si »n > w 4- 2, 2. si m<7i-\- 2, 3. si m = ii

I. Si m > w -f- 2, N est du degré £w, et Jf du degré m -f- » -j- 3, donc

'— est tout au plus du degré 0, donc la seule partie entière (iiii peut y être

eontenue, est uue quantité constante.

*2. Si m <// -\-2, y est du degré 2n -f 4, et M du degré h + m + 3,

doue -jr^ est tout au plus du degré 0, et par conséquent sa partie entière une

constante.

3. Si m = n -\- 2, N peut être d'un degré quelconque moindre que 2m. Soit donc N du degré /i, on voit que I\f est tout au plus du degré //+'" — 1 — "

= ,(/-|-l' ^' "<'" ((=2y/-)-4; car alors 71/ est du degré /( et ~ du degré 0.

Donc dajis ce «;as, — est tout au plus du degré 1, et sa partie entière de la l'orme Bx -j- B'.

De ce qui précède il suit que ^ est toujours de la forme

A'^ ' x-a ' jT-fl ' x-a" '

.1- — n, X — a', X- - a", . . . n'étant point des facteurs de B.

/x'~dx —— - est a])solument irréductible dans tous

les cas; elle constitue donc une fonction transcendante paiticulière. D'après

la valeur de -— il est aisé de conclure (rue — a la même forme.

N ^ dx

Soit donc

dx V ' ' x-a ' x-a' ' x-a" ' ' j..„(0 / y/^

d'où

J VR^ J VR^ J {x-a)VR ^ ^ ^ • J (j.«(rV7î Voilà donc la relation la plus générale qu'on puisse trouver entre les intégrales proposées.

2o. Pour appliquer l'équation précédente, je vais résoudre les cinq problèmes suivants:

1. Exprimer les deux intégrales /— ^ et /iflillu^ p^^ le plus petit

nombre possible d'intégrales de la forme /

" J {x-aWR