Nous avons vu dans ce qui précède que si l'on a
/x'" + k(.'"-^) .s'"-^ + k("'-'^) .x'"-'^ + ... + k(^)s + k dx j, ^ ^ P + Q\/R\ (x—a){i—a-) Çr—a') . . . (s— a ( -"-i > ) 'V^ * **" \P—Q^Jl)
il en résulte nécessairement m -)- 1 conditions entre les 2m quantités a, a',
a", . . . ff("*~", k, k^^K . . A"("^^); on peut donc prendre m — 1, mais non pas un
plus grand nombre de ces quantités, à volonté^ et puis déterminer les autres.
Il suit de là qu'on peut faire
jrm+A-(m-l).j.m-l,.i.(m-2)j.m-2 j. + , + Jt(l)j.+ /,. x" + k ^ C'^) X"'^ + . . . + h ^ (>)j: + /t,
(x — a)(jr — a')... (j— «("•-!;) {x — a)(x — a') . . . (x—ai"-^))
A/"-*), A/"-*>, . . . k^<^\ A-j, a, «', a", . . . d"-^), étant quelconques, d'oii il résulte qu'on peut exprimer l'intégrale
/x" + k^ ("-') ..r"-! + . . . + h^(^1x + k^ dx
(x — a) {x—a') . . . {x—a (""i) ) \/ R /> ffj.
/dx — — - par ?i intégrales Y R
/* dx
de la forme /- '— — — , dont les ?i — 1 sont arbitraires par rapport à a.
Problème III.
-7-0 • gui peuvent être exprimées par
la fonction A.log ( pl^^^) '
47. Puisque/ ^^ ^"'^^ ^'^"° (f— e!/«)' ^° ^"^^ en différentiant
Pour que l'équation -— = .r + A" puisse avoir lieu, il faut que iV=const. = c;
on a donc les deux équations :
ei. + k) = 2Ac.-IL,
c = P--QR-
ou bien en supposant c = 1,
La première équation n'a aucune difficulté. Elle donne aisément les valeurs de A et k, quand P et Q sont connus. En eflet soit
P = f-\-f(^Kx-\-...-\- /•^"+*). x-"+% Q = e-\- ei').x + . . . + eW .a-", on a en substituant
el"). j'' + e(''-i).j:""'' . . . '
d'où l'on tire
donc
mi)''.(iii
Considérons maintenant l'équation
et cherchons à trouver les valeurs de P et Q.
Première méthode. ■ ■' '
48. La méthode la plus simple qui s^offre est celle des coefficiens indéterminées. Substituant donc les valeurs de P et j^ on obtiendra:
(/■^/\i).a:^/'(2).:t-2+...4-/'(M-2).a;-+2)2(e^e(x).^.+...^(n)..Y»)2(„|^^'a:+---+f.ï*)zz:l.
En développant et comparant les coefficiens on aura les équations suivantes au nombre de 2» + 5
— y{e.e^J'-^>-\- e^^he(P-^i -\- e^^Ke^p-^') +
— i{e.eiP-^) -\- e'^'^he'p-^'< -\- e'^).e'''-^^ -\-
En faisant dans cette équation successivement p =^ 1, 2, 3, etc. jusqu'à 2/1 -{- A, on aura les équations nécessaires pour satisfaire à l'équation
Ayant 2« + 5 équations mais seulement 2n -j- 4 coefficiens indéterminés, il est clair qu'on obtiendra une relation entre les cinq quantités «, ji, y, ô', e. En faisant dans l'équation (2) p ^2it -\- 4, on obtiendra
donc /■("+^) =e"').]/f.
En substituant cette valeur dans les expressions de A et de k, elles deviennent
49. Avant d'aller plus loin je vais appliquer la méthode précédente eu supposant ti = 0.
On a ians ce cas Q=e, P = f-\- fin. x-j-fi^). a;-. Les équations (2) deviennent donc
ae*= 1,
/•(')' + 2^(*) — ye* = 0,
2/"(*)/-(*) — Se" = 0, /•(»)« fga ^ 0
On tire de ces équations
fW =
/• — Ëi 1/^f = Pv^g
En substituant ces valeurs dans l'équation f(^y-\-2ff'^'^) — ye* = 0 il viendra: + -f, = 0, donc, = +^.
Celle-ci est donc la relation qui doit avoir lieu entre les quantités ,5, y, à et e. 11 est remarquable que « ne s'y trouve point. Par les équations (3) on a ensuite
On a donc
]/[a + px + (1^ + 2 ^)s'^ + Sx» +
4\/E "^ \p—q\/RJ
Au reste cette intégrale est facile à trouver; car en faisant x -\- —- ^y,
on aura
/ydy /(al + 7 V' + ty*) ' intégrale facile à trouver par les méthodes connues.
oO. Les équations (2) ont l'inconvénient de n'être par linéaires. On peut trouver un système d'équations linéaires qui les remplacent de la manière suivante.
En mettant — au lieu de x dans l'équation y
p^ Q^-R — 1 on obtiendra une équation de la forme
dans laquelle
Fy = f-y^"" + /•(»\y»+» + • • • + /•^"•^'> fy = e.y- + eC»).^/'-» + . . . + eW
fy = «/ + (%' + ry^ + ày + s.
Il est clair que l'équation
Fy=fyY{ffy)
aura lieu dans la supposition de y=0, en la différentiant 2w+3 fois de suite. On a donc les équations suivantes:
Fy = fy-V{'py)
dFy = dfy.Vicfy) + fy.(t\^Wy)
d-Fy = d'fy . Vi^fy) + m'y • fiV{n) + fy ■ 'f'Vivy)
(p'>+^Fy=d^-+YyV{(fy)+i^»+^)d""^Yy-dVi(fy)+ (^"^H'^"+'^) ^«+i/y.e/«|/(^^)+... etc.
En faisant dans ces équations y = 0 on aura
Fy = f ("+'),
dFy dy
dPFy dyP
4^=1. 2.3. ..(« + 2)./; d'>+'^+pFy
De même fy = e^"),
dyl — 1-^-e^ ^
dyn
<^/(yy) __ (i^y __ s
rfV(yy) __ 1 / d':fy M^y.d^c^y , (3rfyy)» \
^3,3 dy^\'W(.9y) 4çz//(9^) ">" 8(ç^)V(w)>''
De la même manière on trouvera — ^^ ^^c. en supposant y ^= 0. Pour plus de simplicité, je désigne par éP^ la valeur de — .J^ML en faisant y :=Q. En substituant les valeurs trouvées on obtiendra les équations suivantes:
^(^2) f. g(«-4) L ^(1) . g(»-3) I 1 c(2) . e(-2) | J f (3). e(«->) I JL .c(*).e(«)
^(n-y+2) __ p g(„-;,) ^ c(i) . eC'-p+i) -f ^^y . e("-p+2) }- ^''' . ^("-p+3) + etc. . . . -j- ''^'^ .e(»-p+*) + -I ':}^ eW
.eW
CiP) c(P+l) .^■, i c <"+'■>
51. Ces équations sont, comme ou le voit, très commodes pour déterminer les coefliciens e, e'-^\ <'(*^ etc. et f, /"('), /'C^) etc. Les n -\- 1 dernières donnent les coefliciens <?0, e^"^), . . . e(") en e et de plus une relation entre les (|uantités r*^'), cW etc. Les n-{- 2 premières donnent ensuite immédiatement les coefficiens f, f(^'), p'^) etc. en e. Celui-ci est arbitraire et disparaît du résultat, comme il est aisé de voir. Si l'on tait A" = 0, on aura /'(*) = 0, d'où il résultera une seconde relation entre les quantités c'*\ c(^) etc. Au reste cette supposition ne diminue pas la i^éneralité du problème; car en faisant dans le résultat x ^=y -\- k, on aura la même intégrale que si l'on n'avait pas supposé ^=0. Soit donc /'C^) r=t 0, on voit que
xdx
peut s'exprimer par des logarithmes, toutes les fois qu'on a entre les quantités «, /?, y, (V, é les deux relations qui résultent de l'élimination des quantités e, e(*^, <'("-' etc. des ti -\- 2 équations
52. Appliquons ce qui précède au cas où « = 0 et n=l. Dans le premier cas on aura
La dernière équation donne
d'où ;' = -''!-] — comme nous avons trouvé plus haut.
Soit maintenant n=\.
