Tome second

En faisant successivement .r=/>', p", p'", il viendra

f+r^.p' =VC.{p'-a).y{^)

f+fi^).p"' = YC.{p'"-a).y{Ç^).

On a de plus en faisant x = 0

En éliminant f et f^^^ entre les trois premières équations il résultera:

ip'-p"Kp'-p"') {p"-p){p"'P"') (p"'-p')(p"'-p")

De cette équation on peut tirer la valeur de a, et celle-ci étant connue, on aura aisément les valeurs de f, /"'') et C, que je me dispenserai d'écrire.

4a. De l'équation i ^ ^ ' . —f- = A.\os;(-——P——) on tire en substituant la valeur de k=i — a — /iA\/^{(pa) :

donc

J (^x — a)VR !Ji^.v/(ç«) J VR H-V'(ça) " "Vi»— Q/^/

De cette manière on trouvera donc toutes les intégrales de la forme

i %■ qui peuvent se réduire à l'intégrale/ — — moyennant une fonction

logarithmique de la forme -4.log (-^ — ^ — ^-j. Je donnerai dans la suite la

résolution de ce problème dans toute sa généralité. Elle dépend, comme nous venons de voir, de la résolution de l'équation

P'' — Q^R = C.{x — af"+*.

Pour le moment je remarque qu'on peut lui donner la forme

Eq effet soit

P = f,+ f['\x-a) + r^){x — af 4- . . . etc. Q = e^-\- e[^){x — a)-\- ej*>(a;— of -f . . . etc. R = a'-\- (i'{x—a)-\- Y'{x — af-\- è'{x—af-\-e'{x—af.

on aura, en faisant y = , x — a = — ; donc

et en substituant et multipliant par y-"'^,

p 2 QlJl^ ^ ^

Donc si l'on peut résoudre cette équation, on peut aussi résoudre la proposée.

La résolution de l'équation précédente sera donnée dans le cours du problème suivant, qui consiste à déterminer k et R de la manière que l'intégrale

y, „ ^ devienne intégrable par la fonction logarithmique ^4.1og (— — ^^^l-