J VR

c'est de cette équation qu'il faut tirer toutes les réductions dont les intégrales de cette forme sont susceptibles. Le premier membre de cette équation est en

même temps l'intégrale la plus générale de la forme /* ^ , P désignant une

fonction entière de x, qui est intégrable par des fonctions algébriques.

(». Considérons inaintonnnt l'équation (h), ronuiic la fonction multipliée par }^R tlu second membre doit être entière, il faut que m soit égal ou plus grand que 3. Il suit de là quil est impossible de trouver une relation entre

— — -, / , / — 7^5—, et que par conséquent ces trois inte-

grales sont irréductibles entre elles par des fonctions algébriques. Si au contraire m est égal ou plus grand que ô, on voit qu'il est toujours possible de

réduire l'intégrale Ç-^ ^ à des intégrales de la même forme dans lesquelles

m est moindre'; et il est évident que les seules intégrales irréductibles sont les trois suivantes

Ces intégrales sont donc les seules fonctions transcendantes contenues

dans la formule intégrale f „ , P étant une fonction entière.

— ~- , faisons dans l'équation (1)) (f{in) = — 1, et nous aurons

-vit{f(0) +/■(!). .î- + tm . x« + . . . + f(,,i-i)x-').

D'après ce qui précède on peut faire

(f{m — \) = <{ {)ti — 2) = ... = (f{5) = 0,

on a donc

/x"'dx ,„\ /* dx I ..^ fxdx , /i.. px'^dx ^ -^=^/(0)/^+'/(i)y-^+,(2)/^^ (c)

-l//?(/lO)+/-(l).r + /-(2K- + ... + /-(;«— 3K-')j 11 reste à déterminer les coefficiens

y (0), </ (1), t(2), AO), /(l), /'(S) . . . /-(/«-S). Pour cela faisons dans l'équation (a) j)=Q,p=z\, . . . p =^ m, on obtiendra les équations suivantes au nombre de m -{- 1:

ç(2) = 3/-(3).r. + |/'(2)./9 + 2/U).;' + |/'(0).fî 0 = 4A4).r. + J m-t^ + 3/-(2).;' -f | f{i).,) + 2 /'(O).. 0 =5f\5).a + -|/'(4).r; + 4/-(3).;' + 1/-(2).<Î+ 3/-(l)..

0 = ('"— 3)/'(w— 3)«+(/M— |)/(w— 4),^'+(m— 4)/(w— 5)r+(;«— |)./l[/«— 6)c)'+(/«— 5)#«— 7)f 0=(7«-|)/-(/«— 3).-;+(/«-3)/(;«-4);'+(/«— 1)/(;«— 5)fy+(m— 4)./i;w— 6)i 0 = («i 2)/"(;«—3);'+(/«— !)./•(/«— 4)f5 -{.{m—3).f{m—5)t 0 = (/«— ^)/-(w/— 3)(5+(//i— 2)/(?/i— 4)5 — l={)ii~l)f{„i—3)s .

en remarquant que (f{m) = — 1, (p{3) = (/(4) ^ . . . ^ ç(;h — 1) = 0.

Au moyen des ?« — 2 dernières équations on peut déterminer les m — 2 quantités f{0), /"(l), . . . f{m — 3), et les trois premières serviront ensuite à déterminer y(0), (f{l), (f{2).

En éliminant on trouvera:

f\m—3) = f\m—4) = fim-ô) = f{m—6) =