Tome second

w' étant une fonction logarithmique, on aura

"^y^- V(fa)Jr Vifs) Jr VÏM'Jr V ifo)

65. On peut trouver une relation encore plus générale entre plusieurs intégrales définies de la manière suivante.

Soit s une fonction logarithmique quelconque de la forme

En prenant la différentielle de cette expression on a, suivant ce qu'on a vu précédemment, un résultat de la forme :

ds = -%(B + Ca,-\--^ + -J^ + -Jl^ + . .. etc.);

donc en intégrant

J \ VR ^ ' J (x — (,)^Jt ' J (x — a')s/R ' Prenant ensuite l'intégrale depuis .r =: r jusqu'à x =rz r', on a s' — s= r''iB+Cx)dx

Jr Vifs)

"*" Vifa)\Jr'Vifâ)'Jr VU^) Jr 'VWi'Jr' VW) ^

I Ij' / /» da' /»'■' (^8x+ £x2)rfx /•'" </x /» (j8a' + £a'')rfg' \

"^ Vifa')\Jr^{fa')Jr 7(Â) Jr 'VïMjr VifiÔ ^

-}- etc.

ou bien

Jr Vifs)

/«'^ dx / L n{^ha + za'^)da . L /^(^ha'+ta"^)da' , \

Jr Vifs)'\VUâ)Jr Vïfâ) ^ Vifa')Jr Vifl') "^ V

"^J- v/(A) A ^ (/«) J. v'C/a) "^ v/O') Jr v/(/«') "^ ■ ■ ■ V

Toutes les intégrales qui se trouvent dans cette formule, sont, comme on le voit, de la forme

r dy f ydy . fj^dy

J Vify) ' J Vify) J Vi

Vif y) ' J Vif y) J Vify) ' et l'équation exprime par conséquent une relation très générale entre un sy-

stème d'intégrales de cette forme.

Réduction de l'intégrale / ~ à la forme

/(sin'9).rf9

\/(l— c^.siii^cp) Voyez Legendre Exercices de cale. int.

Réduction de Vintéqrale / — •f^"'" V' ^^ •. aux !"téffrale.f J^l , fdcp.V{l-c\ sin» et/- '^^

V/(1 — c-siii2ç)' -^ ^ '^ ^ ^' ./ (l+w.sin2ç)v/(l— c2sin«9)

Voyez Legendre Exercises de cale. ittt.

Comparaison des transcendantes elliptiques. Voyez Legendre Exercises de cale. int.

Evaluation des transcendantes elliptiques par approximation.

Voyez Legendre Exercices de cale. int.

(Ici l'auteur a laissé une feuille blanche dans son cahier pour marquer une lacune, qu'il s'était proposé de remplir; puis il continue comme il suit.

Note de l'éditeur.)

Réduction des transcendantes elliptiques du troisième espèce par rapport au paramètre.

Considérons l'expression

arc tangf ' ^j = .y,

en la différentiant on aura

r P.^/R\ j f dR R(QdP — PdQ)