Tome second. \Q
0=J+c5>-3 + (l + ..%).(« + .r3), arc. tg. (.r J + arc. tg. (x,^) + arc. tg. (.r,) = C;
donc :f^-j..r^j^r^^^.;P^.^^ = (y .
Soit, pour déterminer C, x^z=x'^,x^ = — x\^,x^:=x\, on aura
C'=arc tg-.(^'J, x'^ + x'^{x'J'=ô, l-\-{x'J^=-â^.
Des deux dernières équations on tire, en éliminant x\ ,
or les équations (25.) donnent
donc en substituant on aura
arc. tg.
(a;J + arc. tg. (orj + arc. tg. (xj = arc. tg. rjh±f^±fA^ÎAf^^) .
Pour trouver la valeur de dç, il faut, selon ce qu'on a vu, exprimer eu fonctions de a, a^ a^ . . . des fonctions symétriques de x^ , .i., . . . x„ de la forme
Jl-bL | /(f^L | ... | /(•*■»)
mais comme cela est en général très laborieux par les niétbodes ordinaires, je vais développer quelques fornuiles qui sont d'une grande utilité dans ces recbercbes, et qu'on peut déduire de la théorie précédente.
Soit dans ce qui précède i/ une fonction rationnelle f\x), on aura ?n = 1, et par conséquent
0 = «7 = rt + '',-ï'+«.y^'*+ • • • -{-ff„x'' = s = (p{x), d'où l'on tirera eu dilTérentiant
fX . (Ix ■= 1 i ^ . fx
ep'x
donc l'équation (20) deviendra
ffx^ . dx^ +Jfx.^ . r/x.^ -\-ffx, . ,fx, -}-... +//>„ . dx,. = ?
Cela posé, soit
Jfx.dx =z-\^x -\- 2 A. log {x — S), on aura
Q — •f'C-^'i) + V'(^a) + ■ • • + i^'(*-») + 2>llog(.rj — (5)(A-, — ())(.r,— <)) . . . (.r„— ()).
La quantité i/;(a:J-j-^(*^2) "H • • • 4" ^C^») ^^* "°^ fonction symétrique de .Tp .r.^, x^...Xn\ on peut donc exprimer cette fonction par une fonction rationnelle de «, «j, «2 . . . «„. Soit ;j cette fonction. La quantité {x^ — d)(.i-., — à)
. . . {x„ — ()) est la même chose que ( — 1)". -^^ ; on aura donc
Ç=P -\r ■^'^(•ogy(<5) — log«„).
d'où Ton tire
dp dp
da„ da„ Lç5 sda.,/ «, V da^ /
on aura aussi
donc ^„= fi!>^+ 'Jld^ + . . . + J^:i!^^
or — ?— = 6™, donc ria.
Le signe -}- ^ Jieu, si /h = v, et le signe — , si m < n. Si l'on fait m •==. 0, on aura
/Ti I Aï i 1 A" ^P V ^
o 0*1 ç Xj G a'„ na çô
De l'équation (26) o^i tire aisément follc-ei
Où F(^) = l? + /?,.r4-i?,.r^+-- +<?n^'"-
En faisant f.v=l, on aura t;vr=.r, donc
donc
i?(Xi) , J'(X,) Il ^(x-) ^ ^-- P-«- . <p'Xi 9'.r2 "'"■■■'" <p'j„ fl„ (a„)2
11 suit de là que
si ?w est moindi'e que n — 1 ; que
et que — i r h • • • H ^ — = —7—^ (^")
Si l'on fait fx= j- , on aura p =zO, A = i, donc
F{s,) , 7<-(x,) , , J-(.rO P..i^5, . . (51)
(xj — 6)9'Xj (xj — 8)9'X2 "^ ■ ■ ■ ^^ (j;, — 8)9'x. «, 9Ô
De cette équation on déduira en différentiant m fois de suite par rapport à â:
(Xj— ô)'"+i.9'x,~' (X2— 8)'"+'.9'X2 ~'~ ■ ■ ■ ' (x„— 8)'"+'.9'x, r(m+l) ' {dlY
ou bien en développant le second membre de cette équation
Fjx^) , F{s^) . , F(s.^ __
(xj— Ô)"'+'.9Xi "' (Xj — 8)'"+».9'Xa "T" ■ ■ • "I" (x,S)m+i.ç/x„
ffaTT) W PJi „, ^9S^ ^4. , >»(m-l).. ■(» + !) i/^.J^.
^ '\ {dhY ' (rfô)™-! ■ dh "^••■"f~ l.2.3...(m— «) ■ (dhy (db)"""
Par exemple, si wt =^ 1, on aura
/i'(xO . Fjx.,) . I J'(x,.) ^.__ F'h , Fh.<f'h
(x,— 5)2.9'xi '" (xj— 5)2.9'x.^ T • • • -r (^__g)2 ç.j.^ ^5 ~ (çS)a
Sur les fondions gcnératrires et leurs dèlcr minantes.
l3oit (f{x, y, r . . .) une fonction quelconque de plusieurs variables x,y,z..., on peut toujours trouver une fonction f{ii, r, p . ■ ■) telle que
(p{x,i/, z . . .) =fe^"+^'+--''+-.fiff, v,p...).fh(dvJp (1)
Dans cette équation j'appellerai (p la fonction génératrice de /" et /" la déterminante de <f, et je ferai usage des significations suivantes:
(f{x, y, z.. .)z=ifgf{u, v,p...)\ ^2)
Cela poséj considérons d'abord les fonctions d'une seule variable, et soit
(fx=fe".fo.dv (3)
on aura (fx-=fg.fv\
fv = Difx ) Soit de même if^x =^J^^'.f^v.dv,
on aura (fx -\- (f^x =Je"(fv-\-fiV)dv,
donc D{cfx -\- (fyv)^ fv -j- fiV;
or fv = D(fx, f^v ■= Dff^x,
donc D{(fX-\-(fix)-=D(fx-{-D(fiX.
On aura en général:
D[(px + <f ^.r 4- (f^x + ^3^- + ...) = Dcfx -f Dff^x + D(f>^x + D(f^x-]^... Ci) donc aussi
fff(f^^ + f,v + f,v+...) = ffffv-\-ffff^r + fgf,v-\- (6)
D{a(fx) = aD(fx\ .
fg{afv) = affffv]
En mettant .r-|-« au lieu de x, on aura
(f {x 4- u) =fe^. e" ". fvdr donc Dif {x -f- ce) = e-'". Dcfx
JJ(f [X -\- a) = e'". lJq:x \
fff(e"^Difx) = ^{x-\-cc) =fff{e"rr) ]
En (lifférentiant l'équation (5) on aura:
ds
V ^9:L—Je--.vfvdv
d''(fixi ^ •'
donc Z>{ -^ ) = v'/V? = vDifx
De la même manière on aura en différentiant l'équation (5) ii fois de suite
^-^ = fe^\v\fvdv
donc: D {^)=v-.fv=v-. Dcp:v j
mv"M=fffiv'^Dcfx)='^^
De même:
D.{f"(fX(lx") = v-'^.fv=?r''.D.(fX \ fg{r-"fr) = fff{v-''D(px) =f''(fXiLv" ] En prenant la différence finie de l'équation (5) n fois de suite, on aura: J\ffx =fe''%e''"— if.fvdv, en désignant par « la différence de x; donc : D . Jj^^fx = (e""— \Y .fv\
D.2\ri(fx) = ie""—1)-".M
fff {{("'"— 1 )~"-A0 = ■^«"'?^; On trouvera entièrement de la même manière :
D . (.•/„» ^«."' J,,."". ■ ■ rf"g;(-ï+/?)) = e^^- ir{e'-"— 1 )" {(""'— 1 )"' (C^- '— l)"'- • • A'- ) , , - . fy(v''{e^"—l)"{e-"'—'[)"{e""—iy''...e'?) = J,r ^a^' Ac^' — fl"'(f:(x+ [I) \ ' Soit en général
Ô{(fx) =/"'•'■. fiiA„^c. ■ ?'"<■"" + ^>.',«' • *'"■ ■<""'■'+■■ ■)dp, donc D{ô(fx) = fv . {A„^„ . Ve^" + A„.,,, . v»' . e""' +...)•
Soit J„,„.ï;"e"« + J„,«..?;"'.e''«'+... = i/(r)- • • (1^'»)
on aura D{d(px) = rp(v).fv = ^{v).D(fx (I(>)
Soit de même D{ô\(fx) = xp^{i^) . D(px\
D{f1^'l.x)='ii'^{r).D(fx[ ^j.^
on trouvera aiséiiicnt :
et en général
I){â(\,\ . . . ,l^(fx) = ^i^^). rp^{r).^'^{r) . . . xpf.{r>).fv donc aussi D{ù"(f.r) = {iir)".D(f.v
D{,)"ô\"^â^''2 . . . d^"."g.r)=(u./')".(v, r)". .(,;,j/;)"=. . . (v,, <')>./>(;. r| ffj{{v:i-T- i^if'T' • • • ( V)"-" • ^'f^) = '^"^i"' • • • ^f"f(fx
Application de la théorie précédente.
La théorie précédente des fonctions génératrices est très féconde pour le développement des fonctions en séries.
Supposons par exemple qu'on veut développer f/(.r-f-«) suivant les coefRciens différentiels de cfx. ,
La déterminante de q(x-\-a) est=e""./V', et celle de —^ = i)^.fv. Il
s'agit donc seulement de développer e"" en termes de la forme A^.o"; or on a
e^': .fr= fr + . . rfv + ^ . r^r + ^^ . r^'r +...
En prenant la fonction génératrice de chaque niemlire de cette équation, on aura, en remarquant que
fff{e^".fv) = if{x + ,0 et fy{v"fr) = ^. ,
comme on sait.
Supposons en général qu'on ait une relation quelconque entre plusieurs fonctions de la forme: {\pv).{\p^v) . . etc. composée de termes de la forme
^..,»„.., „• (rpvf-iH'^,)'"--- ('^•'V')""
et désignons cette relation par
^A„^n „„,... y. (ipvriipv^)"' ... {nv„)y = o (19)
En multipliant par fv et prenant la fonction génératrice, on aura
-^4„,„,,„^ ^^.fff(fv.{nvr.(xpvX' . ■ (uv'„)"" = 0;
c'est-à-dire ^A„^„^^„^ . . . „^^.ô"â^"'d^"' . . . df,''f^{(fx\ = 0 (20
Cette é(juation exprimera une relation générale entre les différentes opérations indiquées par les lettres ô, â^, ^^, . . .
Problème 1. Soit d(px=: q[x-\-a)-\-a(px, et proposons nous de développer d"cpx en termes de la forme A^.(p{x-\-jnu).
La déterminante de (f{.T-\-u) étant e"" .fv et celle de (px, fv, il est clair que
Dôcfx = {e"" + a)fv,
donc Dd''cpx={e'"' -^-ay.fv;
ayant de même D(f{x-^?na)= e"'^".fv, il faut développer («""-(-«)" suivant
les puissances de e"";
or on a
donc d''ç>.r = «". ç .r -}- ?/ . a^-K y (ar + «) -f "^""^^ o'-^. (f(x-^ 2cc) -\- . . .
on a aussi
(« | e-K)" = e'""' -|- wa . e("-'>« -\- "^"'^^ a\ e^''-'^>"" -\-...
donc
dyx = (p{x-\-na)-\-7m(f(x-{-in— 1)«) + ^^^pl tt'.(p(x-{-{n — 2)u) -f . . .
En faisant o= — 1, on a à"q)x = JiPffX, donc
J,c'^(fx:=(f{x-^n«) — n(f(^x-\-{n — 1)«) + L •9(-'^+('* — 2)«) — ...
Problème IL Soit J(f ar = ^(.r-(- fO~l~ '^?**'5 (5'i^.r = ^{^-\- «i) + «i^^ et proposons nous d'exprimer l'opération (5"^ par (î".
On a Dd"'q.i- = {e""-\-ay\fp, Dd''^(px = {e'"'i-\-a^y .fv.
Il faut donc exprimer (e"" > -{- a ^)" en termes de la forme A„,{e"" -\-a)'^.
Soit e'"'' -}- «j =^, e"" -[-« = ;, on aura
lu donc // = r/j + (: — «) "
donc ô"^(fx = 2\A,„.d'"(fx.
SI
Soit par exemple «ji=«, on a
En faisant «^ = 0, on aura ô''i'f-v ^=: q:{x-\-?ia), donc
ç(.r-)-w«) = lY'ff.v — )Ht.d''~^(fX -f- —^ — - a^d'^-^cfx — ... si a= — 1, on aura
q){x-\-na) = Ja''(px-\-nJ^^(px -j- "^"" A J„'^-\x + • • •
Problème III. Soit ^gia; = ç!(:r-|- «) — oç^j; et <5^.qpA- = mar -1- A" — ?^
dx
et proposons nous de déterminer <?/' par J.
On a Dâ^cfx ={c-\-kv) .fv,
donc DS"^(fx=(c-\-kvY.fv\
or Z>(yç)a; = e"'' — a ;
il faut donc développer (c-\-kvY.fv suivant les puissances de e"" — a.
Soit c-\-kv = y, é"" — «=c, on aura
i7 = -— log(î + «), y=ic-\-—-\(i^{z-\-a).
