lZîl
donc
^/[{s'^+2qs+p)(s'^+-2qs+p')] *■ ' V2j2 + 4çx + ;,+;;'— 2v//î/
ce qu'on peut aisément vérifier en faisant x -\- q = y.
Soit maintenant
On aura
2c- = {x- + 27»a- + m^) (.r- + 2^.r + p) — (.r^ + 2?«'.r + m"'){x'^ + 2y'.r +/?') d'où l'on tire
0 = //î^^ — m"^q' -\- mp — m'p'
0 r= p — p' -(- 4mq — Am'q' + w^ — ?n'*
0 = 5' — (/' -j- /H — in.
Soit q-\-q'=^ r, on aura 2q = r -\- m' — m 2q' = r -\- m — »«' p = ^r(5m' — m) + |»î'^ — ^m"" — mm' p = ^?-(3m — m') -\- ^ m- — ^ vr —mm' 2c- = l7-( m' — mf + l {m — m') (/«' —mhn' — 7m'*w +/«'»). Par là oa obtiendra
^ r»'/-»' j:2 + (ot + wt')x + mm'
mm' ^ri-, 2mp + '2m^ ^
donc P = — ^— , n ' = 75 ' " — -^5
1 fW j 2ff!p4-2m2ç
or 2?«/> = r{5mm' — m'') + m^ — m"^m — 2m'^m'
2m'^q = rm^ + m'm^ — /«', donc 2mp + 2m^q = 3r;n»i' — jh'^/w — m^'m'
et par là h = i{3?- — '«' — m).
L'intégrale clierchée a donc la forme
/(j + h)dx
Soit k = 0, OU aura ?■ =n — ^ — ,
donc 2q = I m' — | m, 2<?' = | ?« — | m',
de là 7« = 2q' + <7, »w' = Sç' + y'
3m' — m = 5q-{- q', 2>m — m' = 5q' + q 1 ,«^ = 2q" + 2qq' + ^q\ ^m'^ = 2f + ^H' + ^^/" ,«;«' = bqq' + 2çr- + 2r/'-, r = ç + ç' ;
donc 7> = ^ {^q ^ H') - \h''' -W — ^W 5
c'est-à-dire p =i — q"^ — 2qq'
de même /V = — §r'* — 2.y«ïr'.
On a donc en substituant
R = (.r* + 2qx — q' — 2qq') (.r' + 2y':i- — q'^ — 2</r/')
/; x^ ^ 1 ,^„ (P+ Qv'«\
où P = (a-' + 2qx — 2qq') (.r + y + 2q')
Q = x-\-q'-\-2q , . /* xdx
__ 1 1j,„ Aj-+?4-2(yOt/(.r-^+2yj-9'^-2vy')+(.r+y-+2y)v/(.r^+2y'.2--y'a-2gg')\ *" " \{x+q+-lq')v{x'-Viqx-q'-'Àqq')-{x+q'-^2q)^l^x-^+'lq'x-q'^'2.qq')) '
d4. Seconde méthode.
Dans ce qui précède nous avons réduit la résolution de l'équation
P^ — Q^R = 1 à la résolution d'un système d'équations linéaires ; mais comme l'élimination des biconus entre ces équations est assez laborieusCj et qu'on a de la peine à en déduire un résultat général, je vais donner une autre méthode pour la résolution de cette équation, qui n'ait pas les inconvéniens de la précédente, et qui donne une relation générale qui doit avoir lieu entre les quantités constantes dans H, pour que l'équation proposée soit résoluble.
Soit r- le plus grand carré parfait contenu dans R, on peut faire
R = r' + * où r est du second degré et * du premier.
En substituant cette valeur de R dans l'équation proposée, elle deviendra
11 est clair que le premier coefficient de P doit être le même que le premier coefficient de Q?'; on peut donc faire
P=QrJ^Q„ le degré de Q^ étant moindre que celui de /-*. En substituant cette valeur de P on aura:
Ql-\-^QQ,r — Q-'-s=i.
Soit Q du degré ?i, il est clair que Q^ est du degré n — 1. Soit maintenant
V la plus grande fonction entière contenue dans — , il est clair qu'on a
?' ^^ sv -\- u,
V étant du premier degré et ii une constante. En mettant cette valeur au lieu de r dans l'équation ci-dessus, on obtiendra
Q\ + ^QQ^n + Qs{2oQ, -Q)=:l. , On voit sans peine qu'en faisant
le degré de Q.^ devient moindre que celui de Q.
lôO
En substituant on aura
(1 + ^uv).Q\ + 2Q,Q,{u-sv) — s.Ql = 1, ou bien ^,1^^ 2r,Q,Q^ — sQl = 1,
eu faisant .v, = 1 -|- Auv, i\ = ?' — 2n.
Puisque le degré de Q^ est moindre que n, il est aisé de voir que Q^ est du degré n — 2.
Cela posé, soit
7/i étant une constante, on aura
donc en faisant Q^ = 2ViQ^-\- Q^,
Q^ sera d'un degré moindre que celui de Q^.
En substituant on aura
^^Q'\ + ^r^Q^Q. — ^.Ql = 1,
en faisant ^^ = * -{- Au^v^, 1\ = i\ — 2m,, et où Q^ est du degré // — 3.
Cette équation est semblable à la précédente d'où il suit qu'on peut la réduire de la même manière à l'équation
dans laquelle on a
Tg ■=. v^s^ -|- ti^, «2 étant constant
Qi = ^^\Qi 4- !P4' Q* <^tant du degré w — 4
En réduisant cette équation de la même manière, et ainsi de suite, on parviendra enfin à une équation qui, dans le cas où n est un nombre pair = 2u, sera de la forme:
*2a-i • V 2/+1 "T" "^\f fJn-i • Xi^+i *2a* X 11 ^^^^ ■'•?
et si n est un nombre impair = Zc' -{- 1, elle sera de la forme
*2t +1 • V 2^+1 ^''2«-l-l • î/îa+l • V27-)-2 *2a' • V 2a'+2 ^^ ^ •
!?2ï+i ^^* ^^^ degré moindre que celui de Q^^, et Q^y-'-hi ^^^ ^^^ degré moindre que celui de Q.^y,+i- Maintenant Q^y est du degré n — 2('. = 0, donc Q^y est une quantité constante; donc Q^^^^ = 0; on a donc
Si n = 2t(' -\- 1, on aura de même
donc en général
Q^ étant une quantité constante.
De là il suit aussi que .y,, est une quantité constante. Donc
"Toutes les fois que l'équation
est résoluble en fonctions entières, il faut que l'une de quantités
soit constante, et réciproquement. De plus si s„ est la première des quantités s, s^, s^, etc. qui est constante, P est du degré « -(- 2 et Q du degré w." Il suit de là que pour trouver toutes les valeurs que R peut avoir, il faut faire successivement ^^ s^, s,^, s^, etc. égal à une quantité constante.
55. 11 s'agit maintenant de déterminer les quantités s^, s , s etc. r ,
Les équations desquelles on doit les déduire, ont, comme on voit par ce
(]ui précède, les formes suivantes:
r„, = *mym4- "m (3)
On peut de ces équations déduire une autre qui est de la plus grande utilité dans cette reclierche.
En multipliant la première des équations précédentes par *,„, on aura:
De la seconde équation on tire
Oit — — — 7» }■
'*'" m— 1 ' »n— 1 ' wi 5
donc en substituant
•^ni— 1 • "^m "'m-2 • "'m-1 | (' m-i ~~' ^\ii) • -^?'jn— i ■ "^tti-i-
De l'équation (5) on tire en mettant ?n — 1 au lieu de m et en multipliant par 2,
2/'m-| 'i^m-i • ?'ni-i ~\~ 2W„j.
En ajoutant cette équation à l'équation (2) on aura
On aura donc
c'est-à-dire s^^ .s„-j- r''„=z s„^^ . s„,^ + r*„^.
Il suit de là que la quantité
est indépendante de m ; donc on aura
mais *j = 1 -j- ^'iv et i\ = r — vu;
donc ss^ -}- ?'^ = * + r* -|- 4m(«;* — r -|- ?/) ;
mais ^'* ^ ?■ — w, donc
Donc on aura quel que soit ni
*m-, • *m + r-„. =zr'' -\-s = R • (4)
ce qui est bien remarqual)le.
