Tome second

P= rQ +Q^.

La forme de ces équations donne lieu à exprimer la quantité -^ par

traction continue.

En effet il est aisé de voir qu'on a:

une

2t)„-, On a donc P et )P en transformant cette fraction en fraction ordinaire.

De cette expression on peut aussi déduire la valeur de ]^^ en fraction continue. En effet en posant n infini on a — ^ = V^/?, donc

YR = r+-^ 1

, '^ lv^+ in tnf.

Dans le cas où l'équation P- — Q"B = 1 est résoluble, cette fraction prend une forme remarquable, car elle devient dans ce cas périodique; d'où il est aisé de se convaincre par ce qu'on a vu précédemment.

On voit aussi que si Q est du degré n, les quantités v, v^, v^, i\ etc. sont du premier degré, excepté

qui sont toutes du second degré. En eflet

Vn = *'3,.+2 = . . . = *'(2t+l)n4-2fc =

*'2n+l ^ fin+S = • • • ^=- Vlkit+2k-l = ''•

58. Je vais maintenant déterminer les quantités /%, «„, *„ et /•,„ pour toute valeur de ?n.

Soit pour cela

r,„ = X- -\- ax-^ h„,

"^m '^iii "l Pm^

a est le même pour toute valeur de m, ce qu'il est aisé de voir. En substituant ces valeurs de r„, s„, et /•„ dans les équations (I), (2) et (3), on aura:

x'^ -\-ax-\- h,^ = (r,„ + p,„x){(j^ -\- x) . \- "m-

De ces équations on tire sans peine: