Z TT

sin9 9(tc-9) (9+tc)(9-i-2x) Soit q:=m:T, et l'on obliendra:

on tire de là en posant - - == ^ et remarquant que L{1 -)- a) z= L{x) -\

Z(l:^-)Z(.r) + Z.(| + .r)-Z.(|-.r) = -^; mettant ^-\-y an lieu de x, on aura

^(H u)+L{l-y)-Hh+y)-r^{^-y)=^^-

On a

cotang ç:=i-|- J-+ 1 | 1 |etc.+ J- + L + JL + etc. " ^ 9 ' 9+' ' 9+2tc ' 9+37C ' ' 9-z ' 9-2;: ' z^-'àr. '

donc faisant successivement b=(p, c=7t et b=z(f, c=z — jr, et remarquant que I-j (^^+ x\ — L T-?— ^ -|- a: j = 0 pour x=.oo, on aura

Si Ton fait (fz=nx, on obtiendra

cot nx = -i- (L{1 — .r) — i.(l+.r)) + -— ;

«'*»»*-' Z(l — x) —L{i-\- .1) = .T cot Tia- ~,

et à cause de L{1 -\- x) =: /^{x) -\ -,

L(l — .r) — L{x) = ,T . cot 7TX.

Substituant cette valeur dans l'étpiation ci-dessus

2tc

, il viendra

M^ + ^) Mh X) = —r^ ÎT COt X7T.

d'où en réduisant

A l'aide de cette formule on peut, lorsque les valeurs de L{x) sont connues depuis a-=l jusqu'à a=1, 5, trouver les valeurs de L{x) pour toute autre valeur de x.

Pour faire usage des formules (A), (B), (C) il faut connaître les valeurs de S^ , S^ etc. Celles-ci se trouvent calculées dans Euleri Cale. Diff. page 436. En substituant ces valeurs on aura.

Z(l + w) = Y^^— + uio — «jOJ- 4- «ato' — tVjW^ + • • •

2/(2+0))= 1 + aco — «jfo^-j-WjOi' — a^(ù*+.. .

où «, «j, «29 "3' ^^^- ^^^ '^^ valeurs suivantes:

«, =0,00049 41886 04109 4 «jy = 0,00024 60865 53308 0 «,^ = 0,00012 27233 47585 7 (,j3 = 0,00006 12481 35058 7 «j3 = 0,00003 05882 36307 0 „j^ = 0,00001 52822 59408 6

«^ = 0,00200 83928 26082 2 Calculons p. ex. L{2 + oj) et Z(l-|-co) pour ra = 0,01

a . to = 0,006449340668 «, . «"■' = 0,000020205690 «2 . 0)' = 0,000000082323 u^. o,* = 0,000000000369

Si Ion (levait construire une table sur les valeurs de la fonction />(.»■) p. ex. de millième à millième, on poserait successivement w:= 0,001, oj=rO,002, «=0,003 etc. dans les formules ci-dessus; mais il serait moins laborieux de déduire ces valeurs l'une de l'autre. Pour cet effet mettons w-|- 0,001 à la place de a, et nous aurons l'expression suivante: Z(2-(w-fO,001)) = Z<(:2-fo) — (« . 0,001 + «i. 0,000001 + «2-0,000000001 + ...)

— «^(«3. 0,004 + «4. 0,0000 10 + «5. 0,000000020 + ...) Substituant les valeurs de «, «j, (i„ etc. on en peut tirer la valeur de

L(2 — (co + 0,001)) — Z/(2 — cù) = JL{2 — w). De la même manière on pourra développer J^L{2 — w), J^L{2 — oi) etc. et à l'aide de ces différences il sera facile de construire une table sur les valeurs de la fonction L{x). Dans ce calcul il faut avoir soiii de donner à w des valeurs assez petites, ce qui est bien à remarquer. Je vais faire voir une application importante d'une telle table. Cette application consiste en ce qu'on pourra pai* son moyen, très facilement construire une table sur la fonction

logl + log2 + log3 + ... + log(.i-— l) = log(l.2.3...(.r— l)) = log/>. En effet on a Z(.r)= v(i), àoucJ'Lxdx =J'cdx -\- :>:f^ = Cx-{- S\o^x

= r.r+logr.r: donc \o<^rx=J'L{x)dx — Cx, et de là (^^^If\=L{x)—C

Soit pour abréger \o^rxz=P, d'où - = Z(.r) — C: or d'après un théorème connu on a

Cette expression donne L{x) en P ou log/i-; on peut en tirer la valeur de JP exprimée en L{x). Or on voit aisément qu'on peut poser

~ = L{x)-C-\-a.JLx-^€i'.J''Lx-\-(f.J^Lx-\-a"'.J^Lx-{-etc. d'où l'on tire

— ^JLx — la . J-Lx — yi'J^Lx — \tC'J^Lx — etc.

+ \J''Lx + \aJ^Lx + \a'J^Lx + etc.

— \J^Lx — laJ*Lx — etc.

+ i-J*Lx + etc.

\-P Aj

etc. etc.

La somme des premiers membres de ces équations étant égale à Lx — 6', on en tire, fl=i, «' = ,]-« — !, a»=\(C — \a-\-l, «"'=^«" — |«' + |o — 1^ etc. d'où on déduit, a = ^, «' = — -J^^, «"=^1^, «'"= — ^'^V Substituant ces valeurs on obtiendra:

JP=^/l{^Q^rx)={Lx-C) Jx-{-\JLx.Jx—^^J''Lx.Jx-\-^^.PLx.Jx—^^^J''Lx.Jx-{-eic.

Pour déterminer la constante C, soit x:^\ et Jxz=\., et l'on aura

z/(log r^i) = log 12 — log /'l = 0 , de plus L{x) = Z.(l) = 0 , JLx = i ,

z/2Z,;r=— 1, ../'Z.r=l...^"iv.r = tll^; donc

C=z^+2V+7V+- - = 0,577215664901 et conséqnemment.

logr(x+ ./.r)=log/:T — J'.r (0,5772156 . . — Lx—\JLx-{--^^J"Lx — ^^.PLx-\- . .) Si Ton pose Jx = 0,001, on aura log r{x -f 0,00 1) = log r.i; — 0,00057721 56 . . + ^ J^^( Lx -\- ^JLx — -^^ J-'Lx + . . .) 3Iettant 2 — co au lieu de x, on aura logr(2-w-0,001)=:logr(2-«)+0,0005772156..--i-yV()(^(2-f") + l-^^(2-«) + etc.) La fonction L{x) peut aussi s'exprimer par une intégrale définie. Si dans la formule (2) ou pose a=\, et ensuite x=^tt, on aura:

Ml+«) — «— ^-2 f"3-"^2 . 3 ï" 2.3.4 '

Considérons le développement de (1 — xf.

On a (1 - ..)• = 1 - ax + ^ ^.. i^ÇlKf^ .^.3 + etc.

on tire de la

multipliant par dx et intégrant, il vient

,„g./il^.,,.,=C+,„l.îi^)..--+l.!fcIfc5..-etc.=/i^

Prenant l'intégrale depuis a:r=0 jusqu'à xz=l on aura

, «(«-!) , 1 «(«-!) («-2) i »(g-l)(a-2)(«-3) , ^ pn-{}-^Y\ fi^.

" ^2 """â 2.3 f 2.3.4~'" t/oV X /'■

Or cette série est, en vertu de ce «jui précède, égale à L{l-\-a), on a donc

IMettant 1 — x au lieu de x il vient

Mettant de plus .r" au lieu de .r, on aura

L(\-\-a) = a' / xKufu; où l'on suppose rt'>0.

Posant an' = m, il vient

Cette expression conduit à ce théorème remarquable.

Théorème. "Lorscpie y est une quantité rationnelle quelconque, la fonc- "tion L{ij) peut toujours s'exprimer par des fonctions algébriques, logaritbmi- "ques et cii'culaires."

En effet ayant