CHAPITRE II

/Pdx par des fonctions logarithmiques.

/Pdx

par des fonctions algébriques, et nous avons trouvé que son intégration exige

/dx t* xdx fx'^dx f dx

Vr^ Jvr' 7-7^^*71^:^)7^'^"'^"

général sont irréductibles par des fonctions algébriques. Dans ce chapitre nous ciiercberons les relations qu'on peut obtenir entre ces quatres intégrales par des fonctions logarithmiques. Pour cela il faut trouver la fonction logarithmique la plus générale, dont la différentielle est déconiposable en termes de la forme

As^.dx A.dx

VR ' (x-a)'". ^R ' car en intégrant la différentielle ainsi décomposée et faisant usage des réductions du chapitre précédent, on obtiendra la relation la plus générale qu'on puisse trouver par des fonctions logarithmiques entre les quatre intégrales proposées.

25. On peut se convaincre aisément que la fonction logarithmique cherchée doit avoir la forme suivante:

T = A.\o^(P+QVR) + A'.\o^{P'JrQ'VH) + A" . log {P" + Q"VR) + . . . -f ^«^"^ log (PC) -f Q^"YH) P, Q, P', Q' etc. étant des fonctions entières de x et A, A' etc. des coefficiens constants.

Considérons un terme quelconque 7" rrr J. log (P-j-ipl/iÇ). En différentiant on aura:

dT=A.— ^^

P+qVR ou bien, en multipliant en haut et en bas par P — Q\^R,

flT = A ^^^-g(^^g+^g^-ff) t j lPQdR+{Pdq-QdP)R

d'où l'on tire

T=A. lao- (p-'—O-R) -4- A f'iP^dR+(Pdq-qdP)R

2 "*■ ■ ^ '^ J {P-^-q^R).^R Il est aisé de voir qu'on peut faire abstraction du premier terme de elT qui est

rationnel, et qui donne dans la valeur de T le terme -^ . log (/*- — Q^R)- en

retranchant donc ce terme de T, il restera

A.\o^{P + QVR)-^ log(P^-(?^/?) = 4 log(-|±|^).

On peut donc faire

"Vp-Qv//?/" ^\P'-qwR'^ La différentielle de cette expression ne contient aucune partie rationnelle: et on aura en différentiant :

. PQdR + 2iPdQ-QdP)R ^ j, P'Q'dR+2{P'd(l--QdP')R , ^,„ . '^' —^" {P^-Q^R^R '"^ (,P'^-q-^R)VR "*"

v/fl Pour trouver «$', considérons le ternie

. PQdR+2(PdQ-QdP).R JW dx

De là on tire

En différeutiant N=P^ — Q-R on aura

dN=^2PdP — 2QdQ.R — Q^dn, d'où PrfiV=z: 2P^dP—2PQdQ. H — Q^P.dR,

et en substituant pour P- sa valeur i>r4" C^'^'''

PdN = 2NdP + 2Q^RdP — 2P(?/? . (/j^ — Q^P . dR : c'est-à-dire :

dx dx PQ.dR+2{PdQ-qdP).R .

2N.J^-P.^ donc: i»/=^.^ ^^^ —, N=P"--Q"-R.

24. Par la valeur qu'on vient de trouver pour 31, on voit que si

(^ — o)- est un diviseur de iV, {x — «)""-' doit être diviseur de M: donc ~

ne peut contenir aucun terme de la forme - — ^, m étant plus grand que l'unité.

Les termes fractionnaires contenus dans la fonction ^ sont donc tous de la

forme — . Si de plus .r — a était un facteur de R, il le serait aussi de I*,

donc dans ce cas BI et N auraient x — a pour facteur commun. Donc -^

ne peut contenir aucun terme de la forme -, x—a étant un facteur de R.

Pour trouver la forme de la partie entière de ^, supposons que P est

im polynôme du degré m, et Q du degré w. Il faut distinguer trois cas