Tome second
"Toutes les fois que x — a est facteur de R, on peut exprimer l'intégrale fr—^^-s par les trois intégrales f-^, f^ f-fl^.
Dans tout autre cas cela est impossible, car l'équation (h) suppose m > 1."
Proposons nous de réduire l'intégrale /-j ^-7^, x — a étant facteur
de R. Comme »i = l, on a
ation {in) donn( et les équations (g)
L'équation (w) donne li^fl) = —— =. — — -
(2£a''+Sg)
cf{0) = -im' + ^da)nil) = -
<p(2) = s.wW=^-
En substituant ces valeurs on obtiendra:
/' dx (2ea2+aS) /'ds , 8 ^xài . 2s Px-^dx 2 v^^ (x-a)//? ~pa J VR '^Ta'J V R ~^T^'J \/ R fa ' ~J^' Soit R^(x — a){x—a%T — a"){x — a'") =z f{x), on aura
En faisant ces substitutions on aura:
/' dx a'^+a(a'+a''+a"') /'dx a+a'+a"+a"' Pxdx
{x-a)^ R (a ■a'){a-a"){a-a">) J V R {a-a') (an") (a-a'") J \/ R
, 2 Çx-^dx 2 y/ -g
"•" (a-a'){a-ai'){a-a"') J \/ R {a-a')(a-a"){a-a"') x-a
18. Cherchons maintenant à trouver une relation entre des intégrales de
/' dx (x-a)\/R
la forme
Pour cela faisons
En différentiant, on voit aisément que la forme la plus générale qu'on puisse donner à Q, est de supposer
jc-a x-a' x-a" x-a">
X — «, X — fl', X — a", X — a"' étant les quatre facteurs de R. On a donc
etc. trouvées plus haut:
[x-a)VR
/S.9(0) , 8^9(1) , 5-9(2) , S^(3)\ /:£«^^, ris.çÇO) . 2£.9(1) , 2s.9(2)| 2£.9(3)\ /Vr^ "'"V/'a ~ /'a' ' /'fl" ' f'a'"JJ /^ ' V /'« ' /'a' "" f'a" "^ /'«'" /!/ \/ R
= Vr\ -^'^ + =^^+ ^^+ ^^ •
"^ I X — a ' X — fl' ' x-a» ' x-fl'» j
On a donc
fa ' fa' ' fa" ' /'«'" '
^(2fa*+«(5) + ^'(26o'-H-aVy) + A''{2ia"''+a'ô)-\-A'"{2ta"'''-\-a"'ô)=0,
Ou voit par là qu'on peut faire une quelconque des quantités A, A' etc. = 0. Soit par exemple A'"= 0, on aura
A" = — A — A' ^.(2^(g^— «"^)4-(5(«— fl")) + ^'(26(G'''— «"^) + (y(o'— «")) = 0; donc
en faisant A^2({a'''^ — «'^)+(5(a''— «')=:(«" — «')(«»+«' — a — «'"), et de là A"=:2t(a''^ — a'^)-\-f){a' — a)=z{a' — a){a'-{-a — a" — a'").
On en déduit
f;(0) = lia — «')(« — «")(« — «'")(«' — «")(«' + «" — «r — «'") f/(l) = ^(rt' — a){a'—a"){a'— a"'){a" — cr)(c + a" — a' — a'") q{2) = Ua"— a){a" — a'){a"— a'"){a — a'){o + «' — «" — a'")
Cette équation contient, comme on voit, une relation entre trois quelconques des quatre intégrales »
/dx r dx d* dx P dx
{x-a)VR ' J{x-a')s/R' J (x-a")V R' J {x-a"')s/ R '
d'où il suit qu'on en peut déterminer deux par les deux autres.
10. Proposons-nous maintenant de trouver les relations qui doivent exister entre les quantités f;^(0), q{i), (f{2) pour que l'expression
/dx (x-a)\/ Il
On voit aisément par ce qui précède que x — a doit être un facteur de H. On peut donc à cause de l'équation (n) faire:
— "^ J (x-a)VR "^ ^' J {x-a')s/R +^^^- V^ + -^:^) "
En substituant les valeurs de /l— ^^-— et /-—!^—— données par l'équation
•/ {x-a)v 11 •/ (x-a )\ ti
du No. 17 on obtiendra:
On a donc:
(p{0) — :^B{2fa^-\-ad)--^B'{2fa'^-\-a'd)=0
Eu éliminant B -\- B' entre les deux dernières équations on aura :
SLs.if{l)—è.^{2) = 0, d'où r;(2) = -^.f/(l).
Voilà donc la relation qui doit avoir lieu entre y(2) et (f{\). En faisant <f (1) = 0 et (t{0)= 1, on aura
Donc en substituant:
yVj (a-a''){a-a"') Ç ds , (a' -a")(a' -a'"') à* dx
\/ R (a"+«"'-fl-ff') »/{s-a)\/R' {a"+a"'-a-a') J (x-fl')\/^
' (n+«'-a"-a"')(j.-a)(x-a') Si Ton fait ç(0) = 0 et ç(2)= 1, ou aura:
fi(2^(«'— «'-) + (5(«— a') — (2«''' + «'.-) = 0
d'où Ton tire
En substituant ces valeurs ou obtiendra:
/x^dx j,\Sj à'xdx a'(a'-a-a"-a"').f'a P dx
s/R ~^ ^ J~VR 2(«'-a)(a + «'-«"-e"') ' J {x-d)\/ R
■ a{a-a'-a"-a"').f'a' à* dx
' 2(a-rt')(fl + fl'-a"-c"') J (x-a')'/R
20. Par ce qui précède on voit qu'on peut exprimer i-^^ par les l'in-
tégrales /- — ^-7-=r et /- f , „ ; mais cela n^a pas lieu par rapport aux in-
•/ {x-a)Y R »I {x-a)vR i ii
tégrales i ^ et /^^. C'est seulement l'expression g— — ^-| ./-fS.
'^ J \/R J VR J VR 'i.J VR
qu'on peut exprimer de cette manière. Dans le cas où «-(-«' = «"-{-«'" les deux équations du numéro précédent deviennent illusoires, et alors c'est seulement l'équation du numéro 17 qui peut avoir lieu. Dans ce même cas on peut
y* dx ; etc. Savoir en mul- (x-a)\/ R
tipliant une des équations du numéro précédent par a-\- a' — a" — a'" on obtiendra
ou bien, puisque a — a"'z=a" — a' et a' — «'" = a" — a,
/' dx , /* dx 2v/J?
{x-a)V R ~^J {x-a'WR {a"-a){a"-a'){x-a){x-a')
R = {x — a){x — a'){x — a"){x — a — a' -fa").
21. Nous avons maintenant épuisé le sujet de ce chapitre, savoir de ré-
y*Pdx autant que possible par des fonctions algébriques, et
nous avons donné des équations par lesquelles on peut avec toute la facilité possible réduire une intégrale proposée quelconque de la forme précédente.
Reprenons les résultats généraux
/Pdx - — p- est toujours
, j ^., , . ^ , , ['dx Pxdx t'x'^dx
réductible aux intégrales y—, J-^, J-^W-
/Pdx —-— est réduc- Y R
à*dx i* xdx fx'^dx
tible aux intégrales i—r-^-, I . „ , / et à des intégrales de la forme
/' dx [x-a)\/' R
/dx - — r — -— est réductible {x-a)'"\/R
/'dx /*xdx à'x'^dx
— — , / — — , # , mais dans tout autre cas cela est
impossible.
4. Il est impossible de trouver une relation entre plusieurs intégrales de la
forme / si non x — a est un facteur de R, mais alors on peut trou-
ver une relation entre trois intégrales de cette forme; si de plus fl-j-«'=:^ a" -\- a'", on peut trouver une relation entre deux d'elles.
5. L'intégrale / — ^ peut s'exprimer par deux intégrales de la forme /- — -^^-— ,
X — a étant un facteur de R, si non a-]-a'^=a" -\-a"'. Les intégrales
/xdx à* x'^dx - • ■ 1 \ et / au contraire ne peuvent pas être exprimées de cette manière Y R J Y^ R
