Tome second. JK
-— — - au plus petit nombre possible d'intégrales
(le la forme / — , P étant une fonction algébrique fractionnaire de x, et
l'intégrale déconiposable en termes de la forme f "^ ■
5. Quel est le nombre le plus petit d'intégrales elliptiques entre lesipielles on peut trouver une relation.
-i — -^ — qui sont inté-
grables par des logaritlimes.
5. Trouver toutes les intégrales de la iorme /- — ^^tt^'^* peuvent s'ex-
primer par les intégrales J-f„ *^^ J'^/^ "" '"oy^" ^es logarithmes.
Problème I"".
/(k+lc')x y jf par le plus petit nombre possible d'intégrales de la forme
f dx
26. Soient 7^ Q, P., Q', P", Q", . . . PW, Q'^-) respectivement du degré m, 11, m', n', m", ii", . . . m''''\ 7i(''\ ces quantités contiennent ni-\-ti-{-m'-\-7i' . . . L ^W | ni'-) -| ;• | 1 coefficiens indéterminés. De plus les coeflTiciens A, A', .. . .4''"' sont au nombre de r-\- 1. On a donc en tout m-\-n-\-in'-{-)i' . . . L jfiO) | y^i»-) -|- 2;- -j- 2 = a' coefficiens indéterminés. Supposons que des quantités m, m', m" . . . ?«W on a
m = n-{- 2, m' = n' -f 2, etc. /w^p-^) = w'^'-^^ + 2 v,(p) > //(p) -\- 2, m<P+'-^ > 11"'+^^ + 2 etc. m^+p'-i) > ?<(/'+/'■-») + 2 "
m^p+p) < ?i^P+P') 4- 2, etc. ?mW < ?iW + 2. 11 suit de là que
N est du degré 2m
iVt^^i) 2?h'''-i) iY'W 2»2W
jy(p+p-i) est du degré 2m(''+P -^'>
NiJ^p) 2?i(p+p ) -\- 4:
lif(p+p-+i) 2n(p+p'+^^-l-4
iVr-) 2«(0 + 4.
De là on voit que
où r = 2m 4- 2ffi' -\-2m''-\-...-\- 2in'P+P -^) -f- 2)t'P+P'^ + 2«^^+''+') + • • ■ + S??"^'" '
+ 4{;'—;>— />'+!) et ;•' < „.
Puisqu'on a «' coefficiens indéterminés, on peut faire en sorte que S devienne de la forme:
A- et k' étant quelconques.
On peut donc exprimer J /j^ ^ par r — «' + 2 intégrales de la forme
y* dx (xa)\/Jt
Il faut maintenant déterminer m, n, m', n' etc. et r de manière que la quantité v — a' -\-2 devienne aussi petite que possible. On a «' = 2m + 2?»' -|- 27m" -{-...-)- 2mfp-^'' — 2p
-f- m'P' -\- >i'P' -f- 7n'P+^' -|- »'p+i' -|- . . . -j- w'') -}- 2?- + 2. Donc V — «'+ 2 = w/''"' 4- m'p+^'> -|- ?»'>+=> (-...) m'p+P-^)
— «'?,) ;/(;'+ll — ,i(p+-^> — ... >/?+?' -1)
— m'P+P) — wj(>+p'+i) — — jn(r)
On voit sans peine que cette expression devient la plus petite, en faisant ;/ =: 0 et ?• =;> — 1. On obtiendra donc r — «' -\- 2 = 2, r restant arbitraire.
Il suit de là qu'on peut faire:
En multipliant par — — et intégrant, on aura
VB. ./ {x-a\VR ^ J (x-a>\\,
VB. J {x-a)\/R J {x-a')\/R
27. Comme r est arbitraire, il est le plus simple de faire /■ =r 0 ce qui donne
De plus, comme n est arbitraire, soit n ■= 0, d'où ni = n -\-2 = 2. Faisons donc
P==f-{-f(y>.x-\-f(V.x\ et Q=l; on aura N =P^ — Q^ = (/ + f^^\x + f^^) .xy — H,
3I=a(2N.^-P.^) = A.(p.^ -2R.^) \ as dx y \ ax dx /
Soit N=D-\-D^x-\- D.^x%
on aura D ■=.f- — a,
0= 2/'(^)./'^*) — «5', De ces équations on tire /"<^*' = '\^t, f^'^^ = —
On a de plus
M= A .(2{D-{-D,x-\-D^x^){f(')-{-2f(-'')x) — {D^-\-2D^x)(f-^fO)x-\-fW^--'})
= C+C^x + C^x"" + C^x\ On tire de là C = 2ADf('^ — AB,f
C, = 4ADf(^^ + ADJ(^)—2ADJ, C, = 5ADfm = 5ADyf, C, = 2AI)jm = 2AI)yi.
Donc
W D+Jj^x+D.^x^ "~^*^~' n\ '" n+n^x+n^x^ '
où l'on a fait pour abréger
et c— 2A£i£s^zz^i£iL = c'.
Soit ^ = k', et^^À^fi^ = k.
Ou aura en substituant les valeurs de C^, C^, D^ et D^
En substituant les valeurs de /"(') et de /"(*) on eu tirera
-.__ X-(S'— 4ôY)+2/t-'£^ '^ 2(6/-'— 4si-)-v^s
Connaissant /' on aura
C\= k^ — k'a — È^— ^hlll f—k'f
Soit maintenant
on obtiendra:
/(k + k'x)dx __ ^ p dx j^, r dx
qui est la réduction demandée.
28. Appliquons cette équation au cas où k=zO et k" = i. Dans ce cas on aura
y? 5Vi 2pe
donc
D où l'on trouvera
...^ ,|/^-,.|/JL
En substituant ces valeurs on obtiendra
/^ = (G + HVK)/^,:^^ + (C //KA-i/ç
rfj:
ou
2(5*+8^8£2 — tyS'^ê)
„^ 8 /^'£-a5-^\ 4s \sii-i— a82/
29. Il faut considérer séparément les cas dans lesquels quelques-uns des coefficiens K, G, H deviennent infinis.
Si Z>2 = 0' o" ^^^^
C = 2AD . /-(O — JZ)/= ^ (^ — ^/)
On trouvera k = h -;î- • -^s — >!*oit -77- = ."? ou aura
Gkt—k'b
f wr~'
A.rH-/^ + -^-^__&^+/^+^ ,
C ff , A D k'.f . k'
donc 4 = k'x + k + \^ ^1 h^,
on trouvera de plus
D'après la valeur de ~ il suit qu'on a
/{k + k,j)dx r k' ,, rjc^ j\ 1 f dx
