Tome second
ou en écrivant seulement /"(«), au lieu de f{a, x)
s.df(a-l)
dx
Connaissant donc la valeur de /'(« — i), on peut en déduire celle de /"(«). Mettant a — 1 au lieu de «, on aura
/•(,. 1)— ■r.rf/(«-2) .
dx '
substituant cette valeur dans l'équation précédente, il vient
mettant de plus « — 2, « — 3 etc. au lieu de a, on obtient
/•(r.— 2) = --•"• ^^^^-^> ds
Substituant ces valeurs, on en tire
n, . x.d{x.d{x.d{x . . .d{x.df{<0) . . .)))
On a ainsi la fonction /"(«) déterminée par la fonction /"(O). Or on a /•(O) = x-\- x^-\-x'4-x* + . . . + .r" = ^linf!l , donc
f{tt) = x-{- 2«..r'«4-3«. .r= + . . . -f- w«.^" = b ^ !^ )l-x ^
dx" Ainsi on connaît donc la fonction /"(«), et par suite on connaît de même
la fonction p. Si la suite va à Tinfini, on a /"(O) = — — et par conséquent
x.dix.dix.-.dix. dl— j • • • ) )
x4-2".x''4-5" .x^-\-A" .X* -\- . . . = 1 ^ ^ \l-xy /j
dx"
En faisant successivement « = 0, 1, 2, 3 etc., on aura .r-\-x'-{-x^ + «*+••• = ï:^
dx
x.d x.di—^ — ) /, X
Cousidérons ensuite l'autre série, savoir
multipliant par .r" et ensuite différentiant, on aura
dlF{a.) . J"] x«-' | J" , J''+'
dx
ou bien
rf[i'Xa).a-]
On voit par là que
en multipliant par dx et intégrant, on obtient
fdx.x''-^.F(rt.-l)
On peut donc déterminer F{u) par F{a — 1) Mettant maintenant u — \, a — 2, etc. au lieu de a, on aura
fdx.x'-KFioi-'i)
fds.x''-^.F{t-S)
fdx.x«-KF(\)
p Jdx^^^2KF(«l
On peut donc déterminer F{a) par F{0), car on aura par substitution:
or F(0) = 1 + .r 4- .1- + . . . 4- :r" == ^7^^^ , donc
j,, X J /"rfx /'rfj /Vj^ rdx.jx"-^ —
^tf ^J 'V ' ' J X %f 1 X
dx /Va-.(x<'-i— j-"+'')
Si la série va à l'iiifnii, ou a F(0) = — — , et par suite
Les quantités constantes, dues aux intégrations successives, dovient être des valeurs particulières des fonctions F(0), F(l), F(2) . . . F{a).
Ayant ainsi déterminé les fonctions /"(«) et F{u), on en tirera aisément la somme de la série proposée
Le procédé, dont on a fait usage pour trouver la somme de cette série à l'aide de la série 1 + .r -j- ^"^ -}- ...-{-x", peut aussi servir à la détermination de la somme de la série
à l'aide de la série
où /■(/?) signifie une fonction quelconque, et (f{n) une fonction rationnelle. En effet la série z est résoluble en plusieurs séries de la forme
A.(f{l)x + 2''.fi2).x'-\-3".f{3).x' + . • • + n".f{n).x"),
et A' (^4- /illii-+ L(?hfl + JM^f!^)
■^ a" {a+iy (a+2y' {a+nf '''
Si l'on pose f{G)-\-f{l)x-\-f\2).x^-\-...-\-f{n)x'':^s, on trouvera précisément de la même manière que ci-dessus
m+ /(1L..^.+ /(?L„^.^ + ...+ /W.;r— J-/î^. /^ ...f^.fdx.x-Kds. a" (a+\f («+2)" {a+7if ^"^ x J x J x J
Soit p. ex. .y:=^=l + .r-J 1 -{-.>. + • •
a ' fl+l ' ^ a+2 ^2.3 n+3 ^ x"''
vn.
L'intégrale finie ^"(fx exprimée par une intégrale définie simple.
Vrn peut comme on sait, moyennant le théorème de Parseval exprimer l'intégrale finie S"(fx par une intégrale définie double, mais si je ne me trompe, on n'a pas exprimé la même intégrale par une intégrale définie simple. C'est ce qui est l'objet de ce mémoire.
En désignant par (fx une fonction quelconque de x, il est aisé de voir qu'on peut toujours supposer.
tfxz=fe^.f'v.(lv (1)
l'intégrale étant prise entre deux limites quelconcpies de r, indépendantes de x. La fonction fv désigne une fonction de v, dont la forme dépend de celle de cfx.
En supposant ^x:^l, on aura en prenant l'intégrale finie des deux membres de l'équation (1)
^<fx=fe-.-J^^d„ (2)
où il faut ajouter une constante arbitraire.
En prenant une seconde fois l'intégrjile finie, on obtiendra:
^^(fx = fe-\ T^^ . dv.
En général on trouvera
Pour compléter cette intégrale il faut ajouter au second membre une fonction de la forme
C+ 6>-f fVr'^ + • • • + C-i^"-^ 6', Cj, Cj etc. étant des constantes arbitraires.
11 s'agit maintenant de trouver la valeur de l'intégrale définie té"". — — .dv.
Pour cela je me sers d'un théorème dû à M. Legendre (Exerc. de cale. int.
T. n. p. 189): savoir que
On tire de cette équation
, e" — 1 V ^'Jo e'^^—l ' • • • y '
En substituant cette valeur de — — - dans l'équatiou (2), on aura
Maintenant on tire de l'équation (1) en intégrant
fcpx . dx =JJe^'^. dx . fv . dv = /e"'. ~ .dv\ donc
Sipx =f(fx .dx — :^(px-\-2f^ ^^f^ ./e"'. fv.Hin vt dv.
JJintégrale Je'"'.fv.s\nvt.dv se trouve de la manière suivante. En mettant dans l'équation (1) au lieu de x successivement x-\-f}/^ — 1 et x — t]/ — 1, on obtiendra
(f{x-\-ty — 1) ^fe"". e'"^-\fv.dv
(p^x — ty — 1) =^fe'"'- e-^'^-^.fv.dv, d'oii l'on tire en retranchant et divisant par 2K — 1
Je"". sm vt.fv. dv = -^-^— — ' '^ .
Par là l'expression de ^(fx devient
^(pX—J(fX.(LX—^(fX-f-^J^ e27rt l 2/— 1 ^ '
Cherchons maintenant la valeur de l'intégrale générale
Il n'est pas difficile de voir qu'on peut faire
en faisant ^ — î — = ;>. 4, „, Ji,„,...sont des coefficiens numériques qui
doivent être déterminés. Pour cela différenlions l'équation précédente, et nous
aurons
ITfvHT — (— 1) V^o,n ■ -^ -h Ain ^2- + • • • + -^"-'." dV ) '
// . C'' >l 1^ Il
c'est-à-dire
^;,ig^=„(-i)-(A,..;'+^.,..l + ... + ^.-.,..^)
En comparant ces deux expressions de — — ' , on formera les équations suivantes :
yf ,,„+! Aj,n = A„,, 0 : JJl,n = An
^%"+l A," = — - ^In •'^ = ^■^2," = — -^l'i
De là on tire aisément
A,„= 1, A,„= 2ri , J,,„ = vCI v-l), ^3 ^^-ri 2r(i 2--)] etc.
' ' îi ' \n nJ ' L 71 \7i n/J
Cette dernière é(juation servira à déterminer les constantes qui rentrent dans les expressions de A^„, A^„, A^„. etc. Ayant ainsi déterminé les coefflciens Ag^„, A,„, A^„, etc., on aura en substituant dans l'équation (ô) au lieu de
J^^^ sa valeur
maintenant on a
d'où l'on tire en différentiant
* dp 1 i^a /*5 t-àt. cos vt
do V"^ ./o ^27lt j
d'^p 2 p'^f^.dt.sinvt
dv^ ~v^ Jo e2'-ft j
rff* U-* -/rt e-^'— 1
donc en substituant
s"^^ =/(^..-„„ . î^- ^„-.,„.^ + A„.,.J-^— ■ ■ +(-ir-^o,„+(-iri).-. A'-c/-'
Cela posé, on tire de l'équation (fx=ije'"'.fv.dv les suivantes: f(fx. dx z^fe'^'.fv . —
J'^(fx.dx=zfe'"'.fv.
pcpx.dx=fe-.fv.f^
etc.
de même on aura
fsmvt.dv.e\fv= <p(^+^v/-l)-y-^/-l)
dv dv
fcoS'vt.dv.e'-^.fv = <p(.^+t/-l)+y(x-Av/-l)
donc on aura en substituant
^''cpx=A„.^^„.r{n).f"(px.dx"—A^„.rin—l)f''-'cpx.dx''-'-{- . . . -{-(—l)'''\f(f'X.dx-\-{—i)\^cfx l 0^ 1 \n-i /* i -P- '^^ (p(j+^v/-T)-9(.r-<v/-l)L or iv-i r-^-f't 9(j+/v/-l) + y(j-V-l)
OÙ P = A^^,, — A^^,,.t^-\-A^^^.t'^ — ...
En faisant p. ex. w = 2, on aura
rf< 9(j+^ /— 1) — 9(j— f y/— 1)
rf^ y(j + f /— 1)+ (p(j— f y/— 1)
Soit p. ex. 9;i- =«'"•', on aura
(p{x±tY—l) = e'-\e^'"y'-\fe".dx= l-.e'"^,Jfe''\dx^=^^ .e'^
donc en substituant et divisant par e""
Le cas le plus remarquable est celui où /i = l. On a alors, comme on a Wi précédemment:
En supposant que les deux intégrales 2^(fx etj(pxdx s'évanouissent pour x=a, il est clair qu'on aura:
donc
^çx=ffx.dx-U^fX-rfa)Jr2 fj-^^. 9(-^^^v/-l^ -^(x-^v^-l)
g /-h dt cp(« + ^v/ — 1) — cp(a — 1\/ — 1)
Si l'on fait a;=cx), en supposant que (f^x iitjipxdx sont = 0, pour cette valeur de x, on aura:
ya+g:(rt4-l)4-y(a+2) + ^(«+3) + . ..in inf. "j
— r^ar dx-^^aa — 2 f-^±— ^^au^-A)-^(a-tV-\)\ • • • • (6)
Soit p. ex. f/.r = — ^ , on aura
donc
et en faisant o=l
