CHAPITRE I
/Pdx
i. "oui- plus de simplicité je désigue le radical par ]//»', on a donc à
considérer l'intégrale
/Pdx
P désignant une fonction algébrique rationnelle de x. On peut, comme on sait, décomposer P en plusieurs termes de la forme
A . a-"* et ,
m étîint un nombre entier quelconque. L'intégrale proposée / est donc
immédiatement décomposable en plusieurs autres intégrales de la forme
/j:"<dx ^^ r ds
VR J (x — ay.^/R ' Chercbons les réductions qu'on peut faire avec ces deux intégrales, en les considérant 1. séparément, et 2. ensemble.
/x^"dx
VR
2. Pour trouver la réduction générale dont cette intégrale est susceptible au moyen de fonctions algébriques, il s'agit de trouver la fonction algébrique la plus générale, dont la différentielle peut se décomposer en termes de
la forme : car après avoir intégré la différentielle ainsi décomposée, il
est clair quoii obtioiulra la relation la plus générale qu'on peut obtenir entre
Or on sait par le calcul difl'érentiel qu'en différentiant une fonction qui contient des radicaux, ces mêmes radicaux se trouvent aussi dans la différentielle; il est donc impossible que la fonction cbercliée peut contenir d'autres expressions radicales que ^^li: elle est donc de la forme f{x,YJi), f désignant une fonction algébrique rationnelle de x et de Y^R. Une telle fonction est, comme on sait , toujours réductible à la forme Q' -\- Q\^B, Q' et Q désignant deux fonctions rationnelles de x. Or il est clair qu'on peut faire abstraction du premier terme Q', puisque sa différentielle ne contient que des quantités rationnelles; on a donc
f{x,VB) = QVR.
En différentiant Q\^R, on voit au premier coup d'oeuil que la différentielle contiendra nécessairement des termes de la forme — ^ — — -- si Q est
fractionnaire : car supposons que Q contienne un terme r— , on aura en dif-
" ^ (jT— a)'"
férentiant 7— ?
^ ' l(.r— o)"' (j-fl)'"+i )
Or quel que soit m, il est impossible que le coefficient de — -~ dans l'expression précédente puisse devenir entier, à moins que R ne contienne deux ou plusieurs facteurs égaux ; mais ce cas doit être exclu, puisqu'alors l'intégrale proposée serait de la forme /-— -^ ; donc, comme la flifférentielle ne doit
contenir (jue des termes de la forme — 7^—5 i' f^i"* que Q soit une fonction algébrique entière de .r; on a donc
4. Différentions maintenant la fonction trouvée Q\^R- Ou obtiendra
d'abord
,l{QXni) = ,IQ.VR + ^.^,
1 i/ni^n\ R.dQ+lQdR dx c, dx
donc d(QVh) = ^^2 ^ = .S . -^ ,
On a Jl = a + p'.<- + ;'-i- + '^•^■' + *•*■*
et Q = a0)-^f\i)..r-\-f{2).x'+...-\-f{n).x"
iloiic t'ii iliUcreiitiaiit
tlx g = /■(!) + 2/l2).f + 5f{3).v- . . . + ///-(/O-t"-'.
En substituant ces valeurs dans l'expression de S on obtiendra : S = {u 4- A'.r + ;a-^ + ^•^•' + ^■^■*) (/■(!) + 2/'(2).. + . • + nfO>).V'-^)
+ I (,? + 2y.r + 3d^'- + 4..r^) (m + /"(D-f + • • • + /U')-»^") Soit S=(f(0) 4- 7^(1). a; + ç(2)..r* + . . . + «^(/h— 1). .r"'"^ + y(w)-^"'- On obtiendra en développant et comparant les coefficiens, l'équation générale
c'est-à-dire :
En faisant successivement p^O, 1,2,3. .m, on obtiendra toutes les équations qui résultent de l'égalité des deux valeurs de S.
Quant à la valeur de n, on trouvera « -(- 3 = m, donc
Il =: m — 3.
5. De l'équation d(Q]//i) = S. ~~ , on tire en intégrant et en substituant les valeurs de Q et de S,
ir\\ P 'f'^ \ n\ pxdx I ,r,\ i'x'^clx , , , ., jnx"'-^.dx , , . /tx"'ih- \
= VR im +/■(!)• -f + /■(2) . .r'^ + . . . /\m-3).v"'-'). )
Cette équation contient la relation la plus générale qu'on puisse trouver
par des fonctions algébriques entre plusieurs intégrales de la forme Z*'^"' ''' , et
