Tome second. jj

On a D^{x -f «) = e-'-.fv et D . i!?(^±^) ^ ^n^. ,.« f

Il s'agit donc de développer <?'" suivant les puissances de v.e^\ Or on a (Legendre Ex. de cale. int. T. 2. p. 254):

Soit 6 = e«, r = e^, on aura lb=a, lc=^, donc

^-=:l+«.^^/^-|-«(«-2p')^^ + «(«3^f.4:^+etc. donc q,(;t+ «) == ,^^- + « . iM^±ê). + «(«-2^) . '^(■x-+2?) , a(a-3tJ)2 rf3(p(x+3g) ,

a(a— ?;g)"-i rf''ç(a:+«|3)

En posant .r=0, et écrivant ensuite x au lieu de «, on aura:

^x = <fiO) + x.cp'ip) + "("-^^> . y''(2^') + -^"fl^' • ^f '"(3/^) + . . .

Soit (fx = x'', on a (/ (.r-j- ?<,'?) = (.r-j-jî^î)*",

donc ,jp(''^(ar-j 7î^5) = ,„(,« l)(/«2) . . . (m — ??+ l)(.r+«^^)'»-'',

et par suite :

ix-\~a)-=x-^ +~a. (.r + ,?)"-» + -'^!^^ «(« — 2.6^) (or + 2/5)"'-^ + . . . . , . ^ >nOg-ï)(..-2) . ■ . (....1) „(,„,y-. .(,+,,,)...-« + . . .

Soit ç;i- =:: log .r, on aura (/Gr+??/5) = 1og (.r + ?2,^);

donc ^(")(:.+,.^).= + '•y^.g)!""'^^

donc

" ~ x+^ '^^ x+2?, .r+2^ ^^ x+3^ \ s+S^ J ' Soit .r= 1, on aura

log(l+«)=:__*^-i 1 « 2^-a 1 ^ « /3g-ay,

' 1 + P ^^'1+2^ 1+2^ ~3"l+3^ Vl+3i5/~""

"^ ^ ^ 1 + ^ ^^ l+2gV' 1+2^/^31+3? V^ 1+3?/^ ••

Soit a=z2jj, on aura

Prohlème V. l)évelopj)er J,P(fX suivant les puissances de n. Ou a DJ^ffx = (e"« — 1 )" .fv ;

donc DJ,P(fx=zfv (l +n log (r"^'— 1) + -^ (log(«"'"— 1))* + . . ),

d'où l'on tire en prenant la fonction génératrice

J,r^x=^fx-{.nfg{\o^{e^"-i).fv) + H1-' ffj[{\o^{e^" - 1))Y?;] -f . . .

Soit //7(lo§(e"^ — Vj.fv) = âqx,

on aura

/V/((iog(^-— l))^/•^) = '^V^•;

donc ^„"f;'.^• = ç:.^•-|- ^/rf^o.- -|- -7^ • d'^^fx -{- ,7—5- . ô^ffx + • . .

Pour déterminer âq.x il faut développer la quantité log (e"" — 1).

On a log(<'"''— l)=z\og(e''''{l—e-'"'))=vu — e-""' — ^e-"^" — 1^-'""— ... donc

d(fx^=a . ^-^ — (f{x — a) — ^(f(x- — ■2(c) — ^q(x — 3a) — ^(f{x — 4a) — ...

En différentiant cette expression par rapport à a, on aura: d{ôcpx) = r/« (^ + <f'{x — a) + (f'ix-2a) + cf'{x-r-3a) + . . .) Soit

(fx -\- (f{x — a) -\- (f{x — 2a) -}-••• = à^rpx.

on aura

donc

Di^x + D(f{x — <') + D(f{x — 2c() + . . . = Dâicpx;

donc d^q)X = (fX -\- //u~^(fx;

donc à^ip'x z=z (f'x -\- Ja~^(f'x-,

donc '^^^ = o;'a: + ^,.n.'x,

(5(/'.f = « . ç '.f -\-fdu^,iif. 'x i(fx pai vant les puissances de v. On aura:

Si Ton veut exprimer âr^x par — ^— , il faut développer log («""■ — 1) sui-

en posant donc

fit* log (a .?; -f- -—.?)'' -|- ...) = log 'V -f- log u-\- u. AjV -\- ic^A^v^ + • • •

on aura:

ô(fx=z fg (log ï' .fv)-\-\o^a .(px-\- u .A^ff'x -\-u'^ . A^r^''x -[- 11^ . A^(lj"'x + . . .

Problème VI. Développer -~^ suivant les puissances de w.

On a dÇ^"^ = v\fv = fv(l + n log ^' + Ç- (log vf-\-...);

donc -^ z=(fX-\-n. âcpx -j- ^ ()*(pa: + ■^— tJ'ya- + . . .,

où D{âcpx) ■=logv.fv,

orlog.=-Ios(l+l)+log(l + .0 = ^^-4-l(^--^)+K"'-') + -

donc

iq'x — ^cp"x -\- ^(p"'x — ...

—Jlpxdx -\- ^J'^qixdx'^ — ^f^(fxdx^ + • • • On peut exprimer d(fx de plusieurs autres manières. Soit par exemple

on aura d(fx = d\(fx — ^^i^(p^ + ^r^i^Ç^ — • • •

où di(px = (f'x — (fx.

Problème VII. Développer "^^^ suivant les puissances de n.

On a '^?^> = ei^fx + mfx + "i^ c^-'x + ...) = .^ r^>x ;

Dii-'x = (l + Hv + '-^^^^ «'" + •••) fv = (1 + r)\fv

Dn^x = A' (l + » log (1 + r) + -|^ (log (1 + r)y +...);

ti'.r =z(fx-\- nd(fx -\- ^ d'-'yo; + -—- à^tpx + . . .

donc ^!^> = e-^ (^x + wc5V ;r + ^ d ^.r + -^ (5>ar + ...),

où D.âcfx = log (1 + ^') = «' — i *'" + i ^^^ — • • •

donc d(px ^= (f'x — ^ (p"x -\- ^ (p"'x — . . .

donc

On a D.(f{x-\- a) = e'"'.fv ;

donc D.(p{x-^ uY— 1) = e""V-\fv

et D.(f{x—aY—'^)^=e-""^-\fv,

d'où I on tire

D: ïi — / ^ ^; î^ i =r sin (uv).fo.

Or on a, comme on sait,

^ = cos (uv) — cos (2((v) -|- cos (3«?;) — .

donc en multipliant par f'r et prenant la fonction génératrice:

i „^ ç(.r + av/— l) + ç(-r— av/— 1) 9(j+2a/— 1) + ç(j:— Sa/— 1)

^(fX

I (p(j+3av/— l)+9(.r— Sa/— 1) 9(.r+4cfV— l) + 9(j— 4a y/— 1)

+ etc.

ou bien q)x = (fÇv -^ a) + g(.f — «) — (/;(.r + 2a) — (p(x — 2a)

+ y(.r + 3«) + cf{x —3a) — ^(^-j-4«)— 9)(.r — 4a) -f- etc.

Supposons qu'on ait

Hi^)=ffW)df, (21)

et soit xi.'{v).fv=Dôq\r,

on aura d'après la définition de la déterminante

û(fx ^Je"". \pv . fv . dv c'est-à-dire ài^x ■=Jë'\ fvdv -ftlv^t) . dt ^=fdt .fe"'. fv . f{v^t) . do

Cela posé, soit fv./\i\t) =z D . ô\(f.r,

on aura ô^(fx =Je"''.fv.f{t\f)dv;

donc d(fx=fdt.ô\(fx (22)

or on a D. d(fx =J'^ • ày<fx . dt ;

donc D .Jdt . à^ (f x ^=fD . à^ (f x . dt \

et S^tt.fg{f{r,t))=ffj{fdt.tW))] ^ ""^

Ces équations peuvent servir à exprimer d(fx par une autre opération d^(fx au moyen d'une intégrale définie.

On a par exemple

(,,-l)-i(^«)-i+i^2 /-i^^ifi^lÇ!^);

donc en prenant la fonction génératrice

2^ ax — 1 faxdx 4- 1 a i- — -^ f" ^^ 9(.r+a^/-l) - 9(-r-a^/-l) .

On a e" . e-""" . ~ e"' . e-" "" . ~ — = /' " e'^^-':"hU,

c'est-à-dire

e" . («-""■' 4- uv . e-""" 4- a^v^ . ('-'"•" + ...)) /. „ — e"' .(e-"""-^ av. e-'"''''-\-u^v^.e-""' "-{-...) ^ J"- En multipliant par fv, et prenant la fonction génératrice, on aura en remarquant que

fg{v\e """.fv) = ^^^^„

fff{e'""'.fv) = cp{x — at), e'((f{x—aa)-\-a(f)'{x—aa)-]-u^(p"{x—uft)-\-a\"'{x — ««)-)- . . .)j — e''Qfj(x—aa')-{-acf'{x — aa')-\-a\"{x—aa')-j-a\"'{x—aa')-\- . . .) j

= r" e'.cf^x — ut).dt',

donc en faisant « = 0 et c' = — ^

^e'.(f{x — «/y/; donc en différentiant par rapport à x et mettant — « à la place de a,

(f'x — a(f}"x 4- a.'^q>"'x — a^(fi""x -\- ...=z fe'. (f'{x -\- ul)dl ; en multipliant par du et intégrant on aura:

«./.'.ï — ^a*(^"^ + ia'(/)"'.r— l.a*.(f""^- + . . . — C + / ^^ ^ ^ •

-— -. ifX\

donc

et lorsque « = 1

(^'^ — |</:".r + ^(/)'";l' — . . . = /"^i^ ('/(-i'+O— f/-^)- De là il suit qu'on aura:

Hx=f:'^{^{x-t)-.fx).

On a

- f" e''"'.dt

OLV CLV

donc en prenant la fonction génératrice;

f^{x + i(a)dx —ff{x 4- ««')f/x = it /*J v(.i- + "0 • '^f-

On a (Lt'i>eiidro exerc. d. c. i. T. Il p. 176)

f'ô(lt.COs{cf.Vt) __ TC „„

donc f^j!^. 9(-^^»^/-l)+9(-r-aV-l) ^ JL r^,^^. Soit par cxemgle œx = — on aura

y^g dt % 1

0 (l+moL''r-+x"-) ~ ~2" ■ x(j+a) ■

En effet dt

y '5 </^ 1 / /»i dt /'h oi'^dt N TC 1

„ (l+r^)(a'^r^+x2) — j:2 — a2 Vjo l + <-^ Jo x'^+a2^2 J~~2"' j-(x+a) '

Soit (fx=. — , ou aura en faisant «^^î.sin^, A- = i,eos(f,

c;>{xJrixt\/—\) + ç{x — a.t>/ — 1) „

■-^-^^ .y\ • = 2- ■ COS il(p

or z^l^{x*-{-aH^), ç=arc. tang. (— ), donc

/ at\

1 j. cosl H.arc. tang ^ — 1 h dt V ^ X / 7c 1

y^g lit 0 1+r^

" 2 (x + ol)" •

Soit par exemple n = ^, on aura cos^^=]/l±^=]/^(l+ ^^^,^^,^,^); donc .^g^"? COS ^9 v/j[j+/(j^+a^^'')3

se ■/(x2 + a2^2) '

donc

pi dt

^/[^^-/(xï + a^^î)-] ^ 1

On a ;

nnno / fino* rr»

coscp

sin <p ' a * ^ '

on tire de là

dt ciLxd(;)

donc

doue

cos n(f = -^ ic— . COS nq; ;

dt a. ( cos o)". cos n<n. do

. z ". cos nw = . -^^ ^ i — i :

l+t'^ ^ X"-* x''. sin 2(p+a*. cos-ç

~ x"~' /* -i (coso)''.cos«ç .f/9

2 a(x+a)'' Jo (x.sin(p)2+(a.cos9)^

Soit a =3:, on aura

-^ =/o* i^^^ "fT- ^^^ ^'f ■ '^f-

On trouve encore chez M. Legendre les deux intégrales suivantes:

y»^ dt.s'inat __ 7c , j ^a\ , 1(1 + 1^) 2 ^ '

donc on aura, en faisant a=^uv et prenant la fonction génératrice:

/•" ^^ . 9(^+afv/-i)^y(^-aV-l)^JL.(y:r-y(x+«)) 7o ^(1+^'^) 2/-1 2 ^"^ '^^ =î^ ^^

/«è tdt (p(x+aV— 1)— 9(J— aV— 1) __ r /„. ^^x

Jo l + <* ■ 2/-1 2 '^^ ^ ^•

En ajoutant on aura une troisième formule

y»5 dt ç(x+a«\/- 1)— <p(j-— a#/— 1) __ TC^ 0 t 27=1 2 "^ '

OU bien en faisant « = 1,

y^h dt 9(j+fv/— 1) — 9(x-</— 1) ji ^^^ 0 ■

: , t = xA

dt rftp

Soit par exemple (px=—^, f=a7.tang ^i, on aura

cosç.sincp 2/-1 donc ^ ^ ^

ç(^+,/l)ç(^fvA l) ^ ^^çy ^.^ ^^^^

/* '^ — i . (cos «))""• . sin ?K^ = ~ Jo sin 9 ^ '^' i,

Sur quelques intégrales définies.

Il a \Ti précédemment que

(cosç)".cosno-'^ç Tz x^~^

or (cosç')"=l + w.logcos(]P+ — - (log cos ç^)'^ 4"

COSW(ïi=:l— -^.(/^+ 2:^-'/^* +

donc (cos ^)".cos nqs = 1-j-n.Iog cos 7^ + ^ ((^^^S ^^s 9;)* — tf *) -[- i^ ((logcos y)'— S^'^Oog cos çî))

où on a, en faisant pour abréger logcosy = ^:

r(m+i) T{m+\) r(3).r(m-i) ' r(5).r(/«-3) ' r(7)r(OT-5)

or -— = 1 -1- rt.log • — -A — — (log — -) +

doue on aura

2 xa V " x + a>' «/o x^.sin^ç + a-'

Ainsi on aura:

ç + a-' .cos'ç

2 ■ xa Jo -r*-

rfç

JL. JL loo- -^ -— f * logcos 9.^

2 xa " x+a «/o x2.sin'*9 + a2.

cos*9

JL. J. flon- -^ y^ /*^ [(logcos 9)-- 9'3- 2 xot V'x + a/ «/o x2.sin29 + a*.cos' Tome second. ^2

js'9

En faisant a; = « on aura

ri"

par exemple -|- • '«S è == /„ '^^ • 'o» *'*'^ ^•

= — ^y . , donc

Soit cos (?) = y, on aura f/<^ = — ^ ^^ „^

En effet on a

donc Z' 105(7)-% ^x ^i^ r{^-y\du-

or r^JyL^=^ei r(^=y^du=wr2.

On a f'° ^^ cp(x+aV-l) + y(x-a^v/-l) tt /^ i ,a

Soit (fx = (log x)'\ on aura

y^è rf^ [log(j:+aV— iW+ClogC^-aV-l)]" J^ nO''r*-4-«)V'