N^P''~R^k{x-{-'p){x — af, x-\^ étant facteur de lî

5. iV=/»*— /?— A"(.r*+;>ar + 9')(d; — «)*, a:='+/):r4-/^ étant facteur de H.

Le troisième cas est celui que nous avons traité; considérons encore le premier.

On a

(/'+ f'^ + f^'^f — (« + i"-^ + r^^ + ^x^ + ^x") = ^(ar — a)*, donc f^- — (( ^= ka*

2jf' — ct = — ^ka^ f'^-{-2ff" — y= Qka^ 2/Y" — () = — 4A-« f"^—f= k.

Par ces équations on peut déterminer les cinq quantités k, a, f, f', f"; mais on peut les trouver plus facilement de la mauière suivante.

Soit R=^i. {x —p)(.v—p%v — p'>){x—p"').

En substituant dans l'équation

f-{-f'x-\-f''x'' = V(k.{x—a)*-}-R) pour X les valeurs p, p', p", p'", on obtiendra

f + Pf' + P''f" = ip-nr.Vk f+P'f +/>'* f" = * • {p' — a)''.Yk f + P"f' + P"''f" = «■' -iP"— af.Vk f+P"'f' + P"'Y" = '"■ (p'"— afYk.

i, i' et i" désignant le double signe +.

De là on tire

iP - pT + ip" — p") •/■" = {{p — «)' - i{p' — of) . Vk. En divisant par p — p", on aura

De la même manière

De ces équations on tire de même

l'où f" = ( ^^~")' — '(;>'-«)' L i'{p"-a)^ \ Yf..

De la même manière

f« ( iP—»Y i{p'-aY , i'ip'"-aY \ .^

\(j,-p')ip-p"') {p-p'){p'—p"')~{p-p"'){p'—p'")J'^

Donc enfin

i{n' aY ( - — - ^> = 0

' V (p—p')(j>'—p") (p^P')ip'—p"') ^ [

ip—P"){P'-P") (p—p"'){p'-p"')

OU bien

{P—P'){p—P")ip—P"') iP'—p){j>'—P")iP'—P"')

!'.(p" — «)2 I i".(p"'—ay^

Donc C — 2C,« + C^fî" = 0

C^ P^ -I ^1?!! + etc.

OU

,2 1 ipi"^

C = P I ^P' + etc

' ip-p')ip—p"Kp-p"') {p'—p\p'—p"){p'-p"')

£ - î I \ i etc

* {P—P'\P-P"){P—P"') {p'—p)(p'-P")iP'—P"')

Quant à la valeur de i de i' et de i", on ne peut faire que < = l, ;•' — — 1, i» = — 1, car dans tout autre cas on aura f" = Y^k, ce qui donne e =.0.

Soit donc i=l, i' =z — 1 et i" = — 1, on trouvera sans peine

^ 2 Pf^' • ^P" "^ f'"'^ ~ ^"'^"' ■(P'^P'^

(y ___2 pp'—p"p'"

* (ji>— P")(p— j!>"')(iJ'— j>")(;''— ?'")

a ip—p"){p—p"'){p'—p"){p'—P"')

donc

{P+P'—P" —P'") ■ (t- — ^il^P' — PY") ■ a + PP'iP" + P'") — P"p"'{p +;>') = 0. (^OQuaissnnt a, on aura

p+pi — p" — p<" '^ '

donc Véquatiou /'"- — f=k devient

WP^P'^P"+P"'-4ay jl^. ^ ^,^ f^,^^^^^ ^ L\ p + p' — P" — p'" / J '

donc k = (p+p'-p"-p"r^

{;Àip"+p"') — 4a]{2(p+p')—4a] '

fz= Y{pj)<p"p'» -\- ka'^),

n, p+p'+p"+p"' + 4la

Il reste maintenant à déterminer A et L.

On a M=a(2N.^—P.^),

V dx ds y

donc 31 = — Ak{x—a)\2af • + 4/+ (2/*' + Anf")x),

et par suite

jtf [^(2g/^+ 4/) + -^(2/' + 4af")x]

donc A ■=.

2(/' + 2ff/")

jr'^ 2(/+«/' + «yO /'+2fl/"

2v/ [(;j+/;' — 2fl)(;j"+^"' — 2a)]

y V [2a - {p^p')-\s:ia - (p"+p"')] / ■

Connaissant ces valeurs, on aura:

/; dx j^ P dx v/[(-r — P){^—p'){x—p"){x—p")'] ^ J {x — d).-s/\i^x—p){x—p'\x—p"){x — /;'")]

1 j lo„(^/+/'-^+/'^^ + V\{x—p){x-p'){x—p"){x-p"')-\ \ ' ° V/+/'j:+/"jr2 —y [^a:—pXx—p')(x—p"){x—p"')'} J'

Donc