conjecture.

Lorsqu'une planète se meut circulai rement au- cette ve-riié

-l 1 est sensible ,

tour d'un centre, elle parcourt des arcs de cercles n"e'ie''"se"'mlu't

- . dans nne orbite

égaux en temps égaux. Dans ce cas , les aires que circulaire. balaye le rayon vecteur sont non-seulement égales, elles sont encore semblables; et cette ressemblance rend leur égalité sensible. Voilà ce qui doit arriver toutes les fois qu'une planète est transportée dans une orbite circulaire ; car alors son mouvement n'étant ni accéléré ni retardé , il est évident que le rayon vecteur parcourt en temps égaux des aires égales et semblables.

C'est ainsi que paraissent se mouvoir les satellites autour de Jupiter. Il est vrai que, suivant leurs positions , ils doivent se détourner plus ou moins , car ils ne sont pas toujours à la même distance du soleil, ni à la même distance les uns des autres. Mais nous pouvons négliger ces inégalités , puisqu'elles ne sont pas assez considérables pour être observées au télescope.

Lorsque le cours de la planète se fait dans une Premedcceiie

■*• *■ vérité , lors-

ellipse, et que le centre du mouvement est dans J""reuf dtns

l'un des foyers, le rayon vecteur décrit encore des aires égales. Cette égalité n'est pas d'abord si sensible, parce que les aires ne sont pas toutes semblables , et que vous ne trouverez de ressemblance qu'entre celles qui se correspondent à égales distances du périhélie et de l'aphélie.

j 34 i>*^ l'art

fig 3s, Mais quoique les aires ne soient pas toutes

semblables, elles sont toutes égales , les plus courtes regagnant en largeur ce qu'elles perdent en longueur. Vous pouvez le voir sensiblement dans iHie figure ; mais il faut vous en donner une démonstration.

Vous savez que la mesure de l'aire d'un triangle , ou de l'espace renfermé entre les trois côtés , est le produit de la hauteur par la moitié de la base ; et vous jugez en conséquence que les aires sont égales lorsque les triangles ont même base et même hauteur.

Fig 3.J. Or supposons qu'un corps mû uniformément

parcourt en temps égaux les espaces égaux A B , BC : il est évident que les aires A SB, BSC, décrites par le rayon vecteur , sont égales , puisque ces deux triangles ont même base et même hauteur : même base, parce que BC est égal à AB ; et même hauteur, parce que la hauteur de l'un et de l'autre est la perpendiculaire tirée du sommet S sur la ligne A D.

Par conséquent , tant que ce corps continuera à se mouvoir dans la même ligne, et que les triangles auront leur sommet commun dans le même point, les aires continueront d'être égales, et elles ne différeront que parce qu'elles regagneront en longueur ce qu'elles auront perdu en largeur.

Or lorsque ce corps, au lieu d'une ligne droite ^

BÈ RArSONNER. i35

décrira une courbe autour du point S, où nous avons fixé le sommet des triangles, cette direction ne changera pas la grandeur des aires, elle en changera seulement la figure , leur faisant regagner en largeur ce qu'elles auront perdu en longueur. En effet, imprimons à ce corps arrivé en C une force capable , si elle agissait seule , de lé porter en E dans le même temps que, par son mouvement imiforme, il aurait été de C en D; il est démontré par ce que nous avons dit ailleurs , qxie ce corps , obéissant à ces deux forces , parcourra C F diagonale du parallélogramme C D F E, . dans le même temps qu'il aurait parcouru C E ou G D. Le rayon vecteur décrira donc l'aire S C F. Or cette aire est égale à S C D , puisque les deux triangles ont une base commune dans C S , et qu'étant entre les deux parallèles C E et D F , ils ont encore une hauteur commune dans la perpendiculaire tirée de Tune de ces deux lignes à l'autre. Vous concevez que le même raisonnement démontre l'égalité des aires suivantes.

Mais si la direction n'étant pas toujours exac- le? ^ircs ne

^ ^ sont égales aux

tement au point S, était par intervalles à quelque ir'^uppos?tio"u

. . I . . . qu'une planèlp

point voism , les au^es seraient nécessairement estconstammcm

dirigée vers un

inégales; car le corps, au lieu d'arriver dans la "'^'^"■■"'''''^ ligne D F , irait.dans le même temps au delà de cette ligne , ou ne l'atteindrait pas ; et par conséquent les aires décrites seraient ou plus grandes ou moindres que S C D.

i36 DE l'art

Il est donc prouvé que lorsqu'un corps se meut dans une courbe, la direction constante au même point démontre l'égalité des aires au temps : d'où vous devez conclure l'inverse de cette proposition , c'est-à-dire que l'égalité des aires aux temps démontre qu'un corps est constamment dirigé vers le même point.

cons^miences Cctte vérité, uue des plus importantes dans le

qui résultent de ' II

cette vérité, systèmc de Newton, est une loi dont la nature ne s'écarte jamais. Il suffit d'avoir observé avec Kepler les satellites de Jupiter , et d'avoir remarqué avec lui que les aires décrites sont proportionnelles aux temps, et aussitôt on est assuré que les satellites sont toujours dirigés vers le centre de leur planète principale. De même la lune est, dans tout son cours, dirigée vers le centre de la terre , si son rayon vecteur décrit toujours en temps égaux des aires égales; et si on remarque quelque inégalité dans les aires décrites, il est prouvé que la lune n'est pas absolument dirigée vers le centre de notre globe. Enfin on ne peut plus douter que toutes les planètes ne soient dirigées vers le centre du soleil, si un rayon, tiré de chacune d'elles à ce centre, décrit des aires égales en temps égaux : il ne faut plus qu'observer.

coSnTiom! Peut-être me demanderez-vous pourquoi une

be pas dans le ^ «i t

soleil et pour- comète, étant à son périhélie, ne tombe pas dans

quoi elle ne s e- ' 1 ' 1

îonTbit^e!* ^' le soleil; et pourquoi, à son aphélie, elle ne

DE RAISONNER. iSy

s'échappe pas de son orbite. En effet , dans une ellipse telle que celle que je vous ai donnée pour exemple , elle est six fois plus près à son périhélie , et par conséquent trente-six fois plus attirée ; et dans son aphélie, elle est six fois plus loin et trentesix fois moins attirée. Mais remarquez qu'à proportion qu'elle est plus attirée , elle a une plus grande vitesse; et que la vitesse ne peut augmenter que la force centrifuge n'augmente également. Par une raison contraire , sa vitesse diminue à proportion qu'elle est moins attirée, et par conséquent la force centrifuge décroît en même raison.

Vous voyez par-là que plus l'ellipse est excentrique , plus la vitesse varie de l'aphélie au périhélie. C'est ce qui arrive aux comètes : elles se meuvent rapidement dans la partie inférieure de leur orbite , le périhélie; lentement dans la partie supérieure , l'aphélie : et c'est cette accélération et ce retardement qui font décrire au rayon vecteur des aires proportionnelles au temps.

Pour comprendre comment la gravitation des J'g- 4o.

1 C Sa gravila-

planètes et des comètes s'accorde avec la pesan- mêmeffôLque

1 1 » î\ lapesanle

teur des corps sur la terre , vous n avez qu a sup- p^fes de i. poser que d'une partie de la surface du soleil on jette un corps, en sorte qu'il remonte jusqu'en A parla ligne BA : car, dans cette supposition, vous voyez qu'il s'élèvera jusqu'en A avec un mouvement retardé, et qu'arrivé à ce point, où la force de projection et la force qui l'attire vers le centre S

lapesanleuraua snrterre.

i38 DE l'art

agissent à angle droit, il tombera avec un mouvement accéléré par la ligne Ab. Si, à une certaine distance du soleil, vous jetez ce même corps dans une direction parallèle à BA, il ira par exemple de C en D; et, continuant dans cette courbe, il décrira l'ellipse CDc. Ce sont là des conséquences de ce que nous avons dit plus haut, ou des propositions identiques avec des proposi- ' lions que nous avons démontrées. ^

Les pianbfcs Cependant il ne faut pas croire que les comètes

et les comètes *■ l *

iueiîc"men'i"'së ^t Ics plauètes doiveut éternellement se mouvoir rap^roc ler u ^^^^^ j^^ orbites qu'cllcs ont une fois parcourues. Cela serait vrai si elles étaient transportées dans un milieu parfaitement vide, où elles ne trouvassent aucune sorte de résistance ; mais la lumière qui traverse tous les espaces célestes, et peutêtre des particules subtiles qui s'échappent des comètes et des planètes , ne peuvent-elles pas être un obstacle au mouvement de ces corps qui roulent autour du soleil? Cette résistance, il est vrai, sera des milliers de fois moindre que celle que produirait l'air qui environne la terre ; mais enfin c'est une résistance. La force projectile de ces corps , et par conséquent leur force centrifuge , diminue donc à proportion de ces obstacles ; et si l'attraction du soleil ou la force centripète reste toujours la même, il faut que toutes les planètes s'approchent continuellement du soleil , quoique d'une manière insensible. Il ne faut donc plus qu'un

certain nombre d'années pour voir toutes les planètes tomber successivement dans le soleil. C'est ce qui a fait dire à Newton que le monde ne subsistera qu'autant que Dieu remontera cette immense machine. J'ajouterai même qu'il y a des astronomes qui croient déjà avoir observé quelques petites altérations dans l'orbite des planètes. Ce sont là des conjectures. Voyons cependant comment une comète peut tomber dans le soleil.

On a observé que le soleil a une srrande atmos- comment

■'■ ^ une comète peut

phère. Sa surface , à cause de sa chaleur immense, Joï^S'," "^^"^ '' doit pousser au dehors des écoulemens qui, flottant tout autour , forment un milieu pour le moins aussi dense que notre air.

Soit ABC l'orbite d'une comète , et B L M l'at- ng. 4mosphère du soleil. Lorsque la comète vient de l'aphélie A au périhélie B , elle trouve en B une résistance qui diminue sa force projectile. L'attraction du soleil donnera plus de courbure à son orbite , et elle remontera par b , au lieu de passer par C : décrivant donc une ellipse plus allongée, elle s'élèvera jusqu'en a. Alors retombant en B , elle se rapprochera encore davantage ; et, s'échappant par D , elle ira en E , d'où elle descendra dans le soleil par la ligne E S. Il est donc possible que des comètes tombent dans le soleil. Les newtoniens conjecturent même que cela arrive , et ils le croient nécessaire pour nourrir cet astre , qui s'épuiserait insensiblement, puisqu'en répandant

l4o DE l'art

la lumière il perd continuellement de sa substance.

Si la comète décrivait une orbite telle que celle que nous avons tracée plus haut , il faudrait bien des milliers d'années pour altérer sa révolution, au point de la faire tomber dans le soleil. deV"rT"I''d« Quoique les orbites des planètes soient presrôrsemiVepour prc circulaircs, cepcudant comme les foyers des

être observée. m • r ij i ii i?

ellipses sont éloignes 1 un de l autre , 1 excentricité est assez sensible pour être observée. C'est pourquoi, dans l'hémisphère du nord, notre demiannée d'hiver où nous passons par le périhélie , est de huit jours plus courte que notre demiannée d'été.

Les révolu- Par tout ce que nous avons dit, vous compre-

tions sont plus ■»• ' *

porhon'qtl'Tel Hcz quc Ics plauètcs doivent achever leurs révopiusprèsduso- lutions dans un temps d'autant plus court qu'elles sont plus près du soleil. En effet , dès que là planète est plus près, sa force centripète, qui augmente , exige que sa force centrifuge augmente également ; et ces deux forces ne peuvent manquer de la transporter avec plus de vitesse. Cela est confirmé par les observations.

DE RAISONNER. l4l