Soit w
On a «^3 ^ 0, donc p"^ -\- Aabp = 16l>^, d'où l'on tire p = — 2b(a ± Via" + 46))
j^ ^ li92. 3^ 9j1 ^ i^ ^ 1 C« q: ^(„2 | 4j)V Pi P P P ^^
donc À: = 1- (I G + ^ j/(e* + 4è)).
On aura doue
J V[(j2+«x+i)2— 26(a+v/(a2+4rt))j:] ^ * *■ ^^*^ '
Nous avons supposé dans ces exemples c = 0, mais il est clair qu^on obtiendra les intégrales les plus générales en mettant x -\- a au lieu de x, a étant
une quantité indéterminée.
Problème IF'"'.
— • „ qui peuvent s'exprimer par la
{ P + Q\/R\ fonction logarithmique A.log l -jj a / n ) '
63. Ce problème est dans le fond un cas particulier du problème II"', mais comme sa résolution est très importante dans la théorie des fonctions elliptiques, je veux en donner une autre au moyen du problème précédent.
Soit
J vR' ~ '^KP-qwR'^
l'intégrale la plus générale qu'on puisse exprimer par l'expression
En substituant au lieu de y, on aura
en faisant k = l -{- — - .
On a de même dy = ■
{x + /)* Soit
R' = iy' + ay + bf + c + py, on aura
dODC
yji, __ •[(i + a(j+/) + *cx + lyy + p{x + /)» + c{x +0*1 ^A
Désignons par — — ^ ,^ ce que deviendra -= ^ ■ en substituant
au lieu de y, ou aura:
^, fix+k)dx -J, lo^l^^-^gZ-gy ^ J (x + lWR — "^-'"'VP-Q//?/'
ou, en faisant —z=A,
J jc + l VR '°\P—Q^/r)
VR "VP— Qy/iî-
Cette intégrale est maintenant l'intégrale cherchée la plus générale, ce qu'il est aisé de voir.
11 faut maintenant déterminer l.
On a
i2 z= (1 + (:r + /)« + {X + Ifb)- + p{x + If + r(.r + If, c'ést-à-dire /?=:! + 2a{x + /) + («^ + U){x + /)'^ + (2a^. +i,){x + /)' + (6^ + r)(a- + If,
ou /2 = (6* + f ) {x* + (5a-* + yar'' + (Sx + «)
où ,y = (4(//' + r)./ H- 2«6 + ;j): (//'+f)
- }' = (6{lr + r) . P + 3(2«6 +/>)/ 4- «^ + 26) : (/>"" + r)
,;? = (4(6- -f r) . /' + 3(2ab -\-p)P + 2(«- + 2ù)l + 2«) : (//' + r) « = ( (6^ + ^)./*+ {2ab-\-p)P-{- {fp-\-2b)P-{-2al+i): {b^ + c). De ces équations on tire:
2ab-\- p = {b^-^c){iy — 40 a''-\-2b = ib^-^c){y —5dl-{- 6/')
2«r = (6" + c) (p' — 2;/+ 5ÔP — AP) l = (6^ + r)(«- ,:?/+ yP-ÔP + Py,
d'où, en faisant
on tire : a — ^ .
«'=,«— ,?Z+ j'/'^ (57» + /■ ^S' = i^ — 2rl-\-5ôP—4P
y'=zy — 5dl-\-6P ô'=d — Al, 1 P'
a' T Va' ï a'^/
^ a' ^* a'Va' ï" a'^ A
En substituant maintenant ces valeurs de a, b, c et p dans l'équation qui exprime la relation qui a lieu entre ces quantités, on aura une équation entre /, u, jj, y et (5, d'où l'on tirera la valeur de /.
On aura donc enfin
De cette équation on tire ensuite
d'où
(x + Z)/^ l — k'JvR l — k ' ^^\P—Q^rJ'
et de cette manière on obtiendra toutes les intégrales de la forme
/' dx (x + l)\/R
/dx — — et la fonction logarithmique y' R
En mettant — /au lieu de /, on aura
f dx 1 fdx . 4V{h^ + c) lo^/'j^^Q/^^
J {x — l)v^R l+k'J \/R~^ l-\-k ' ^\P—q\/RJ'
ou bien, comme on a vu No. 4d,
f dx 1 d'Jx 1 1 /P+g/^\
J {x — l)^R l+k'J VR (2«+4)i/(a+pZ+Yi2+5/3+/4)- *VP— Q/^/"
Si l'on suppose A: -f- / = — - = oo, ou k' ■= 0, on aura
Prenons un exemple.
On a No. 52
^ v/[-r* + 2x3— 3x2 — a'(x— 1)] «. '^XP'—q^R'J
Soit a: = , on aura
xdx
dy
iy-iy
ff l+2(y-/)-3(y-/p-a'(y-/p + a'(y-0"
donc R^{t±}y^lJyl±M±A
(y-O* d'où l'on tire , â=z — 1 — 41
y = (— 3 H- Zu'l + 6u'e) : «'
En faisant / = 0 on aura
f ^-1 = - i loo- (l±3}^\
or P' =: ^-3 ^ 3^2 £ a ^ jp, ^ ^ j 2 .
donc P = 1 + 3j: — (2 4- .^)^', jy = 1 4- 2a;.
Dans le problème troisième j'ai donné une méthode de trouver toutes les intégrales de la forme/ t^— qui peuvent être exprimées par la fonction
logarithmique ^•log(^^^^ j. Dans la suite de la théorie des transcendantes elliptiques je montrerai comment on peut trouver une infinité d'autres intégrales de la même forme, intégrahles par d'autres fonctions logarithmiques qui sont toutes composées de termes de la forme A . log ( — + (tv^\ comme nous avons vu à la tète de ce chapitre.
