Supposons que {x — uY{x — a'Y' . . . {x — «("-i

= (f-\- /■(!) . a; + f^-'Kx^ + . . . +/'(''+^) . .T"+-)2

En développant et comparant les coeftlciens on trouvera l'équation générale: ffip) | f(i)f(p--i) [ pvpr--^) j f{3)pp-3) | etc.

— {i{eeiP-^^ + ('(i)ef?'-2) -f- eC^igCp-s) ^ e(3)efp-4,) -f . . .)

> = iC f/(p ) r''"»

— <5(e<îf''-=') + eWe<-P^) 4- e«e(^''-«) + eC')^!?-^) + . . .)

— f{ee<}'-^) + e(^^e'p-^) + eW^^'/'-e.) -|- e(3)pC;'-') + . . .)^

En faisant dans cette équation successivement ^y = 0, 1, 2, 3, 4 . . . 2u-\-3, 2n-\-4: ou obtiendra 2j/-\-5 équations et ces 2n-{-5 équations contiennent les conditions qui résultent de Téquation (1).

On peut par ces écjuations déterminer les coefllciens e, eW etc. /', /"(*), f''^^ etc. en fonction de C, a, a', a", etc.

Déterminons maintenant la valeur de ff(p\

En prenant le logarithme on a:

log(/ir-j-^(i) ..r+ «/(2) . x"- -\- . . . -\- x^"-^) = fi \og(x — a) + ,«' log(.r— «') + . . . donc en différentiant

g(.i-) + 2gri).x+... + (2«+4).j:-"+^ t__| !^' } ^" 1

donc

gO-) | 2^(2) . .Y | . . . j (2w4-4)a;2''+^ = /( .

+ /'"• -f- etc.

Le coefficient de a;''" dans est = — (^ — -\- — — ; h ^—5 — h-H — t-.I-

Donc il est aisé de voir qu'on aura

j-2n+4 + gC-2n+3)

. + gii).a- + g

x'in-H + g(2n-|-3).