Tome second
ÔO
h dt 9(a+fv/-l)— <;)(«-V-l)
<f «-cp(«+i)+<y(«+2)-.f («+3)+ . . . = i9«- '^Jl^^r^^, ■ -— — 2-V--Ï
Soit p. ex. (px = — , on aura
a a + l "■" fl+2 a + 'â ~^ " ' 2« ~ Jo („2+<2)(e''f e-'")
et en faisant a=l,
vm.
Propriétés remarquables de la fonction y=(px détei'minée par l'équation
f,j . dy—dx v{{n—y) («1 —y) («2 —y) ■ ■ ■ iC"—y)) = O'
/y éta7it une fonction quelconque de y,, qui ne devient pas zéro ou infinie
lorsque y=-o., «i, a^, . . . a„,.
oit pour abréger (a — y){a^ — y) . . . («„. — y)=rrT/'y, on aura
^ = — y(uv).
En différentlant on aura un résultat de la forme .^ = ?- ^=z— , où P est une fonction, qui ne devient pas infinie
lorsque if y = 0.
En différentiant de nouveau, on aura
dx^ * dx fy ^ ^^•^^'
de même
d*y P^ "fy =1^ ^-M-r=P ^r=^ VUv-\
dx* \^(-l>y)' dx fy ' rfx^ =>• rfx fy'* ^"f"
etc.
où P, Pi, /*2, P3 etc. sont des fonctions de y, qui ne deviennent pas infinies lorsque ny = 0.
Cela posé, considérons l'équation
+V{u'y){v.Q, + v'Q, + v^Q, + ...) où Qii Qii Qz-, Qi ff*^- so'it des fonctions qui ne deviennent pas infinies lorsque ny = 0.
Supposons maintenant que y ait une valeur qui rende v"y égale à zéro p. ex. y^a, on aura
Q^, Q^, etc. sont ici des constantes, et « la valeur de x, qui répond h y^a et qui est déterminée par l'expression
La fonction (f{u-\-f) est donc une fonction paire de v. On a par conséquent
7(«4- '') = '/(« — «')> d'où l'on déduit en mettant a — v sa lieu de v:
(f{2(( — v) = (pv.
Cela posé, on a de même
(/'(2«j — v) = (fv,
en désignant par «j l'expression / * ^ pr j
dons aussi
d'où l'on tire en mettant liu^ — v au lieu de v
(p{2a — 2ce^-{-v) = cpv,
ce qui nous montre que la fonction (p est périodique. De là on déduit ensuite
sans peine »
(f(+ 2n{(i —a,) -\-v) = (pVy
n étant un nombre entier quelconque.
On a de la même manière
(f(±2»{n — «^)-\-r)=(pv,
donc
^(4: 2n{a — «j) + v) = (f(±2>ii{u — u^ + ^')
et de là
(fÇv + 2«(« — «j) + 2«j(a — «2)) ■=(fv.
En général on aura
(pv = (f (v 4- 2>i{u — «j) + 2wj(« — «,) + 2??2(« — «3) + ■ ■ • + 2m„.i(« — «„))
". Wj, «2 ^^c. étant des nombres quelconques entiers positifs ou négatifs. Ou bien
yv=f;(»j-|-2«« + 2??i«i + 2?/2«2 -f- . . . + 2w„«,„)
où « + w, + «j4- . .. -|- w„ = 0.
Si l'on suppose que (f{k) = 0, on aura, eu faisant v=k,
(f {k + 2mc -1- 2/ii«i + . . + 2«„.«„.) = 0 On peut donc trouver une infinité de solutions de l'équation
si (f{k) = 0, savoir .r=A- + 2(««+ «/«^ + •• • + w««m) où fi-^>/^-\-)i^-\- ...)i„,=.0.
On peut aussi trouver une infinité de valeurs de a; qui rendent (px infinie. En effet il sufllt pour cela dans l'étpiation
de changer y en — et chercher ensuite par la méthode précédente les valeurs
de X qui rendent f=0.
Pour éclaircir ce qui précède je donnerai un exemple. Soit /V = l, ^i'y = l — ^f={i—y){i-{-y), on aura
donc y == sin or = (çx.
Dans cet exemple on a a^i, «i=:l, « = -^ «i = — on a donc
Sn7' une propi'iéié remarquable d'une classe très étendue de fonctions
Iranscendaiites.
l3oit y une fonction de x, déterminée par l'équation
* et t étant deux fonctions entières de x\
Soit de même
frydx = tvy, on aura en différentiant
or t . -^— = — sii, donc dx -^
( dt \ . , do
Cela posé, soit v = ,
, on aur;
dt
dx
ix-a)-^
9'^—fj^
çs
