z dx

etc.

a-^" 2.3.4.. (2w-l)*fo x— 1

En général, quel que soit «, on aura

Désignons ^ — par L{a,u), et nous aurons a"

Ua) •/ ,, X— 1

ra— 1

En développant -^ en série infinie, il viendra

or / .r"-'^-i. (/).'* rf.r = W. et par conséquent

./o \ xJ (a—kf

L(a,u) = 1 1- + ... in inf. + C,

{a-ir («-2)« ^ {a-Sr ^ ^

OÙ c est une constante indépendante de «. Pour la trouver, faisons dans (1) a-==l, ce qui donne L[l,(c)^0 et .r"-* = x" = 1 ; pai' conséquent

C= — ~ — / — ;; — i — tt-i: On tire de là r(a) — '

r(a) •/ 0 X — 1 \ x/ OÙ « peut être positif, négatif où zéro.

Substituant cette valeur, on aura

cr+2

.dx-

Considérons l'expression j \^^^ • E" développant ^— -, on aura

donc enfin

■ («-l)3.r(a+S) 1^1 , 1 , 1 . JL + ...) ' 2.3r(a) V ^ 2"+' 3'-+' 4''+' ^

etc.

or on a r(«+ !) = «/'(«), r(« + 2) = «(«+ l)r(«) et en général r{u-\-k) = «(«+ 1) (« + 2) . . . (« + A-— 1) r(«). Substituant cas valeurs, on obtient

Si l'on pose a infini, on aura

X(oo, a) = 1 + — + JL+ L -f . . . etc. 2'^ 3'-' 4"-

donc en désignant L{x>,a) par L'{u) L{a,cc) = cc .Z'(a+l).(a-l) — ='i^^/.'(«+2).(«-ir-+^^^^^±l^ . . etc.

Si dans la formule (I) on met — au lieu de o, on aura

Z(— , «)^ . / i .(Ix

V ff / r(a) */ „ .r — 1

Faisant :c = i/, x devient = y", dx^ay"-^, U— Y ''=«"' (^/— Y"' et par suite

On th*e de là

Si maintenant ?»■ — !<«, ce quon peut supposer, la fraction ^ est

résoluble en fractions partielles de la forme . On aura donc

' 1 — eu

<^«)=^/S-''^+^/iS-«

dy -\- etc.

Si l'on développe —-^ — en série, on voit que \—cy

/S' ■ "^ =/('t) -'"^ + '-fi ('7)'"' ''^+ ^'./X'7) ■ ■"* + •

or / (/—)'•"'/.</» = — i^ , donc

\^.rf^ = r(«).(l + ^+^+^+.-.)' donc en désignant

1 + — — I h + . . . par L'(u, c), ou aura