Tome second

où les quantités k, k', k", etc. p — 2 suivent l'ordre de leur grandeur, de manière que k'>k, k" > k', etc. p — 2>k'"K

En donnant avec cette restriction toutes les valeurs entières aux quantités k, k', k" etc. k^"\ et à n toutes les valeurs entières depuis le plus grand nombre

entier compris dans — 2 jusqu'à p — 5 et en remarquant que chaque dé-

nominateur aura n-f-3 facteurs binômes, on obtiendra tous les termes dont f{7n — p) est composé. On a donc

Ayant ainsi trouvé les quantités /"(O), f{\), f{^) etc. f{m — 3), on a ensuite 9.(l) = 2«./-(2) + |/S.Al)+ J'AO) I (e)

9. Appliquons ce qui précède à un exemple, et proposons nous de ré-

'x*dx

duire l'intégrale

On a ra :=: 4 « = m — 3=1, donc

-Yn(no)+n\).z).

Par les équations précédantes on a, en faisant »î = 4

Al) = - -i^' /"(O) = -^' fm = A3) = etc. = 0. En substituant ces valeurs dans les équations (e), on aura;

„m)= 5 .ii i.^

En substituant ces valeurs on aura

y'R V^T" s* '^'tJJvR

10. Dans le cas où i3 = y=^d = 0, la valeur de /"(;» — p) se simplifie beaucoup, et se réduit à un seul terme. En effet, comme tW^t(^^=t^^^=0, et comme «(*) = « est la seule quantité qui a une valeur différente de zéro, il est clair que tous les termes s'évanouiront dans l'expression de f{>n — p), excepté ceux dans lesquels on a A- — l=zk' — k=ik" — k'=i...=p — 2 — A:(")=4. Ou a donc k = 5, k' = 9, k" = 13, . . . M") := 4w + 5, ;> = 4w + 11, d'où

71 = ^~~^^ . Chacune de ces quantités w. A-, k; k", . . . A:(") n'a donc qu'une seule valeur, d'où il suit que f{m — p) ne contient qu'un seul terme. De plus comme on a trouvé yj = 4«-)- il? '^ ^^t <^'^"' T^^ toutes les quantités /'(?« — p) s'évanouiront, excepté celles de la forme f{m — Au — 11), dont la valeur est

/js„+, im-i)(m-l)im-U) . . . (in-4n1) a^ ^ ' ' (/n-l)(m-5)(/rt-9) ...(?rt-4?j-9) ■ £"+3 '

ou bien en mettant m — 3 au lieu de n,

/•/»3 A„ -L 1\ — ^- 1 \n {nt-^{m--i){m-\ 1 ) . ■ . (/«-4«+5) a"'^ /V '*'-r^) — K ^) ■ (,„.i)(,„^) (;„ -9) . . . (;,i-4h+3) ■ s"

Pour déterminer y(0), cf{l), (p{2), il faut distinguer quatre cas:

1. si m = 4i', 2. si îM^4î'-f-l, 5. si ?« = 4?'4-2, 4. si »î = 4?' + 3.

Dans le premier cas on a:

fUr A„MU — ( IV. (4^ -3)(4/--î) ■ ■ . (4/-4«+5) a"-^

En faisant n = r, on a

f(U — ( IV 5.9.13.(4r-3) a-i ;(!)(— 1) • 3.7.11.(4,-1) • ^^'

^{0)=a.f{\),cf{\) = <f{2)=^0.

Dans le second cas on a:

En faisant n = r, on a :

Dans le troisième cas on a:

; ^4, *" + ^^ — ^ 1) • 747TÏ)(4/^-3)...(4.-4«+5y En faisant ?« = ?•, on a :

5 . 9 . 13 . . . (4/+1) s.-cp(2) = 3a.f{3),cp{0) = rf(l) = 0.

Dans le quatrième cas on a:

^^ ^«-t-^; — ^ ij . (4,.^2)(4/2) . . . (4/-4//+0) t" '

donc /■(!) = f{2) = f{5) = 0 et (f{0) = ç(l) = cf (2) = 0.

11. On a vu que trois fonctions transcendantes sont nécessaires pour

— - , P étant une fonction entière. Donc si l'on \/ R

veut réduire ce nombre, il en résultera nécessairement certaines relations entre

y* Pdx soit inté- \/ jft

grable algébriquement, on doit faire (f{0) = q{i) = (f{2) = 0, d'où il résultera

entre les cinq quantités a, (j, y, à, e, trois relations par lesquelles on en peut

déterminer trois par les deux autres. Déterminons par exemple a, fj, y, (\ f

de manière que f , ^ devienne intégrable algébriquement. On a vu précédemment que dans ce cas

s-" Comme ces quantités doivent être égalées à zéro, on trouvera:

ft 95 ï^ 5 15 S' 25li

«lonc, lorsque R a cette valeur, on a

En faisant d = 4 et f = 5, on obtiendra

Réduction tie l'intésiale g — -

'' J (j-— «)"'.v/-ff

12. Pour réduire cette intégrale il faut, d'après ce qu^on a vu précédemment, différentier Q\^R en supposant Q fractionnaire. Faisons d'abord

d'oii on déduit en difl'érentiant

,ç. <j{\)ds 'i'h{t)dx 3«];(:{)rfj: {m-\y\,{m-\)dx

(x-a)'^ (x-ay i^-a)* (x-a)'"

Pour rendre les calculs plus faciles, faisons

nz=a-\-iix-]-yx--\-âx^-\-{x*=u'-\- y{.v—a)-{- y'{x—a)- -\-d'{x—ay-{-f'{x—a)*. Pour déterminer a', fi', y', ô', (.', mettons x-j-a au lieu de x, et nous aurons: a' + ,i'x + y'x"- + ô'x' + ,'x* = « + ::{x + a) + ;(.r + a)' + dix + af + .(.r + o^-

On tire de là

«' = f^ -[- '!a -\- y a' -)- (Vf' -(- '«■*

p' = ,-; + 2ya + 3'Vi- + 4^«'

()':=()+ 4; rt t' = ^.

En différentiant R on aura

f//? = fj' + 2;-'(.^ — «) + 5()'{x — a)- + 46'(.r — o)'. Maintenant la différentielle de Q]^R donne

donc en substituant les valeurs de R, Q, dR et dQ en obtiendra:

j^. dx

y/fl

Supposons:

Cela posé, ou obtiendra aisément

Faisons

cfX0)-{-(f'{i).{x—a)-\-cp'{2).{x—af=cp{0)-{-cf(l)x-^(p(2).u:\ nous aurons

(fiO) = (p'(0)—aq'{l)-\-a-.(p'{2)=—i'^p{3)—^ô'^'{2)—{ylô'~t'a'').^fJ{l)

(f{l) = (f'{l)—2n(f'i2) = {^d'—2at').xp{l)

ou bien, en substituant les valeurs de ô' et t',

^{l) = ^dMi) \ (g)

cfi2)= ^.V'Cl) )

15. Si l'on multiplie la valeur de S par , et qu'on prenne ensuite

l'intégrale de chaque membre, on obtiendra en substituant la valeur de Q:

,^p/4^(') . HV ■ ■^(3) L ] 4^(>"-0 A I

•^ V s— a ' (x — fl)2 ~ (x— a)3 "r • • • I" (j.„)™-: y 7

y* dx — -— peut donc être {x-a)'".</ R

/' dx /*xdx à*x-dx

~7W^ t~rW / ^^ P'''^' 'intégrale

~ — =-; uiais celle-ci est en général absolument irréductible. Je dis en

général : car il est possible qu'on pourrait déterniiner les quantités a, «, (], y, () f, de la manière qu'elle devient réductible, ce qui a effectivemeut lieu, comme on le verra ci-après.

En faisant dans l'équation (h) y{?») := — 1, y{2) = x{3) = x(4) — . . . =^ y{'» — 1) = 0, on obtiendra

li. Pour déterminer les coefficiens, faisons dans l'équation (f) /» = 1, 2, 3, . . . m, et nous aurons les équations suivantes:

x{i)= — y. v'(i) — y>(2) — 1^'. nP) — 26'v'(4)

0 = «'. u(l) + y-ni2) + 2y'^i3) + ^<)'ip(4) + 3^'V'(5) 0 =2«'4'(2)+ |p".if(3) + 3;''V'(4) + lf)'./.(5) + 4é'./'(6) 0 =3«'.if(3)+ |,^'.t^(4) 4- 4;/'V'(5) + |()'»/'(6) + 5é'jf'(7)

0 = (/» — 2)«'. i/(/rt— 2) + (m— 1),5'. ip{jH—l)

1 rz3 (w — l)u'. ii'{m — 1).

En éliminant on trouvera:

w — 1 a' V'(în — 2) = ^^ — — -!--

Pour exprimer le coefficient général, faisons li = fi-^')- On tire de là „,^/„^ ., '(/!(«) ■„ d'An) y __ d^fja) d^fja)

Cela posé, on aura en général

». #-'/(») #'-y(g) rfp-'^'^g i

1.2.3.(A-l)rfa'-» ■ 1.2...(*'-ÂM«*'-'-- ■ ■ ■ 1.2...(/;-A(''))rffl;'-*'"' )

la cliaracteristique 2 ayant la même signification que dans l'équation (d).

Ayant ainsi trouvé xp(7n — p), on aura y(0), (f{l), (f{2) par les équations (g) et x(l) par l'équation

(j--a)'V^ On a 7w ^ 2, donc

/F^=*<'"/^+"<"/fï+*<^'/w+'<"/(^

Wl) = J = ^ :

•x*</jr

En substituant ces valeurs, on obtiendra

(x-a)V/ï- "~" fa J Vfx "' ~Và'JWJ^ "^ 'f^'J~Vfx

^ Ja J (s-a)i/fx {x-a).fa

Si « = 0, on a

/' rfj 5 /*xdx 1 £ fx'^dx , p /• rfx \/R x'i\/Ji 2^'J x/R ^'J VR '^"^'JxVR a.r

16. Par la forme qu'on a trouvée pour les quantités 1/(1), if(2) etc. il est évident que l'équation (i) peut toujours être employée, si non «' = 0; mais dans ce cas elle devient illusoire à cause des coefficiens infinis. Il faut donc considérer ce cas séparément. Or «' étant =: 0, on a x{»0 = 0? ^^^^ l'équation (11) prend la forme suivante.

OÙ l'on a mis w-j-l à la place de ?n.

Dans cette équation on peut taire /« = 1. Donc il est dans ce cas toujours possible d'exprimer l'intégrale / — ^ par les trois intégrales

yVjr rxds à'x-'-ds