ÎÎO-J

Ayant /?„ on a

aussi t

'm-, car

Reprenons maintenant l'équation

\p'^ + (ap — 2c)9„i — ç„2 . 92^ ,

On peut par cette équation déterminer q^ si l'on connaît q et q^. Clierclious donc d'abord ces quantités.

On a q„,z=b — b^, donc q^b — è = Oj et q^ = b — b^. Maintenant on a

donc en faisant m = 1

donc ,,=2[*-«.^+(^y] = 2J^^— ^-'

Déterminons maintenant q„,.

On voit que q^ est une fonction rationnelle fractionnaire de a, b, c et /y.

Soit donc ç™ = ^

^„, et c„. étant deux fonctions entières des quantités a, h, c et p. En substituant cette valeur on aura:

Donc on aura

^m = ^P"^ • -m-2 • i^m-1 + («/> 2c) .2/™-l . 2„1 . î„2 ym-2 • J/'n,- 1 •

Par ces équations on déterminera sans peine z^ et 7/,„ par des substitutions successives.

De la première équation on tire

donc 22a = y^oi-i • y V-3 • y'^2%-5 . ..y\.z^,

22a+i = y 2a • y 2a-2 • y'ï'x-i • • • ^a' deux équations qui donnent c,„ par y^, y^, . . .y„,-i-

Développons les valeurs de quelques-unes des quantités z, :^, z.-,, etc.

.'A y^^ y^ etc.

En faisant m = 2, 3 etc. ou aura

z, = A{bp' - «f/. + ^"-f

2/2 = hP^ +2{ap — 2c) .p^ibp'' — acp + v^)

2/3 = Iv'-x-^X + («/^ — 2'') ■y-i^^^'^—y^yl

etc.

Lorsque c = 0 ces valeui'S se simplifient beaucoup, et on aura alors

'^=yl = hr{p + ^<ibf Vz = hP'-l + f^py^ • -2 — ^hl

♦4 = ^^-yl = bY(w,' — p{p + ^ah)y 3^4 = s/»* • -2 • -3 + "py^ ■ -3 • >2 — y^-yl

y^— UYip -\- Aaù) ((p + 2ab) {p + Aab) — 86') etc.

Au lieu de faire r = 0, supposons maintenant ap — 2c = 0, et on aura :

Si l'on fait ?h = 2, 3, 4 etc. on aura : o — àPL

^* q^- •iqc-i:iq,^-p-^y- '

1^ 8q,Hp-^-g->y

GO. Appliquons maintenant ce qui précède à l'intégrale

f (j + k)ds

Pour rendre les résultats plus simples, je fais r = 0, ce qui est permis, comme on le voit aisément.

On a f___{^±m^^__ ^ 1 . ,„„. (P±qvR\

J i/[(j:2 + ax + hy- ^px'] Un + 4 * V P— Q/ZÎ /

OU bien puisque P* — Q'^R = 1,

Pour que cette équation soit possible, il faut avant tout que

donc on aura pour condition de l'intégrabilité :

s„ = à une quantité constante.

Or on a *„ ^ c„ -j- p„x.

11 faut donc que pn = 0.

Si cette condition est remplie, on peut toujours déterminer k de la manière que f---S^±ïlÉl devienne égale à ^— • log (P + QVR)

Cherchons cette valeur de k.

On a vu qu'en faisant

k est égal à ~ — î^ (No. 47).

11 s'agit donc de trouver

On a P = vQ -\-Q^

Pi P'2

Qn-l = {■r+ffn-l)Qn

Q,^ z= const.

d'où l'on tire sans peine :

P Pi Pz Pa P"-'

P Pi P'2. PZ P'-'

Maintenant on a:

"■" ■ e(").jr" + e ("-'). J""' + .. . '

donc

donc e("> . k + é?("-^> = 2A.{n + \).fi^+^)= !l^ . f(«+^) ;

or /■("+») = <?<"-!) + «.e(») (No. 50)

donc c(-) . ^ + e("-V) = ^'±1 . pC'-i) 4- Zi±i . « . e(n)

j j n+l 1 eC-i) donc K = .a • ,

« + 2 « + 2 eW '

et par suite k= ^^ « — -l-^{g^g^-\-g^^ ...^g„^).

On peut aussi exprimer k d'une autre manière.

On a g^=:a —; donc en substituant et remarquant que c„i = c = 0,

71 + 2 ' n + 'À\p^ P-i Pi P-'. '