P* — Q-H = C. {x — ayi.v~a
Dans tous ces cas les équations (7) deviennent
k -\- A:(i).« + «^ = — A. {a— a') y {(fa) k 4- A:(^).a'+ a'*= — A. {a'— a). Y {(fa'), d'où l'on tire
A-(») = — («+ a') — A.{V{<fo) + ]/(.fa')) A: = «a' + J(aY{(fa) + «|^((f a'))- Les autres coeflSciens se déterminent par l'équation (o).
Je vais les évaluer dans les cas où w = 0 et w = 1. 1. Lorsque n==0, on peut faire
a. P^ — R= C.{x — a) {x—a'f, ou b. P'' —R = C.{x — af{x—a'Y.
a. Si P^ — /? = C.{x—a){x—a'y.
Dans ce cas l'équation (o) donne
Fa = Vifu) Fa' = V{(f'a')
d{Fa') = ^.-^^ 'M «; — ir- ^(ç„') T- ^[(ç«')3]
^ \/(<pa)
0fti) 1 <p'«' 1 (y'"')' .
^^ — ^- /(ça') ï- A/[(9«')^]'
donc A2)^i. 29a'.yV-((p'«r
» çaV(<pû )
a' 2<pa'9"a' — (ç'«')
^ ' v^(ço') 4 (fa'\/((f)a')
f i/rrr«\ «' y'"' J^ 2<pa'.yV — (y'fl')'
et la relation entre a et a' devient
OU
Vi^a) . V{(pa') = ,,a' + ^ (« - «')<?'«' - è (« - «f P'P-'-^-^'-C^'-')'!-
On aura ensuite A par l'éqnation
42. On peut aussi trouver ces équations de la manière suivante. On a P — Y{R -f- C{x — a){x — a'f).
Soit B={x — p) {x —p') {x—p") {x — p'")
et faisons x =zp, p', p", p",
nous aurons
f+f^'^'P +f^'^y =VC.y {{p-a){p — a')).{p-a') f+ f^'^-P' + f^^^-p" = VC.V(iP'-»){p' — a')).(p'-a') f-{-f(^).p''^fi^).p«^ = yC.V({p'' — a){p" — a')).{p''—a')
f+ f^'^-p"' + z"^* > •i»'" = vc- vap"'— à) (p'" — «')) • (/»'"—«').
En éliminant f, /"(') et f^'^\ on aura entre a et a la relation suivante: (p-«')v/[(;>-«)(y-«')] ■ {p'-a')^[(p'-aXp'-a>)-] \
{P—P'){p—P')ip-P"') (P'—P)(P'—P'){P'—P"') [^
b. Si P* — /? = C.(.r — o)V — «T- Dans ee cas l'équation (o) donne
f+f(^).a-\- fr-).a'=y(cfa)
^/(Çfl')
Des deux dernières équations on tire
' *■ (a-a)/(ço) ^** (a'a)^/(<pfl')
^( 1 ) 1 a' .<^'a | j gç'g'
' — ï- (a'a)\/(<pa) "T" ï" (a a')v/(ç8') '
En substituant ces valeurs dans les deux premières, on en tirera
f 1 gg' ç'g 1 1 aa' ç'g' g'v'(q)a) — av/(çe')
* a— a' \/(9a) ** a' — a v/(<pa') a — a'
•et
On a ensuite imiicin. t i
/(?«) y(9«') En substituant ces valeurs dans les expressions de k et k', on obtiendra :
\/(<pa) ^/(9«')
A-=- (« + «0 + 2.-^^^^?^^^^^^^ =- (« + «') + 26'. ^ ' ' ' ça c'a
v/(9a) V^Cça') Par ces valeurs on a :
k + k'x+x'^ aa' — {a + a')x + x"^ + 2b + 'Ib' x
Donc on aura
J Viçx) J {x—a){x-a') a/(9-ï') " "^ V P— v/(9-i-) >'
La relation entre a et «' peut aussi s'exprimer de la manière suivante:
(y-a)(y-aO , (;;--»)(;>'-«') (;;'-a)(;;"-a-) {p"'-a){p"'-a-) ^
(p-P'){p-f){p-p"') {p'-p){p'-p'){p'-p"') (p"'pKp'-p'){p"-p"') {p"'-p)ip"'-p'){p"'-p") ou
(P +P —p" — ?^"')««' — {PP — P"P"')(" + «') +PP'( P" + P'") — P"P"'(P + Z'') = 0' d'où l'on tire
, (pp' — p"p"')a + (p+p')p"p"' — jp" +p"')pp'
{P+P' — P — P'")^ — pp' +p"p'" 43. Supposons maintenant que
P" — /?--= C{x—p){x — a){x — a'}- X — p étant facteur de R.
On a donc P = {x — p){f+f^'^ .x),
donc (/'+ r^).xf = (--P')i--P'')(--r) + ^. (f-»j(^-«-)- .
Faisons x = p', //', //", on aura:
ip'-p")ip'-p"'W{p'-p) ~ (p"-p')ip"-P"')s/(p"-p) "^ {p"'-p'){p"'-p")V{p"'-p)
En éliminant /" et /"C^), ou aura (p'-a')V(y-,
(Voù l'on tirera
^'__ Bp'.v'(p'-a) + B'.p". V{p"-a) + B" .p"', V{p"'-a) B.v{p'-a) + B' .\/{p"-a)+ B".\/{p"'-a) '
en faisant pour abréger
B = , , „, , V ,, , o B = — 1— -, fi" ^
{p'-p"){p'-p"')- V {p'-pY (p"-p'){p"-p"')- V (p"-py {p"'-p)(p"'-p). V {p"'-p) '
41-. Dans les trois numéros précédents nous avons considéré le cas où VI = 2. Supposons maintenant m = l. Dans ce cas on a
p^ Q-H = C.{x — ay"+*
et f-f^ • ^ =- ^-i • lo^- (^^^t^y^).
Js—a VR ^\P—^^/R)
h se détermine immédiatement par Téquation (7) qui donne
kT= — a — ^A . \^{ifa).
Les quantités A, a, f, f(^), etc. e, c'^\ eJ^\ etc. se déterminent par l'équation (3), qui donne les suivantes:
Fa = fay{(pa) dFa = dfa . V{(fa) + fa . d\^(ffa) ,1-Fa = (Pfa . Vi^fd) -j- 2dfa . flVicpa) + fa . (f-Vifà)
d"'+'Fa=d"'+'faV{'f(i)+(2n-\-3)d"-'^+Ya.dy{cfa)-\- ('^"+^)(^"+^) . d'''+Y„.dy(cpa)-\-etc.
Par ces équations qui sont toutes linéaires par rapport à /", /'(^), /'C^), etc. e, e*^*), e(^) etc. on peut déterminer ces quantités et «, mais par des calculs assez longs. Je donnerai dans la suite une méthode sure et directe de déterminer ces quantités dans tous les cas. Pour le moment je vais résoudre le problème en supposant
|p = l et K- — R = C.{x — -p){x—df, X — f étant facteur de R, et Rz={x — p){x — 7>')(.r — p")(x — p"'). Soit J^ = Çr—p).{f-\-f(^).x),
donc (/"+ fi^xf = i^-P')i^-P"X^-P"') 1 c. (^-«)' .
