Tome second

Su?' la comparaison des fonctions transcendantes.

J^oit y une fonction algébrique quelconque déterminée par l'équation

«, «j, «2- • • étant des fonctions entières de x.

Soit de même

^5 ^1, q^ etc. étant des fonctions entières de x et d'un nombre quelconque d'autres variables, savoir les coeffîciens des diverses puissances de x dans les fonctions q, q^, q^, etc. Soient a, «j, a^, a^.. . ces coeflTiciens. Cela posé, on peut tirer des deux équations (1) et (2) la fonction y exprimée rationnellement en X et en a, a^, a^ etc. Soit r cette fonction, on aura

En substituant cette valeur de y dans l'une des équations (1) et (2), on

aura une équation

s étant une fonction entière de x, a, a^, a^ . . .

Cette équation donne x en fonction des quantités c, o,, c, etc. En différentiant par rapport à ces quantités on aura

la caractéristicpie d' étant uniquement relative aux quantités a, cr,, a^ etc.

De là on tire

et en multipliant par f{y,x), où f désigne une fonction rationnelle de y et x,

f(y,a:).dx==-^-^.d's (5)

\dx)

où on a mis r au lieu de y dans le second membre.

On aura donc, en développant la différentielle d's, une équation de cette forme :

f{y, x) . dx = (f{x) da + (f^{x) . da, + cf^{x) .da^-\- (6)

(f{x), (fi{x) etc. étant des fonctions rationnelles de x, a, a^, a^ etc.

Cela posé, soient .Tj, a-^, x^...x^ les racines de l'équation *=0; on aura, en substituant ces valeurs au lieu de x dans l'équation (6), n équations semblables qui, ajoutées ensemble donneront celle-ci:

fiHx , xyx^ + f{y^,xùdx^ + --- + fi>/« » -^n) • dx„

((f{x,) 4- (f{x^) + (fix^) + . . . + v(^-«))-da 1+ («ri(-*-i) + ?i(-*2) + <Pi(^3) 4- • • • + <iPi(^")) • d^'i 1+ («^îC-^i) + y^G^'a) + 9^2(^3) + • • • + (p^i^'n)) ■ (fa^ ^-f- etc.

c'est-à-dire

fO/i > ^1) • dJ^i +fiyi, ^2) • dx^ + • • • +/'(yn, x„)dx„=iR.da + R^Ja^ + E^.da^-\-. . . où H, i?j, ^2---sont, comme il est aisé de voir, des fonctions rationnelles de tf, «j , «Tj . . .

3Iaintenant le premier membre de cette équation est une différentielle complète; le second membre est donc aussi immédiatement intégrable. En désignant donc

/{R.da + R^da, + R^da^ + . . .) par ç, il est clair que p est une fonction algébrique et logarithmique de a, «1, a^. . .

On aura donc en intégrant et désignant

ff{i/,x).dx par i/^(.r),

y,ix,)-\-,p{x^ + xpix,)^...-\-uix,.) = C+Q • (7)

Cette équation exprime, comme on le voit, une propriété de la fonction ^p{x) qui en général est transcendante.

Les quantités x^, x^, x^...x„ étant des fonctions des variables indépendantes a, a , a^. . ., il est clair qu'on peut, en supposant que le nombre de ces variables est ^1, regarder un nombre /i des quantités x^^, x^, ^r^ ... :r„ comme indéterminées, et les ?i — fi autres comme des fonctions de celles-ci. On

peut trouver ces fonctions de la manière suivante.

Soient .r^, x^, x^. .. a-„ donnés, et faisons

P = {X—X^) {X X^ {X X^...{X — Xa),

on aura, en divisant l'équation * = 0 par j), une équation

*' = 0 dont les racines sont les quantités x„+^ , x,,^^ . . . x„.

Dans cette équation les coefficiens contiendront les quantités a, a^, a„ . . .«u i; il faut donc exprimer ces (juantités au moyen des quantités .r^, x^, .r, . . . x\. Cela peut se faire de la manière la plus facile en mettant dans l'équation (2) au lieu de x successivement .r^, .r^, x^. . . x^- En effet, on obtiendra alors f,i. équations linéaires en a, a^, tt^...ai,^ qui serviront à les déterminer. En substituant ensuite ces valeurs dans l'équation *'=0, on aura une équation du degré n — //, dont tous les coefficiens sont des fonctions des quantités x^, x^, x^...Xfi; par cette équation on peut donc déterminer les fonctions

Il n'est pas difficile de se convaincre que, quel que soit le nombre //, on peut toujours faire en sorte que 7i — jli devienne indépendant de //. Au moyen de l'équation (7) on peut donc exprimer la somme d'un nombre quelconque de fonctions de la forme fx par un nombre déterminé de fonctions de la même forme, savoir

ip{x^)+rp{x^) H- . . + ^i:>^f,)=c+ Q — (H^,) + ^(^2) + ^'(^3) + • • • + ^i->'))

en faisant Xu^k = ^k <?t ?i — fi^v.

On peut déterminer la fonction en donnant à chacune des quantités x^ , x„ . . . Xu une valeur particulière. Alors la formule devient:

— Q'— Hi^J — t/'C^J — ... — ^i:,) \ . • • (8)

+ niz\) + xpiz'^ + • • 4- ni^\) )

en désignant par z'^ la valeur de z^ lorsqu'on donne aux variables x^, x^.-.x^ les valeurs x'^ , x\. . . x\,.

Dans le cas où // est plus grand que v on peut trouver une formule beaucoup plus simple. En effet supposons (ju'on ait entre les quantités x^, x\. .. Xft les relations suivantes

^l^^^^lJ ^2^=*25 ''s^^^'S • -Cy^^^y \")

on aura aussi

ou bien

vP\) + ni^i) + • • + vi-Tu) = ?—()'+ ^ix\) + i^'(xg + . . + v(.r'^)

Parmi les quantités .r^, .r2....r„, ^/, — v sont des variables indépendantes, les autres sont des fonctions de celles-ci, déterminées par les équations (9). On peut donc faire

et alors ou aura

Les quautités x^, x\^, .r,. . . a.-„ sont liées entre elles par les étpiations (9), mais comme ces équations contiennent // -j- j> indéterminées, savoir

il est clair qu'on peut regarder les /< quautités x^, x^, Xy...Xu comme variables. Les quantités x'^, x\, x'^ . . .x'y se déterminent par les équations (10). Pour cela soit

-4= (fki^i J X^, X^... Xa),

on aura les équations

<^i = <Pii^\y -^'a • • • •^'")j ^2 = <?2(^'i' ^'2 • • •<") • • • e.'=(pA^\, x'^... x'f,) fj = (p^{x^ , x^... X,,), r,^ = (f.{x^ , x^... X,) ...Cy = (py{x^ , x^...x^) Or les équations (10) donnent

X y^, = Pli -^ v+s ^^^ p 2 ■ ■ ■ ■** ," ^^^^ r/^-y ' en substituant donc ces valeurs, on aura les v équations suivantes: <Pi(^x , X, . . . x„) = (p^{x\ , x\... X',, fi^, §^... ^„^)^ cfSx^ , x^...x^) = (p^{x\ , x'^... X',, ,:?j ,/?,.. . fif,M

(f,{x^, X^...Xf.) = cp^{x\, X'^...X',,, t\, li.^...fi,u-r)\ • • • (12) (f^X^ , X^...Xf,) = (pAx\ , X\^ . . . X',,, ^j , f}^... (i„;)i

qui donnent les valeurs des quantités x' ^, x\, x\ . . . x'y.

Ces équations sont très compliquées; il est plus simple d'employer la méthode suivante.

En supposant dans l'équation Çl)n-=[i-\-v et ar„^i== r^ , x^

cette équation deviendra

V'(-^i) + ^(-^2) + • • • + ^'(^.") = C-\-ç, où les quantités x^, x^. . . a^^ sont liées entre elles par les équations suivantes;

Cela posé, si l'on fait x^ = x\, x^ = x'^ . . . Xr = x'y et 3^^+,=^^,

.r',.+,=/?2 • • • ^'/^=i'^f<-yi on aura

C = -ç< + ^ix\) + xpix'^) + . . . + ^{x\,) et ^{x^) 4- ^(x^) + . . . + xliXu) = p — f '+ V^{x\) + if'(:r' J + . . . + i/;(xV), où .r'j, ^î^'j . . . :rV sont déterminés par les équations:

^x\) = 0, e(:rg=0, ^{x',) = 0...^{x\.) = 0 (15)

0G5J =0, 9(pg = o, o(/?3)=o...e(/Vr)=o (16)

Hc^)=0, 6(rJ = 0, 0(r3)=O...9(f.)=:O (17)

Désignons maintenant la fonction * par 9j(ar), il est clair qu'on aura aussi

0^(07',) = 0, e^(/îi.) = 0, 6,(c,) = 0,

pourvu que a, a^, a^. . . «„, soient déterminés par les équations (16) et (17). On aura donc

En divisant l'équation 6^(a^) = 0 par le produit

(•^ — A\)(-i- — /?2) . . . (^ - /9^-,.) (^— <^i)(^ — '^,) • . • (^— O), on aura une équation du degré v dont les différentes racines sont les quantités

Dans ce qui précède il faut remarquer que si plusieurs des quantités /9j, ft^ etc. sont égales, p. ex. si

ft,=(i^ = ... = Pk, on aura, au lieu des équations

celles-ci

La même cliose a lieu, si quelques-unes des quantités x^, ^^ • • • ^u sont égales entre elles.

Ayant ainsi déterminé les quantités x'^, x\, x\...x\ en fonctions de '"ij Cjj, ^3 . . . c^, il est clair qu'on peut regarder ces quantités comme des varial)les et déterminées par les équations (15) et (14). Les (piantités .r^, .r^...:r„ deviennent alors indépendantes et x\, x\^...x\, des fonctions de ces variables.

Application de la théorie précédente. Je vais maiutenant éelaircir la théorie précédente par plusieurs exemples. Soit 0 = « -|- « ^y.

Daus ce cas on a m=l et par conséquent l'équation (2) devient

0 = q = a-\-a^x-{- a.^x'' + . . . + o„-i.r"-» -\-x^ = s, . . . . (18) d'où l'on tire en difl'érentiant

ydx = -^7^ •

En désignant Aoacfydx par \p{x), l'équation (7) devient

Hi-^^) + v(-t-,) 4- v(.r3) + . • • 4- ni^-n) = p.

où — do =

rf«

j / \ds^J \ds^J +

.da

^■iVi

ds^ \ / ds^ \ dx^ / V t/jjj /

\dx.

■ da^ \. . (20)

^""Vi

+ {{ds.

dsj\ / ds^ Y

\dx7))

Comme le nombre des quantités x^, x^, x^ . . . x„ et celui de celles-ci a, a , a, . . . «„i est le même, toutes les quantités x^, x^. . . x„ sont des variables indépendantes.

De l'équation que nous venons de trouver, on peut déduire deux formules, qui seront d'une grande utilité dans ces recherches.

Soit d'abord y = x^, on aura

La formule (20) deviendra donc JL{x;^'-\-x^-+'+...+x„^')=—fiI\Ja+P,.^^Ja^+P^Ja^+... + Pr^^^^^^ en faisant pour abréger

\ dx^ / V dx^ / \ dx^ J \dxn '

Maintenant le premier membre de l'équation (21) peut s'exprimer par une fonction rationnelle et entière des quantités a, a^, «.,... ff,.i. En désignant

donc cette fonction par — - Q„^i, il est clair qu'on aura

p ^^ 1 ('iQ.,+,\

"^ m + l V duk )'

En faisant »î==0 on aura A=— ("^^V

Or Q^ = .r^ -\- x,^ + .Tj + . . . + .r„ = — fl,.i

La fonction Q^ ne contient donc que la variable «„i. On aura par conséquent Po=0, P,=0, P^ = O...P.^^ = 0, Pn-l = l.

Soit maintenant î/^ -^ ^-î on aura

fydxz= — . . — j = nix);

donc 1 / 1 , 1 1 , 1 \

=f{Pj'\da + Pj'\da^+Pj^\da^ + ■ • • + PJ^-'^da^-,), en faisant pour abréger

Si l'on fait ou aura

" în — 1 \ dai, /

Si ?«=1, cette équation devient illusoire; or dans ce cas on a

fydxz=z\o^{x—a), donc si l'on fait

t—{x^ — «)K — «) . . . {x^—u) = {— !)»(« + a^« + «^a'»-f . . . «„i««-i-f ««), on aura

P w= (jL) . L.= ^ .

Dans l'équation (20) la fonction q est en général une fonction logarithmique et algébrique, mais on peut toujours établir de telles relations entre les quantités x^, x^ etc. que cette quantité devienne égale à zéro.

En effet soit Q=.à-{-d^x-\-d^x'' -f . . . + u^{a-\-a^x-\-a^aP' + . . . «u ia;."-'4-.r.")=*; on aura en différentiant

0 = (-^) dx + « j {da 4- .r . </« j 4- .r' .da^-\- . . . x."-\ da^,),

donc

ydx =

et If (.rj -f- i/(ar.,) + . • . + V (•»•..) = ç, ç étant en général une fonction entière qui s'évanouit lorsque le degré de a est moindre que celui de «j. Dans ce cas on a donc

%i.v^)-\-xli.r^)... + -^ix..)=C. (23)

Les quantités .r^, .r^, .r^ . . . x„ sont liées entre elles par les équations

où l'on a fait pour abréger

«^ = (f (.r) et — {,)■ + (^'..r + (î^-t* + • • • + «^,.-1^"-') = M- En faisant dans l'équation (25) x^=x\, x^ = x\ etc. on aura

Uix^) H- a^<.r J + . . . + V(-^-») = V(^'i) + V'C'^',) + • • • + ?(•*•'")• Dtus cette équation on peut regarder â, d\ etc. comme des variables; par conséquent on peut regarder .r^, .r„, x^ . . . comme des variables indépendantes,

et faire en sorte que ^ix'„) = 0, ilix'„i) = 0 V'(-*'V'+i) = ^•

On aura donc la formule

^■{xj + ,j (.r J +....+ .;■(./■„) = ni.v\} + uix;) + ....+ V'K<) • (2^)- Soit par exemple «=1, «j=:.r, on aura y (.r) =r /- "*- = log a:.

donc si l'on fait x'^ = x'^ ^ . . . = .r'^,+i r= 1, on aura

par conséquent

'og (^J + log(.rJ + . . . + log (xu+t) = log (.ij ..i-^..r3 . . . .i>+i), comme on sait.

Soit maintenant fj = 1, «^ ^ 1 -|- x-, on aura

ii{x) = arc. tang (x),