L lo.r

où l'on a

6^e— Jt-'S (/■^ — a)t/s

2Â-'£ /5 — Pv/s

Si l'on fait ^ = 0, k'=i\, on aura

ou

/xrfj \ , , ■. /* dx

VR ~~^ ~~^''J{x+^)vR

{~ + ^ — x+Vt.x-^ + VR + J.loo-{J^! h^

4ey— 82 8 u.''

85 ' ^ 2e iJ.'ô— Pe

On a donc la relation suivante entre les coefiRciens «, /?, y, d, e

oO. Dans ce qui précède nous avons réduit -— - à la forme

^+^i^ + f^^^''+(^^^^ eu faisant P'—Q'R=zD + D,x-\-D„x\ n + D^x+D.^x'^ 1112

On peut aussi le faire de la manière suivante

Soit R^(^f}J^qx-\- rx'^){p' -\- q'x + x"^)

on aura

N=P^— Q^R = P{p' + q'x-^xy— {p'-^q'x-\-x''){j) -\- (jx-\-rx-)

ou bien

N= {j)' + q'x-\-x''){f{p'-]-(i'x -\- x'') — (p-{-qx-{-rx'^)).

Soit N= {p'^q'x + x''){D-\-D^x-\-D^x''),

on aura D = f^p' — p

D,= rq'-q

Or . 3I = a(p.^ — 2R.^);

\ as dx /

donc il/= A{p-\-qx^x-)(^f. !!^-2{p + qx+rx').^)

c'est-à-dire

M = Aip'-\- q'x + x''){ f^ + 2fi'x + 3fdx^ + 4/^ .r' — 2{p + qx -f rx''){fq'-\-2fx).

Soit i»/= (/+ q'x-\-x-'){C-{-C,x-\-C^x-'-\-C^x%

on en tirera C z=z A{fiJ — 2.fpq')

C,= A{2fy-4rp — 2fqq') C^=A{3fd-Afq-2frq') C^^ A{4ft — 4/"r) = 0 à cause de ?' = k

Puisque C3=0, ou voit qu'il est impossible de réduire Tintégrale/-^ — ~»~ "

de cette manière, mais comme /' par là devient arbitraire on peut le détenni-

/'dx — — soit réductible à une seule intégrale de la forme \/ R

y* dx *••

Pour cela faisons D-\-D^x-\- D.^x'^=.D^{x — af, d'oii il suit que D\ = ADD^.

En substituant les valeurs de />, D^, D^ on obtiendra

c'est-Ji-dirc

/••»(^'2 4y/) f\2qq' — 4p — 4p'r) + q"" — Apr = 0.

Cette équation servira à déterminer /". Connaissant /' on aura aussi D, A>j, D^ et a.

Comme 31 doit être divisible par .r — n, soit

C 4- C^x + C^x-" = (.1- — ff)(A- + k'.v) ; de là on tire

r = — oA-, C,^k — ak\ C'a = A"', et en éliminant les quantités k et A'

savoir ^V/* -|- ^i^' H~ '^^ 0, d'où l'on tire la valeur de a, savoir

On a

Af C+C^s+ C^x-^ (A-+)i-'j)(.r — g)

donc

M k + i"'a: k' . k + ak'

Soit —— = 1, on aura k'=^D^, donc D^::^C^\

où bien, en substituant les valeurs de ces quantités,

f- —r = A. {3fâ — ifq — 2frq% d'où l'on tire

or â = i^q' -j- <^ ;

donc A =

Nous avons trouvé A" = — — , donc en substituant

k= — ^ ([^ — 2pq% or ,5 =pq' + ;yy, donc k = ^ ipq' — «;/) = (/•'-;)(/'?'-?/''),

donc -A- = ^?'-g^'