Tome second
dy = r{(() . L'{a, c) ; on obtiendra donc enfin :
1—cy
l(— , «) = «" (A . L'{a, c)-\-A. L'{((, C) + A\ L'{c(, c") + etc.)
La fonction Zy (—, «j peut donc, lorsque m et a sont des nombres entiers, être exprimée sous forme finie à l'aide des fonctions /"(«) et L'{u, c). Soit p. ex. m=î, a=2, on aura
conséquent A^=. — 1 et c^ — 1. donc
Lorsque « est un nombre entier, on sait que la somme de cette série peut s'exprimer par le nombre tt ou par le logarithme de 2. Soit « = 1, et l'on a 1 — 2~l"¥ — T+ • • -"^'oS^î '^onc 2.(1, 1) rrz i.(i) = — 2log2, ce que nous avons trouvé précédemment.
En posant « = 2, on a 1 — -i + ^^ — ^ + . . .— ^^ ' '^^^^ Z-(i,2) = — i^. On peut en général exprimer -^(i, 2n) par — M.n-", où M est un nombre rationnel.
■»ti
Sur l'intégrale dé/inie i .c"-' (1 — .r)'^-*. (/ — Y' \lx
Arans les Exercices de calcul intégral de M. Legendre on trouve rexpression suivante
Jo ^ ■' r(a+c) ^ '
donc
log (/; x'-^ (1 — xy-K dx) = log r{a) -f- log r{c) — log J\a 4- r). Différentiant par rapport à e et à r, et remarquant (jue ^^^ = La—C (Voyez pag. 21)
da on aura
Ces deux équations combinées avec l'équation (I), donnent f\''-^.ii-xy-Klx.dx=(L{a)-Lia+c)).I^±
fym-xy-Uil-x)dx= (Uc) - Lia + .)) . BJ^ .
La dernière équation peut aussi se déduire de l'avant-dernière en échangeant rt et c entre eux, et mettant 1 — x h la place de x.
Lorsque c = i, on a, à cause de L{l-\-a) =—-\-L{a), et r(a-|-l) =«/(«),
yx''-^.lx.dx= -, résultat connu,
*^' J,'-^''~'-Ki—^r).dx= — Eh^^ donc Lil-\-a) = — af^x''-\l{l—x).dx
Développant (1 — xy~^ en série on trouvera: />-(l-;<:)-<i)fc=/;.r.-v(i)rf:r-(.-l)/'../(l)&:
or / x''.l(-^)da;=— — —-; donc
Jo "^ .(A ^; V't/'^*^— ;^ ^ ■^^•(«+1P^ 2 («+2)2 2.3 -(fl+S)
mais y* \r''-'(l— .r)-i. (/ 1) . d.r = (L{a+c) — L{a)) ^^^^^ ^^ , donc
Soit p. ex. c=l — a, on a L{a-\-c) — L{a)= — L{a), r{a-\-c)=^l, r(a) . nr) = ria) . m — «) = ^^^ ; donc
Lia) . -J^ = -L-[- -^ 1- "("^^) 4- ^iK^l?) + etc.
^' siiiûTU «2 ~(a+l)2~2(«+2)2~ 2.3(a+3)2 ^
Soit a=l, on a — iy(ff)=2log2, sin-^:= 1, donc
Soit «=1 — .r, f=2a.- — 1, on aura en remarquant que L{\ — x) — L{x)=nv:Q\.itx, —^ ont ^-r r(l-r)r(2.r-l) 1 2.^-2 , (2x-2)(2x-3) (2t-2)C2x-3)(2x-4) , .T.cot7r.r. ^^ — (ï^ (2-xy^"f" 2(:M-^ 2.3(4-x)^ ^•"
En échangeant a et f entre eux dans l'équation (2), on obtient (Z(« + c)-Z(r)). ___ = __(«-!) ^-^+ -2(c,:2j^---- ■ Divisant l'équation (2) par celle-ci membre à membre, on aura
De cette équation on tirera en y faisant r=l Z(l+«) = a — ■^"1I -)- «(«-')(«-2) — . . . , donc en écrivant — » pour «,
/^(l„)^^,, | "(f+^)-f »(«+^)(,«±gI + ...), et en mettant «—1 au lieu
de a,
L(a) = (»-!)- iî^fc?i + iîi&fîil . . .
on tire de là
Lia-l)-Lia)=n.cot^a=- (2«+l + £(^±I)jg:l)(^+ «(«■fl)(.+2H«-l)(«-2)(«-3) j -^
Si dans l'équation (2) on pose «=1, oa aura
(i(r] u /rin r(i).rc X(i+c) (c-i) , (c-i)(c-2)
comme aupai'avant. Faisant r=0, il vient
Nous avons vu ({ue
/V-..(i-.r-.(4).rf.=(z.(»+<-)-iw).-q|^.
Diiférentiant cette équation logarithmiquement, il viendra /•' /, 1\- , f dUa+c) dL(a)\
/o^-Mi--)-> 0-) • ^- (-4— — -i-) , ,, , , ,, ,
or on a — ~^ = — — — ;r- Soit -^ — = L'(a), et l'on aura
aa «^ a-
//^•-Mi -^r' (4)'-'^-^=[(^'(«+^)-^'(«))+(^(«+'')-^(^o?]- -["g^
Si l'on désigne 2'— j- par i^"(o), ^ -^ par iy"'(«) etc., on obtiendra par une difl'érentiation répétée
y^ \T''-\{l—.Ty-'.(^l~y. (Lv= [2(L"{a-\-r) — L"{(i)) +
3(L'{a + c)-L'ia))(Lia+r)-Lia))+(L{a + r)-L{ar)]F^
/;.r-(l-^r'.(4)^/-^'=etc.
En différentiant l'éfjuation (2) par rapport à a, on aura
*/o ^ -* V jt/ \a3 1 (rt+l)3~ 2 {a+2)3 2.3 ' (a+3)3 i^'^^W
./o ^ ' \ xJ Va4 1 (rt+l)4^ 2 ■(«+2)-t 2.3 (a+S)* "^ 7
et en général
f \'-K{i-xr^ . (1 ^yr^x= Ta (1 - gll ■ ^- + (^:^)(gj) ■ -1- - ('--^)(^-2)(--^) . J + etc.) •^'^ ^ -^^ ^a'^ 1 («+lf 2 (a+2f 2.3 (a+3)« ' /
Or la fonction / ^-"-1.(1 — .r)'^-\ U— Y'"' f/.i- est exprimable par les fonctions
J", jL, -L', Z", . . . i(«-i) donc la somme de la série infinie
L.__^. __1 | (c-l)(c-2) i__etc
est exprimable p.ir ces mêmes fonctions.
Il-y-a encore d'autres intégrales qui peuvent s'exprimer par les mêmes fonctions. En effet, soit
' f ' x'-Kil—^y-K (/ -J'' dx = (f{a, c), on obtiendra par des diffcrentiations successives par r.ipport à r, f^af-\{l —xy-Kl{l —X). (j^)"-' ilx = (p'{c), J'\'''-\ {l—xy-\{l{l—x))''(l 1)"."' dx=(p''ic), J'\''-\{l—xY-\{I{i—x)y(l^y''dx=(f"ic), et en général
Or on a œf«, c) = ^"'^"^ , donc en substituant cette valeur, on obtiendra
l'expression générale suivante,
et cette fonction est, comme nous venons de voir, exprimable par les fonctions r, L, L', L% . . . L^"-'^ . . . L''"-'^.
Ou sait que
Différentiant par rapport à « on aura
\ x/ \ x / da. do.
or !^^=L(a) — C, donc do.
dlFo.
da.
différentiant encore, on aura
Une expression générale pour la fonction
/■Oi)"-(«^)""^-
peut se trouver aisément comme il suit.
En différentiant l'équation (A) n fois de suite, on aura:
or lî^^n^ = Lia) — a donc ll\a) =f{L{u) — C)t1u et r{a) = e/^^"^-^^'^\Aonc
«/o\.r/ \ X / doL"
fonction qui est exprimable par les fonctions r, L, L', L," . . . £,"r^
Si l'on met e" à la place de :i-, on a ^ — = — y. Il __ = /( — »), dxz=z e^dy. donc i
ou en changeant y en — y
Faisant y = z", on a y"r'dy = — d(if) = —dz,ly — ^ h, e-y = e~^ ",
et par suite
f\lzY.e-'" dzz=u"+\
ou en mettant a au lieu de — ■
1 (Iffx
/ {hy.e-^ .dz={—iY.ic"-\ ^LM ^—
/^^/ r:^)"..-^'- ./^•=«'-. Hi:L; j^
Posant «=0, on a / e-''".^/.r= — -./'(—) a/o a Va/
Posant .= 1, on "/X^-^) --"-/— ^^(1) [/.(!)- c] .
Si p. ex. u=2, on aura / e~'''.(fx = ^r(^)^=^y^(n)
et /!"0t) • ""'"• ^^-^ =T l^W (^+ 2 log 2),
en remanp.int que L{^) = — 2 log 2. 11 faut se rappeler que la constante
C est égale à 0,57721566 . . .
Si dans l'équation (A) on pose x^=y'', on trouvera
f y"-^ .1 f—X'' dy = i^ , lorsque n est positif
/ y"-Kl (—Y'^ dy =—^. lorsque n est négatif. Différentiant cette équation par rapport à ce, on aura, lorsque n est positif
Soit y = e~'', et l'on trouvera
y^°°e-"\x"-\ Ix . f/.r= ^ (L{(c) — C— log w),
résultat qu'on peut aussi déduii'e aisément de l'équation
Sommation de la série
y=z(/(0) + ?(l)..r + y(2)..r^ + (f(3).;r'4-... + y(«).r'' n étant un nombre entier yositif fini otl infini, et (f{n) tme fonction algébrique
raiionnelle de n.
M-U'A fonction (^{n) étant algébrique et rationnelle, elle est résoluble en termes de la forme An" et : 7/ est donc résoluble en plusieurs séries de la forme
2)=^A.0"-\-A x-\-A.2".x^-\-A ^" ..x^-\- ...-{- A. n".x'' et B , Bx , Bx"' , B.x^ , , B.x^
La sommation de* la série proposée est donc réduite à la sommation de ces deux séries.
Considérons d'abord la quantité/;. Or A.O" étant une quantité constante et A facteur de chaque terme de la série, nous poserons,
^ — '- — z=zf(tt,x). On a donc A
f(cc, .r) — .r -|- 2'' x'^ + 3^' . x'' + 4" . .r* + . . . + n" . x" divisaqt par ;r, on a
ÙhfL =1-1- 2«. A'-l- 3«..r'' + • • • + n"x"-^;
multipliant par dx et intégrant, il vient
flkh^ . dx=x-{- 2^-'-'.r^-|-3«-'.r3 + • • • + n".~'x'' or en comparant cette série avec la précédente, on voit que
f^^'^'f' .dx — f{cc — l, x); différentiant et multipliant par x, on en tire
