OU
en faisant t=(p.T et s=fx.
Or on voit sans peine que
o'x-fx o'a-fa . ,, j. , o"'a-f''a , -. , m""a-f"'n , ,, ,
{x-aY — {x-aY^x-a^^r^'L.%^ ''^^2T¥74^ '^^
donc on aura
(.r — ay- X — «
d'où l'on tire en imiltiplinnf |>ar i/d.v, ft inté<ïrant
Cela posé, soit c = 1 ^ ^ , 011 aura en différentiaut
' J £ — Il
(h /* tjdx
da J (jc — «)'^' donc en substituant
ety = — <ia. -'j'~ — fa . z +J'ny(f.i: Soit r = (/;;, on aura en substituant
Jn>/,l.v — rfy = qn.p.-^+(pa.q. '-^-^- -\-pq . fil
Soit <fa- ^+/"«-'/ = 0; «n 'il""»
q=n'a en faisant i/^^.v
/>//r/.f ^-=fpa . xi'fi. -j-
•' X — a du
donc donc
<pB.(|ia •/ vfja.Çrt J.' — a
± ./::^l-v.r.T.r/: ^« =ffJLÎ^.ri.r da . . . (1)
où l'on a
/2=^ç.v/-/-'«+(|t''>'— ^fv^c^— «)+(^v''''«— ^/''''«)(-^--«r4----
Le second membre de Téquatiou (1) peut, comme on le voit, toujours être développé en plusieui'S ternies de la forme :
X,„. / ""'"," .fx'\\px.dx.
' «7 çfl.4i« -^
En faisant (fx = « -|""r^ + "2*'^+ «s-^"' + • • • et fx = (i-\- ^,x + (}^x^- + ^3.r^ + . . . il est facile de trouver
donc on aura la formule générale :
4ja J x — a ^ ^ J {a-x)<i>a.<])a ^^ ' ^ ^ ^'if çn.^irt -^ "•
Il faut remarquer que les intégrales par rapport à x doivent être faites depuis une valeur de ^ qui réduit à zéro la fonction \i<x.(fx, et celles par rapport
à « depuis une valeur de cette variable qui réduit à zéro la fonction — —
La fonction i/='\px étant déterminée par l'équation il est clair qu'on a
ij.fx-}-(px.-^^=0,
donc 1/ est de la forme
dx
et
m, m^, etc. étant des nombres positifs moindre que l'unité, p est une fonction rationnelle, qui s'évanouit lorsque tous les facteurs de ifx sont inégaux et en même temps le degré de fx est moindre que celui de (px.
Supposons maintenant (fu'on prenne les intégrales entre deux limites de x qui rendent égale à zéro la fonction (fx.^'x, on aura
Si l'on donne de même à a une telle valeur que — — devient és:al à zéro
on aura:
Il y a un cas remarquable qu'il est important de considérer à part, savoir celui où
on a alors ■\iix=y:
donc ^=-hr '^'\. ■
L'équation y .f'x-\-(fX. ~~ = 0 devient donc
fx—^(f'XT=:0
donc fx = ^(f'x
et /9m=^('«+l)««,+i-
L'équation (2) devient donc dans ce cas:
Pour vérifier cette formule dans un cas particulier, soit f/.r = l — x^, on aura «=1, f?j = 0, «2 = — 1,
ce qui est vrai, car on a
^(x-a)v/{l-x2) 2/(l-«2) • =Vax— 1— /(l — a2).v/(l — xV
J{a-s)V{l-a-) 2/(l-j-2) ■ "Vax— 1-/(1— a-i).v/(l—J:2y/ Si l'on fait (fx={\ — .r^)(l — c^x% on a
u = \, «1 = 0, «2 = — (1-f f% «3=0, «4=f-, donc
(a-x)/[(l-a-^)(l-c-^a2)] a'^da
Cette formule contient implicitement les propriétés remarquables des fonctions elliptiques que M. Legendre a données dans ses Ex. de cale. int. T. I. p. loi et sq.
Tiimc second.
Extension de la théorie jn'écédente.
\jo\i y une fonction ipii satisfait à l'équation
o=..,+...f +vS- + . . + ^..£^ w
*, *,, *a . . . étant des fonctions entières de x. Soit de même
frydx = v.y+v,.J^ + ...+ /..,. ^ + ^.„.. ^-^ ,
on aura en différentiant:
d'"y dy ^ d'^y d'"-^y
donc on aura en substituant et égalant ensuite à zéro les divers coefficiens:
, dv
dx
. dv, . do„
De là on tire aisément
dits. )
Cela pOvSé, soit ; = ; et supposons que
Sit :
s\ s\ , ^'2 etc. étant des constantes et i?, 7?j , R^. . . (les fonctions entières de
a:, il est clair que *'„ est la même fonction de a que s^ l'est de x. En diflférentiant on trouvera
Al^=(i)."r(/.+i) ^
donc la valeur de — r devient
en faisant
Cela posé soit
f-A'«+l)-nr^ + P-(*)
^ — "^ dx ^lî^
-p dP^R^
dx"*
on aura en différentiant par rapport à a
dz /* ydx
da J {x-a)-
da^ J (x-a)»
or en multipliant la valeur de 7" par ydx et intégrant, on obtiendra en faisant pour abréger
I dy , I d"'-"ij I , d'"-^y
dx
rfx""-*
et x' = x — Xo
rfx""-!
On a donc l'équation suivante eu z
, -r-fiy,,.=..-.+.^.^+,^.^ + ... + ,,.^ .... ,r;,
Supposons maintenant qu'on connaît l'intégrale complète de l'équation différentielle qui détermine la fonction i/, et soit
cette intégrale. On trouvera alors, comme on voit sans peine,
-=y\fPi'f"+!j'Ji>A^+y\fih'i«' + • • • + y'r.fvm.da,
où y'^j est la même fonction de a que y „ l'est de x, et p^, p^. . . des fonctions rationnelles de i/\, i/'^, ij\ . • ■ et de leurs différentielles, et des fonctions entières de x' -\-J{jydx de la forme
Pf^=- -, •
On a donc:
Quant aux quantités 0^, fl^, etc. on peut remarquer qu'elles sont déterminées par les équations suivantes:
O = y\-Or+y'^-O,+y;.0^-{-...+y'...o„.
d""''g , d-^--iy^ , <^"'-V3^ I |__rf'"-V-n rf»---^ 1^ rfa-"--^ -2"f" rfa--^ '^3i- •••-!- ^^^„.i
Les quantités flj . t'a, ^''3 • • • sont donc des fonctions de « seul. Pour appliquer ce qui précède, supposons ?« = ! et ?« = 2. 1. Si m =1, on aura
— ^=y\-Oi^ donc ^1= p,
X = s^fi/=:-j^, x' = X e» supposant /o = 05
de même
donc l'équation (6) deviendra
f'est-à-dire
f-^a+'^y'^y -fis-X.s', =-y'^ ff^ ^ ^•^''«
la nu'ine équation que l'équation (I) du mémoire précédent. 2. Si 7H=2, on aura
d'où l'on tire
y^' da y^- da *»-"rfflr-^i--rf^
Or des deux équations
on tirera
-^ -^ da^ ^1 da-^ ^ s'\y ^ da ^i""rfa'/~"'
donc
^* rf« ^ ^ da —
par conséquent:
On a de même
dx or *;=*,< - i(V).^£^ , j;^ , ^ rffl,
' dx x—a~(x — a)'i^^ ~dr
et *,.f=f:i-+/? donc X — a ■'
L'équation (6) deviendra donc dans ce cas
-da
2 ■ rfj-Q */ •ï'o '^
/•-i^da
-y^-y^J-(^:=âv--^ 'y-y^-yoJ-ç^;=n)i-^ •y\
r-ili^da
da
dy,fda j^, J s^ "" , ^ /^
y^-d7,j^^^ y^^y^dx^js
da
RZ.e" '^ "'
^y^-d^jir-'^^-^ -y^ y-^-ds^ J s\^^^-^ -y^
ou bien en faisant
et ;(' =
dx Pi P(,
ys-2.
j:.— a j-„— B "^ (jj — «)2 (j-o— o)**'
6li Si l'on suppose *j = 0, *a = Opour :r=:rj et a^=^p, on aura la formule:
f-j^=^{y-Jf~^y'^-'-'--y'^-ff-jt '''^'''■'^) • • • • ^'^
Dans la formule (8) on peut faire y=V^(p+V^(/>*+$'"))4
/bVCp^'+ç")]
«,, «2... «m étant des fonctions de a, et cherchons s'il est possible de faire en sorte que z satisfasse à l'équation
, dz /• j , , du , , rf™-'» , Sm d'"y
P'^ + y■l^^=S^y^^^+''y+^'^^^ + ^^ + ^'-^■ll^.+Jzra■l^i'
En differentiant l'expression de z par rapport à a, on aura
rffl ^ ^j;— « "T" (x— a)2 "1" (x — a)3 "I" (J— «)* ~--V^ '
donc CD substituant :
fnjdx = x,
OH —/•:=() -. ^ T— r^ — etC-
X — a (x — ay (x — ay
or on a vu que
r — «4- ^' A- ^'' 4- !aIL L 4- *'■" ^("'+^^
r rt ~ (X — rt)2 ~ (X— fl)3 1 • • • T^ (j,rt)m+l
On a donc les équations suivantes:
donc ou bien
"+' ~rf^'
«n = On -f- f • «n+l ' ;3
en faisant pour abréger — — ^ = «î,. et !— = f .
De là on tire
c, 1^ da.„+t
donc
«,- cî„ + ,d„+, + 0''- ^)«„^ 2..^
Comme on a m-j-1 équations et m-\-2. indéterminées, on peut faire s constant; alors on a:
î- I V dhn+\ I o ^ dlX,+2 I d^a.n+i
Il est clair que «„ est de la forme
i-iA+2 ^^ • — ;^^ -1- -^?^r-
En faisant ?/ = 0, on aura
rfSj
(fa
da da-
' ' da ^ da- da^
~ '" ■ rfa "*" 2 ■ rfa2 ■■■— rfa"-
Cette équation détermine la fonction y.
En substituant au lieu de à„ sa valeur — — z= s\,.oi, on aura une équa-
ï tion linéaire en co.
Ayant ainsi trouvé toutes les inconnues, on a d'où l'on tirera la valeur de z.
