CHAPITRE III
Sur une relation remarquable qui existe entre plusieurs intégrales de la forme
/dx i* xdx à'x-^dx /• dx
VR ' J VR ' J VR ^ J{x — a)\/R ■
64. Nous avons vu dans le chapitre précédent qu'il est en général irapossible d'exprimer l'intégrale j- ^ — - par les intégrales f^~ , /!f^
J{x—a)y/R *^ '^ J V R J VR
/x'^dx — — - : néanmoins si l'on prend cette intégrale entre des limites convenables
il est toujours possible d'exprimer l'intégrale / ^ par les trois intésrra-
les ci-dessus. Ces limites sont, comme on le verra, les valeurs de x qui rendent R^O.
Soit P=f- -
^ J {x — a)VIt
En différentiant p par rapport à « on aura
dp^ /* dx
da J {x—aYVR '
C dx . '
Maintenant on a vu dans le premier chapitre que Ê-, — — est toujours re-
•/ [x — ay^ \/ JC
/> ffj.
En effet on a No. 15
— , ^^^ +const.
{x — a) .fa
OÙ A = — t(r — :^da, B = :^â, C' = f, R = fx.
Donc en substituant pour /^^ ^\ ^„ et f- "^^ .„ leurs valeurs, ^ et
dp
-^, et prenant les intégrales de manière qu'elles s'évanouissent lorsque a; =?', da
r étant une valeur de x qui rend R^O = fx, on aura :
da ' ^ fa ^ {a — x).fa~faJv{fx)^ ^ ^ '
Cette équation devient intégrable en la multipliant par ]/(/«).</«; car on a alors
En intégrant on aura
,.K,/-„),/,A).yi,^i;L =/^/^, (^ + a.+ cv,+c„„s..
Si on prend l'intégrale do a = r, on a const. = 0,
on remarquant que A -\- Bx -\- Cx^ = | dx -\- tx"^ — (^ àa -\- ta-).
Maintenant on a
Jv{fa)Jv{f^r^ ^ ^ '
Donc en substituant cette valeur et remettant la valeur de p on aura l'équation suivante :
>"(^«) -fix-aUf^) - ^^f^^/ia-xWifa)
y* da r{^hx+e.x^)dx /* dx fj^ha + &a^)da ,.
et l/^f fx) . / ; '■!*,.. exprimée par Jes intégrales de la forme i—r~r et
^' ' J (a—x)^/{fa) ^ " •'V(fy)
I ^/r^M ^ ' ' ^^ 1"* ^'^^^ ^'^^^ remarquable.
. ., , . de a: = r
à a: = r', r' étant une autre valeur qui rend fx = 0. On a donc dans ce cas '^^'^''!/^ {^-a)V{fs)~JrV(N)Jr v/(/r) Jr V(/r)J' V^(/«) ^' ^
par des intégrales de la forme f—^— et f^y±!^É)^ ce qui est très important dans la théorie des transcendantes elliptiques.
Soit r" une troisième valeur qui rend fx = 0, et supposons a = r", on
aura fa = 0 et
y.'-" da p »•' (^5j + is'^)dx /»>-' dx p '■' {^ha + ta^)da ,.
r VïM'Jr TCÂ) —Jr VU^ ' J r V {fa) ' " " ^''^
une équation qui exprime une relation entre quatre intégrales définies.
Supposons dans l'équation («) que x ait une telle valeur que l'intégrale j- " puisse être exprimée par des intégrales de la forme f—n-pr et
-j-TT^-r- , et soit
/' ^" f{A+Ba)da , ^,
J {a-x)v(fa) J V{fa) "•" w étant une fonction logarithmique.
En substituant cette valeur on aura
\ P fia /*" {^hx+tJ:^).dx p<i> dx p (^ha+ia-)da
•JrVW)'Jr ' Vifs) Jr V{Â)'J r Vif»)
Les intégrales sont prises depuis x = 7' jusqu'à x = w, lo étant une telle valeur que
/da ^fiJ+Ba).da , ^^,
(«-o)/(/a) J V{fa) "^ Supposons de plus qu'on donne à a une telle valeur o r= w' qui rend f dx ^r{A' + B'x).dx I ^^,,
J(x o')v/(/x) J VU's) ^
