U=f{dx . P' + (II/ . Q' + etc. djx . P" + dji/ ■ Q" + etc

Donc pour que U soit une diflerence complète, il faut que dx.P'-\-dy.Q'-\- . .-\- dJx.P"-\-dJy.Q"-\-ei(^.. soit une différentielle complète. Il faut donc qu'on ait

Or on voit aisément qu'on tire des équations (B) par intégration P'=Sf\x),Q'=^nrj)eic.P'<=:SJ<{x + Jx)-Sf'{Jx),Q''=SJiy+Jy)-:^fiJij),^^^^ P'" = 2 Y*'(.r + 2Jx 4- J^x) — ^f'{j{x -\-Jx))-\- ^f<{J^x) etc.

On aura donc par là (^) — ^f"{x,y) et (-^) = ^f'{x, y)

etc.

On voit donc que les condition nécessaires et suffisantes sont satisfaites. La fonction U sera donc nécessairement une différence complète, lorsque les équations (B) ont lieu.

Pour une application plus commode des écpiations (B) je me servirai de la signification suivante:

Lorsque dans une fonction U au lieu des variables on met les mêmes, augmentées de leurs différences finies, je signifierai cette opération par EU de sorte que EU= U-\- JU. La répétition de la même substitution sera signifiée par E^U=EEU::=U-\-2JU-\-J-U. Si au contraire au lieu de x on met X — ^x, cela sera signifié par E~^U, E~^U etc. Les équations (B) deviendront par la:

0 =/'(:) — AE-Vi^^) + A'iE-'^f'(Aiz)—\^E-Y{AH) + A4JE;-*/'(A-*:) . etc.

On aura de même:

2[/'=/<ir.[£^'/'(ûa-)— Afi-2/'(A*x)+A22!-'-3/'(A3j)— . .] + fdy . [£- '/'(Al,) - A£--/'(A --y) + \--E-^fi\^y) - . .] + etc.

+/</Aj:.[fî-V"'(A2x)— A£--/'('^3J■)+A2£^3/'(A^J•)— . .]

+/rfAi,.[£->/(A2«,)A£-=/'(A5^) + A"-£-3/'(A4^)- . .] + etc.

+fl^^^s[E-Vi^^J^)—^s-V'{^*s) + . .]

+ etc. etc.

Je vais appliquer cela à quelques exemples.

1. Rechercher si losf-^^^^^^ — —) est une différence complète. ^ \ s — Aj / *

On a ici f{x, Jx, J^x) = log (x — J^x) — log (.r — ^x), on aura donc:

X — A-x X— Ax ' s — Ax X — A*x

Les équations (C) deviendront donc:

^ ^ — JE'' -i — — J^E-^ 1— = 0, ou bien

X — A'^j: J — as X — A^' s — A^x

*— A'^x j — Ax JS-ix— S-iAx E--x—E-^\-s

or J'^x = E-x — 2£.r+r, Jxz=Ex — .r, donc

^ iTTi-i J"^ ^„ . ^ 0, d' où enfin

lEs—E^x 2s — Es 2E-^s—s 2E-^s—x

2Ex-E^s 2x-Es '2s-Ex ~ ^E^^x-x ' 2Ex-E"-x ^ 2x-Ex 2E-^x-x

Or cette dernière équation étant identique, on en conclut que log f^''^ ^\

est une différence complète, et que

" V x-Ax J J \ x-^x ~ -^ x-X-^xJ J \Ex-E\x

J. -^) + ...= /T-^^ ^) = log (x-Jx).

x-A-x/ J V x-Ax x-Ax / ° ^

Par rapport à £ on doit remarquer les relations suivantes:

E(f{>f)=,f{EC% E{JU) = J{EU), ^EU)=zE(:^^U), E"J'"U= J"'E"U, E''^r^U=^"'E''U.

^r=r+«^6^4-^(^z^2t-+-^i^dl(^^3t:,^tc (I)

E-U= r-nJU-\- "^";^) J"-U— "("+l)("+2) ^3^ ^^^ ^2)

£<ij'^U=J'^U-{-nJ'^+'U-{-^?^^~^J'^+^l7-\-etc (3)

^-„^mf/__^mf/y^^m+if/|^^.^m+af,-etç (4)

^'»£/ = £™Z7— miJ"-»C/+~Ç^^"-«i!7— etc (5)

^n^mj/.^Em+nt/-;^/7m+n-if7 p.^(^^£m+n-aj/etc (6)

jj-n^m[/__^m-n^-^^m-n-if/j.^!(^^gin-n-a^r g^g (7)

2. Rechercher si è^{e'^^ — 1) est une différence complète. On a ici f'{x)z=e\e^^—\\ f'{J,v) = e^.''e\ donc f'{x) — E-^Jf\/fx) __ ex(e^x 1) ^£;-i(gx+^x) . ^^(e^x i) ^^x - ^^ (e^/x i) — gx+z/x | ^x q,

donce^(e'^''-l) est une différence complète, et ^{€''{e/'''-'\))=:fdx .{E-^e't''e') z=fdx.é^ = e'^, ce qui est connu.

Considérons maintenant l'intégrale double ^U. Pour que cette intégrale soit exprimable, il faut que S U le soit de même. Donc d'abord les équations (C) doivent être satisfaites. Mais outre ces écjuations on en aura un nombre pareil (jui se trouve comme il suit. Soit U = f{x, Jx, J^x, ..y, Jy, J^y . .), on a, lorsque les équations (C) ont lieu;

+ 26Ax [E-V'(^^-»')— ^'E"T('^'-r) + ^^-^'"V'(A*J^) — etc.]

+ 25A'^j-[£- VC'^*-^)— '^-^"■•y'('^*-ï^) + • • • • etc.] + etc.

OU en faisant usage de la notation abrégée:

226 £/= 2[5j:. ç(Aj.-) + SAx. (p(A2x) + ÔA^x. ç(A3x) + . . .]

+ 2[83^ . 9(A^) + 8A^ . ^(A^^) + 5A*^ . <p(A3«^) + . . .] Or pour que toutes ces intégrales soient exprimables, on doit avoir, d'après ce qui précède, les équations de condition suivantes:

0 = ç(Ax) — ^-iAç(A2x) + i!;--A2cp(A3.r) — S-3A3<p(A*x)+ etc.

0 = cp(A2;) — E-ïA9(A2î,) + A'-2A2(p(A3^) — ^-SAXA*^) + etc. Substituant ici les valeurs de (f{^x\ cfiJ-x), (f{J^v) etc. on obtiendra: £-i/'(Ax) — ^E-'^f'{\"-x) + A2£-3/'(A3x) — ^^E-*f'{^'^x) + etc.

— àE-Y>(A-ix) + ^^^E-\fi^^s) — ^3E'*f'(^*s) + etc.

+ A*-ff-y (A^.»^) — A3^-V"'(A*j:) + etc.

— A*A'-Y'(A*x) + etc.

doue on ajoutant:

E-'f\Jx) — 2E-''Jf{J\v) + 2,E-^JJ'{J^x) — Œ-*J^f{J*x) + etc. = 0. On aura des équations semblables par rapport aux autres variables; et lorsque dans ces équations on met x-\-^x au lieu de x, on obtiendra outre les équations (C) celles-ci:

0=/'(Ax)— 2Ai!;-'/'(A2j:)+3A2B-2/'(A3x)— 4A3ig;-3/'(A*a:)+etc.^ 0 z=f'{ly) — 2lE-Y(^-y) + 3A2A'-V'(A'î/) - 4A3£-3/'(A*i/) + etc. l (D) 0 =/'(A=) — 2A£-'/'(A=:) + SA^^-y (A^a) — 4A3 7î;-5/'(A*ï) + etc. ) + etc.

Si r on veut de plus que .5"' U soit exprimable, il faut aux équations (C) et (D) encore ajouter les suivantes:

0 =/'(A2a-)— 3AJ5;-i/'(A3j) + 6A2£-2y'(A'*j-) 10A*£-3/'(A«J?)+ . . .\ 0 = f'(\^-y) — S\E-Y{\^y) + Gl^E'-^f'^l^y) — lO\^E-^f'{\^y) + • • • l (E) 0 = f'{\-z) — SAJB-y (^^s) + 6A2£-2/'(A4=) — 10A3 J5-3/'(A63) + . . . ) + etc.

Si l'on demande que S^U soit une intégrale complète, il faut aux équations de condition nécessaires pour que .ZT™"*?/ soit une intégrale complète ajouter les suivantes:

0 =/'(A'"-ij-)— flAB-i/ (A'"J')+ a'A2£-2/'(A'"+ia-)— «"A'-B-V(A'"+*a-) + etc.] 0 =/'(A'"-i^) — alE-]fi\'"y) + a'\^E-2f'{\'"+^y)—a"\^E-3f'(à'"+^y) + etc. \ (F) 0 =f'{\'"-^z) — a^E-^f'(^"•z) + a'A2JS:-2/'(A'»+J2) — c'A^jE-s/^A^+^z) + etc. ) où l'on a:

fn) m(m+l)(/n+2) . . . {m+n-l){m+Ti)

A l'aide de ces éqiiations on peut donc décider si une fonction de plusieurs variables et de leurs différences, est une différence complète d'un ordre quelconque. ,

Dp la fonction franscendante Si — j.

l^omme l'intégrale /—est la première fonction transcendante qui se présente dans le calcul intégral ordinaire, ainsi ^(~\ en est la première qui se présente dans le calcul inverse des différences, où elle est de la même importance que /— dans le calcul intégral ordinaire. A cause de l'analogie de ces

deux fonctions je désignerai JS" T — j par Lx, comme on désigne^ — par Ix.

Je commencerai par le développement de la fonction Lx en série. Supposons L{a-^x)=za-\-^x^Yx{x-l)-\-dx{x-\){x-^)-\-tx{x-l){x-2){x-d>) + Gic.{i)

En prenant la différence finie de part et d'autre, on aura

JL{a'\-x)=i—,Jx=\, Jx{x -i)=:2x, Jx{x -i){x-2)=i3x{x-l), etc. donc

-^=li-^2YX+3ôx{x—l)-{-Aéx{x—l){x—2)-\-5Cx{x—l){x—2){x—5) + etc.

En faisant ici .r=0, on obtiendra — = /5.

Prenant de nouveau les difiérences finies, on aura

j(J-^:=2Y-\-2.3ôx-\-5.A.ix{x—l)-\-(itc.

J''(.^) = 2.3d4-2.3A.ex-]-5A.5Cx{x~-i)-\-etc. \a+x /

^'f— ") =2. 3. 46 + 2.3.4. 5^^^ + etc.

etc.

et en faisant .r = 0, il viendia

" \aJ «+1 a «(«+])' ' ^ «(«+!)

lô

-. Hniic rî — 1

En sréaéral on aura

004 — / " — ^ ■'* donc t — 1 I

^•''•^* o(a+l)(fl+2) a(a+l)(«+2)(û+3) ' *— ï ' a(a+l)(a+2)(fl+3)

jj(>>)^^| — — ^ OÙ le signe -I- a lieu lorscnie n est impair

— Il fl(a+l)(a+2) . . . (a+7^-l) » 1 i r

et le signe — dans le cas contraire.

Pour trouver a ou peut faire ^-==0 dans la série supposée, ce qui donne a = La. En substituant les valeurs trouvées des coedlciens on obtiendra:

j , I . r i j^__ -rÇ-r-l) i J(J-1 )(j'-2) ■r(.r-l )( j-2)(j-3) , ,q,

^(«-f-')— ^«-h- 2«(fl+l)"^3a(«+l)(«+2) 4«(«+l)(a+2)(«+3) "^ *^ ' ' ^"^

Si dans cette formule on donne à x une valeur entière et positive quelconque, il est évident que la série ne contiendra qu'un nombre limité de termes; connaissant donc L{a), on connaîtra de même L{a-\-n), où n est un nombre entier positif, en ajoutant à L{fi) une fonction entière de a et de n. Faisant p. ex. .r=l, 2, etc. on aura.

e(a+l) ' a(«+l)(rt+2)' Donc si Ton connaît //(«) pour toutes les valeurs de a depuis a=l jusqu'à a =2, on pourra trouver L{a) pour toute autre valeur de a. La fonction Lx:=2^( — j contenant une constante arbitraire, on pourra pour une valeur donnée de a supposer une valeur quelconque de L{a). Nous ferons donc Z(l) = 0.

Supposant successivement «^1,2,3 etc. on en déduira: L{2) = Z(l) + i = 1, L{5) = 1 + i, 7.(4) = 1 -f ^ 4- ^ etc. ou bien L{1) = 0,UU0UU00O00 i(5) = 2,0833333333

jL{3) rr:: 1,5000000000 XC?) = 2,4500000000

Si dans l'équation (2) on fait «:=0 et x=l, on aura L{1) = L{0) + ^ , et à cause de X(1) = 0, il viendra Z(0)=— i = — oo. Mettant — a à la

place de a, on obtiendra L{—a)=L{—{a—l)) + — • H suit de cette expression que L{ — n) = — oo, pour toute valeur entière et positive de n.

On peut trouver un autre développement de la manière suivante: On a jLx=L(x+l) — Lx=~, et puisque L{.v-\-l) =Lx-{- L'x-\-lL"x

-j- L"'x -}- etc. il s' ensuit que

1 =L'x-^^L''x-\-^ L'-x-^etc.

De là on pourra sans peine tirer la valeur de L'x en x, et ensuite par intégration celle de Lx. En effet considérons en général la fonction f.v=^(px. On obtiendra de la même manière l'équation suivante:

^:,=f'a,-^^fx+J^f"'x+ ^^l^^r-'-^ + ^tc- Supposons qu'on ait:

f'x z=(px -{- ccfp'x -\- p(f"x -f- y?"'"-*^ + ^tc. on en tirera ^f'x = ^(ç'x -f- ^Mfx + y(f'"x + etc.

'r/"'^"= 2^<f'''^+.^«<P'"^+etc.

—f"''x= -J— a, "'a: 4- etc.

etc. etc.

En ajoutant et remarquant que f'-i-hU"^'^ -^T^f'"^ -|- • • ^ y^j on obtiendra

0 = («+i)9^'^ + (/^ + ^«+2-3)<y"^+(y + l/5 + .^«+^;^)r^r+etc.

donc a + ^=:0, ,^+^«+-J^ = 0,j' + |^+-^«+^:^=0, etc.

d'où l'on tire, « = — |-, 1^^=-^^, 7=0, (5=— 7^^, ^ = 0, etc. donc. f'x = (fX — ^(p'x-\--^^(p"x — ^^""a: + etc. et en intégrant: ^(fx =f(fxdx — |y ^ + tV^' '^' — rhô^'"^ + etc. Faisant maintenant cfx=i — , on a 2'(^ — ^ = Lx, f(pxdx=:lo^x

(p'x= — ,cp"'x=z '-r- etc. et par suite,

Z..r = .+ log..— 1--^+^,— etc.

Pour détenniner la constante c, soit a:=10, et on aura

Z(10) = r+log 10 — 5V — T2ÔXF + Tïïï^ïïïïîT — etc. <Voù l'on tire la valeur de r=0,577215664901 . . On obtiendra donc:

Z(x) = 0,577215664901 . . + log.r- A. 1 4. ^ etc.

Cette formule est très commode pour calculer la fonction L{x) lorsque x n'est pas trop petit.

Pour calculer L(.i) depuis x=l àx=2 on peut développer une formule convenable de la manière suivante: 0„a £(l + „) = J- + L + i + . .+ .+1

or en développant , - — , , etc. on trouvera

— etc.

Donc en désignant 1 + -^+ «„-"^~ atT'^" ' P^^ '^"^ ^" ^"'* Z(l + 0)) = 62W — S^m^+ S^a^— S^w* 4- .Ç«0j* — etc. ou bien L(l +co) = (S.^—i)io — {S^—l)oj-'-{.{S — l)(o^— . . .

or co — to* -I- fo' — . . = — , donc

L{l-\.m)=-^-{.{S — l)co-{S — l)m"-+{S-l)m^-etc (A)

(1) "F JL

Mettant — co à la place de a, il viendra :

Z(l — (o) = ^:^-— (^;— l)w — (^3— IK— (^4— l)ro^— etc. (B)

De plus ayant L{2 — cû)=L{i — m) -|- , on en tirera

Z(2— fo)=rl — (^2— l)cù — (^3— IK— (6;— l)oj'— etc (C)

On trouvera aussi sans peine la formule suivante:

i(l+.,„=^+^+(6-l-A),o-(.Vl-i>/-X«.-l-J,>--«C. Tome second. O

Je vais maintenant montrer l'application de cette fonction à la sommation des suites. Ayant Sqx = ~'(f{.v-\-l), on pourra sommer toutes les séries dont le terme général est cpx, lorsqu'on connaît ^cpx. Considérons d'abord la suite harmonique,

« i JL j- " L | " __ g /" g A p

b ~^ b + c ' b+'ic •"•••' 6+cvr \b+csJ

On a donc P= 2^(--—^ — j = a^(- Y Faisant ù-{-r-\-cx=cy^ on a

P=-^^(— )=r+— Z(y) = C+-^z(^^+:r). Pour déterminer C

soit a: = 0, ce qui donne P = -^, donc -^ =C-\- — /^r^—iîV et par suite:

Faisant p. ex. «=1, b=l, c=z2 on aura

Cherchons la somme de la série:

"ô "6+7 ■" "6+2c 6+:ic ' 1^ ■ ■ ■ "^ 6+2xe i+(2x+l)c ^'

Cette série étant égale à

fl 1^ a 1^ a 1^ 1^ « ( ^ 1 '^ i '^ l i ** \

T" '" b+'ic ~^ l)+ic'^"'~^l>+2xc V b+c ~^ 6+C+2C ' Â+c+ic "*" ' ' "^ 6+c+2j:cj

on aura tout de suite

r^ a , a j /b+'2c \ n , /è+2c"\ a a ^ /b+Sc . \ , a r /b+Sc\

^=0 +-27 ^(-^-^^7- 2.^(-2r)-6Tc- 2-c^(-2F-''^rTc^(-2r)

ou en réduisant

^=^676T7)+2^^(^)-2^^A-27) + 2^^(^+-")-2c^A-27+"-> En supposant .r infini, on aura L (-— \-a:)^L(-- — -\-.r) et par suite:

6 é+c "t" i+2c 6+:3c "*" 6+4c ~~ 6(6+c) ^ 2cl \ 2c J \ 2c )\

Faisant ici S=l et <'=1, on obtiendra

or iy(2)=l et 1 — 2^ + ^ — 5- + ---^^='og2, donc on en tire ce résultat remarquable

log 2=1 — ^i.(|), ou i.(|) = 2 — 2log2. Si l'on fait bz=i et c = 2, on aura

On sait que — : = s — \- — etc.

'■ siiiç 9 ç — - 9+t: ç — ÀTZ ç + àt: <p — 3;:

= ^etc. — ( -+ etc.)

or faisant bz^q, et c= — n, on obtiendra

et en faisjint è = ç-|-.T et r=7r

J î— 4--^ etc = -— ,^--+>-rz.(ii^-Zr-^)l donc

9+- ç+z+Tz ' 9+7U+27C (9i-7c)(9+27r) ' 2r L V 2tc \^ 2k /J