Appliquons cette équation aux cas suivants

Dans le premier cas on aura

f" = — 1, /•' = 0, /■= pp", a = 0. Donc A et L sont infinis.

Dans le second cas, on aura

a = y^pp' 4 — 1 \ — \ r — 01/mh'

f,, '^^pp' /•' = — ^P'^P')'^ f — '^PP' ^PP' P = (p-^)v-\ i^PP'Vpp' — (p +Pf ■ -^ + ^^PP' • •*•')•

Donc ^-^''S(i^) = j~-^rctg.-^^,

et enfin

^ . arc t-. ( (p-P')-^\i^''-P''){^''-P'-^)'] \ .

On a (ar^— p*)(^*— ^'^) = (.r— />)(.r— ;^')(^+i^)(-^ + /'')

= (.r^ — (^4.p')^4.;,^')(.r^+(;,+/>')^-+/'/'')- Soit />-(-;^' = q, et ^/>' = r, on aura:

//- — qp-\-rr=0,

P=h^-\- iViq"' - 4r), p' = hq- hViq' — 4r) p — p' = Y{q'^ — 4?-), Ypp' ^=Yr.

Donc f ^-^ ^ 21/,. f ^ï

^ \/{{x'^ + qx + r'}{x^ — qx^r)'\ ' J {x—\/ r){\/\l^x^-vqx+r){x'^ —qx+r)\

1 ^,jt„ /v-(y^-4/).t/[(x^+yj+0(x'-g.r+/)]\

la même formule qu'on a trouvée plus haut, mais sous une autre forme.

34. Il est a remarquer qu'on peut toujours supposer que P n'a aucun facteur commun avec B. ; car soit R = R. ?■ et P = P'r, on aura :

~ ^ \ P' . V r — q^ R' ) ~"^ "^y {PW r—Qv RT ^

^ ^P'-r+Q-R' + 'iP'qvrR'\,^jP"+qwR\ ^ '"yp'^r+q^R'—'iP'qvrR'J ^ ^kp—q^^rP

dans laquelle expression P" ^ P'-j- + j^-/»'' et j^' = 2P'Q; et il est visible que P" n'a point de facteurs eouiuiuns avec R; donc etc.

Voilà la raison par laquelle nous avons trouvé la même formule de réduc-

— -, soit en supposant P facteur de H, soit non. Néan-

moins il est utile de supposer P facteur de R, car les calculs deviennent par là plus simples.

Problème II.

trouver les conditions nécessaires pour que

jm + l(m-l) .j,«.-l + ... + l's +1 ' ^R • ^S \P—qy'R) '

3o. On peut se convaincre aisément par un raisonnement analogue à celui (ju'on a employé dans le problème précédent, qu'on doit faire

Q=ze-\- e<i)..r + <'W.a.-^ + • • • + p("-*>..r"-' + x^ P:=f-\- /Hi)..r-f/\2),;t-- 4- . . . -]-/-(«+i)..ï''+' !/■( "+--';..i.«+2

« étant un nombre entier quelconque qui satisfait à la condition:

Soit .1-"' -f /""-*' . .r'"-' -f- . . . -j- /'x-{- /= {.r—o){x—a')(x—a") . . . (.r— oi'-'-V)).

Pour que -4r soit réductible à la forme:

j;m ,. /(m-i>.j.m-i + ^ / (j. — a){x—a'){x—a") . . . (x — aC"-'))

il est clair, selon ce qu'on a vu précédemment, (juon doit faire

.V= p-^ — Q-'-R = C{.r—a)i>-{x—aY{x~n'Y' . . . (.r— rt("'-»')l^'" '' = C'.6' . (1) où 2ii -\- A = ^1 -{- ft' + /(" -f- . . . + /(»"■->).

11 s'agit maintenant de satisfaire à cette équation.

Première méthode.