Faisons dans l'équation précédente m = n, on aura

en supposant *„ = const. = ,u.

De cette équation on tire

On a de même

*„! . s„^ -j- r\i = rl-\-ss^=: r- + s ;

donc — (*^ — /.,s^) = r\ — r'^„^ ;

donc s„^ = ps^ si r,^j^ = i\, ce qui est vrai, car on a

d'où v„ = — , et M„ 3= 0.

Maintenant

or ?-,^i = ?-„ + 2w„i =: ?' + 2«f„i ;

donc ?• = — . r„-i — "«-1 ;

mais r = *i> -j- «< ;

donc v„i ■= (iv, î/„i = — « :

donc r„i = *?' — ur=.r — 2î< = r^ ;

et par conséquent Sn^-=-{.is^.

On démontre de la même manière que

Le signe supérieur à lieu si k est pair, et l'inférieur si k est impair.

Soit n un nombre impair = 2« -f- 1, on aura en faisant k-=u -\- 1

Wa = — "a,

donc f.1 ^= 1. Donc si ii est un nombre impair on a

S„-k = *fc-i

On a aussi w^ = 0.

Donc:

"Toutes les fois que l'équation P- — Q'H = 1 est résoluble en supposant Q une fonction d'un degré impair 2« -|- 1, on a

L'inverse a aussi lieu, ce qu'il est aisé de voir. Lorsque n est un nombre pair = 2«, on a

Ma-l + «a = 0

pour condition de la résolubilité de l'équation P'^ — Q'^B = 1. On voit aisément que ces conditions sont bien plus simples que la condition mentionnée plus haut que s„ doit être une quantité constante.

57. Connaisant la valeur de Q„ par l'équation on aura les valeurs àe P et Q par les équations suivantes:

Q„^ = 2y„-2 . Q,.-i + Qn

Qn-Z = 2y„3 . Q„-2 + Qn-X