Tome second

p = 0,1,2,3,4... fietc.

on obtiendra les équations nécessaires pour déterminer e, e(*), eW, etc. f, /"('^ /W, etc.

Ces équations ont l'avantage d'être linéaires par rapport à e, eO, f W, , . . f, /"(^), /■(*), etc. ce qui facilite beaucoup la détermination de ces quantités. 38. Il reste maintenant à trouver les coefficiens k, k', k", . . . etc. et A. On a

\ as dx /

et Z = A.

\ dx Ndx )

or

dN

= Ji +Jf+ J^ + ri + etc.

donc

Ndx X — a X — a' x — a" x — a" dN ft + A(i).j: + A(2).j:2 + A(3).x3 + .. . + A("'-i).x'"-i t

Ndx l + /(l) .X+/(2) .x* +/(3) .X3 + . . . +H'"-l) .j:m-l +j;m 5'

M ^ V ■ Qdx Q J )t+i-(i).x + À(2).j-2+ ...t('"-i).j'"-« + x" "* 1V=^- « =^ ■ « 5

donc

k -f k(^hx + ytW.^r'' + • • • + M"-'). :r"- + x^ = A. '!^^—- (6)

En développant le second membre on aura aisément les valeurs des coefficiens k, k(^\ A:(2), etc. et A.

Ces coefficiens peuvent aussi être déterminés comme il suit.

Soit x = a, on aura S = 0 et t = fi{a — a') (« — a") (« — a'") . . . etc. donc

k + kW.a-\-¥ ').««+ A-(»). «»+ ...-\-a'"=—pA.~ .(o— «')(«—«")(«— «'")• • • etc. or ■j^ = ± K(?«) = i • K(<]P«) ;

donc A:+A:W.a+A-('»).o*4-... +«•" = — /,u^.]/(p.(a—«')(3— «")... ou bien, en supposant t = if-x,

k + ArW.rt + A:W .a* + M»), a' + ... + «•»=— ^/^.^/((fa). V».

En mettant au lieu de a successivement a, a', a", etc. on aura les équations suivantes :

^-) A-(i).fl +k(*Ka' + . . . -|-A:('"-»).«'-» -f-o" =— if,A Yicpa) .x}ja k -f- M») . «' + k^^^ . a-a -| . . . i ^(—1) . a<— 1 ^a""=— i'/u'A . l/"(yo') . if-«' A .f A-c ) . «• + M*) . fl»* 4- . . . + A:("-») . a""-^ -]-«••»= ï'y^ . }/'{(pa") . i/w" )(7)

k^k< ' )«<-•»-» '+A-( *).fff — • )=+ ...+A-("'-» ).a("-»)"-'4-a('»-i )"= — é^"-»). J.'l/(95aC"-i)).t|;a('»-») ^

Au moyen de ces équations il est aisé de déterminer k, k^^\ k^^\ k^^\ etc. par A, a, a', a", etc.

On trouvera

/(»+2)[(2rt+4)/('"-») — A ('"-■2)]+/("+J).(2« + 2— *("■-!))' or hC^^^ = /« + /'' -f /<" + ... = 2« 4- 4

— etc. ) [-\- etc.

donc /i("-^) = (2m 4- 4)/("-'' 4- fta 4- //'«' 4- fi"a" 4- . . .

on tire de là

([j.a + [i'a' + ij."»» + . . .)/("+*' +2/(»+») '^

39. Appliquons ce qui précède au cas où fi = /j.' = in" = etc. =z 1. Dans ce cas on a m = 2ti -\- 4.

Les seules équations qui sont nécessaires dans ce cas, sont les équations

(4) et (7).

Considérons d'abord les équations (i) f+fy^)a -\-fC')à' + . . . + f^"+^KW+^ = if a Y {if a) f^ f{^)a< +/'C^V* + . . . + /'C"+^).«'"+* = i'fa' y {(fa') f-\-fWa"-\-f(''^a"^-\- ... 4- /■<"+■' ).«""+^ = /"/«"• K('/'«")

On peut aisément éliminer les quantités f, f^'^\ fC^), etc. de la manière suivante :

On a, comme on sait,

gm-p-1 a'"'~P~^ I a"'"-P-^

+ etc. = 0

aP

p étant un nombre entier positif;

aP , a'P , a"P , , «("■-!)?

OU bien — — H — ; — r~r-i r • • • n — i — i„,-n — '^'

lorsque p < w* — 1 (< In + 3).

Donc si l'on multiplie la première des équations précédentes pai- ~ , la se

conde par " '' , etc. et qu'on les ajoute ensuite, il est aisé de voir cpie la

somme des premiers membres devient égale à zéro si p <ii-\-l. On a donc

«p ••(?») ^„ , i, . «'^-^^(9"') . fa' + /" . "'^"•'^^?"''^ . fa" 4- etc. = 0 . (9)

En faisant dans cette équation successivement p = 0, 1, 2, 3, . . . n on obtiendra ;/ [ 1 équations par lesquelles on déterminera les ii quatités e, e^^\ e^^\ etc. e("-^\ et on trouvera de plus la relation qui doit être entre les quantités a, a', a", n'" etc.

40. Supposons que w = 0. Dans ce cas on aura fa = fn' = fa" = etc. = 1 ; donc l'équation précédente devient:

?'. t/(9fl) i /' . t/ (yaQ

(«—«')(«— a")(«—fl"') («'—«)(«'— a")(a'— a'")

' {a"—(i){ft"—a')(a"—a"') ' {a"'—a)(a"'—a')(a'"—a") C'est la relation qui existe entre les quatre quantités a, a', a", a"'.

Les équations (4) deviennent:

: * f-\-f(^).a +/'(^).rr = i.V{ffa) /■ j /■( 1 ) . «' j fC^) . a''^ = i' . Y{ff(f) fJ^f ii.„" J^f('^).a"- = i".l/(q)o") f+f^'^. a"'-\-f('') . «'"•- =f" .l/((^a"').

En multipliant la première par ,, ^ ,, etc. et en ajoutant ensuite

on aura:

f ( \ 4- 1 -f-etc.")

fi(rt— «')(«— a")(«—«"') «'(«'— ff)(a'—a")(a'—"')

+ etc.

jfoii .... -. ?'

,. . a'a>'a"' ^r , \ i v awa"' /■

' ' ■ {a—a'){a—a''){a—a"') ' ' ^^"' "'" * " {a'—a){a'-a"){a'—a'") '^ ^'"'' I .„ aa'a'" r. ^^ |^ .^ aa'a" ,

"^ ' ■ («"— «)(«"— a')(a''— a'") '^ ^f" '^^ ' («'«— a)(a"'— a')(a'^^=^ ' ^ (^"'"^^ De la uièine manière

f(i) __ 'V(9") 1 »V((pa') , i''.\/(<:^a'')

{a—a'){a—a") ' («'—«)(«'— «") ' («"—«)(«"—«') ' et ensuite

r(i) ^ 'V(9«) | 'V(9«') /^ ■ „,).A^) a — a' ' rt' — ff V r / /

Connaissant /", f(^\ f^-\ on aura aisément la valeur de A par l'équation (8),

«|ui devient dans ce cas

A-, k'^^\ k(-\ et k(^\ se déterminent par les équations (7).

On peut aussi déterminer les coefficiens de la manière suivante. Soity?=(.r — p) {.V — P') i-i^- — jJ") i-v — p'"), et dans les équations

xz=ip, p>, p", p"', on obtiendra

f+ p'-f'^ + p" -P ' ' = Vc. Vi^p')

f-\-p"-p'^+p"''-p'^=yc.vi¥")

En éliminant f, f*-^) et f^-\ il restera l'équation:

{p—p)ip'—p'){p"—p"') {p"'—p){p"'-p'){p"'~p') )

qui exprime la relation entre a, a', a", «'", et qui est plus simple que celle trouvée plus haut.

41. Supposons maintenant que m =. 2. Dans ce cas on peut faire les suppositions suivantes :