Q ) ^"Q ■ VR "*■ Q--.VR

ds

nu bien

1 ^ ^' ds ' "\^' ds " ' ds J ds M ds

Q^ + P'^R y/R N VR

Soit Q'^^p\R = k{l.^ nx^)(l + 7i^xy

P=:l et Q = xia-^ bx-).

En substituant on aura

x\a-\-bx''y + (1 — j;-)(l — f^a:*) = A-(l + wa:")(l + «^;r')'

En faisant x= 1 et x = — on aura

(« + 6f = A-(l +«)(! + »,)' d'où l'on tire

donc b(l-±) = [il-\-n,)Vil+v)^r(l + ^)|/(l + ^)]Vk

On a de même

b^ = kn.n^

h = Wj]/?« . ]/A:.

En substituant cette valeur on a

ou nl—{l—c'')Vn—c^V{i^n)+V{c''+'»))='^W{^+n)—Y{c-'+n)) ;

donc 7? = c^[v/(l + 7»)-v/(e^ + /0]

^ — (1 — c2)v/« — c'V(l + ")+ v'Cc^+w) ' ou bien en multipliant en haut et en bas par }^ii-\-n)-\-Y(r'^-\-n) et en

réduisant

w— /«.v^(«+l)+v/[(l + n)(c2+K)]— ^/[«(cï+w)] c'est-à-dire

1 [v/«— v/(l + «)].[/«— /(«* + «)] et en multipliant en haut et en bas par (]/« +>^(1 + ^'))(K'* + Kk^ + ^O)» on aura w^ := (l/(l + ??) + l/^w) (l/r^ -f ?i) -f ]/»)'

ou enfin «, = . .[|/(l + 1) + l] []/(l + v) + ^1 "

On a A:=:l^ donc è=iz/;j^|/w, a = (1 -(- wjl/(l + ?/) — Wj^/?.

On trouvera de même o = -^.(^{c"^ -\~ «i)K(t* + ") — ^'iK'O-

Cherchons maintenant la valeur de 3f.

On a jP* + /? = (1 -j nx^) (1 + 7i,x^y -

(loue ca (litrérpnti.int

^QtfQ + <fR = 2(1 + Wi*-^)((1 + nx^)2n,x + (1 + n,x'')nx).dx

doii 2(> . ^ + ~ = 2(1 + «1^-") (2w, + ?^ + 3w«i.r^) . x.

En multipliant par Q et substituant pour Q"^ sa valeur (l-j-W'^''*)(l+Wja:'')^ — /» on obtiendra

2{].+nx^){i+n,x'')\ ^—m.^ + Q^ =2Q{i-^n,x-'){2»,+n+^nn,x-'),x.

Maintenant on a

donc

= (1 + "x-^") ((2"i + n + 3nn,x^)xQ — ( 1 + n:i;»)(l + n,x'). ^) .

Or iP = «fj; + bx^, donc --^ = o + 3i:r''.

On tire de là

M= (1 + Wiar^)[(2w»i« — (w, + 2»)*) ••*•■* + (Wi« — 3A).r* — «]. Donc

M [2«Hta — (»t +2«)6].x^* + (?^,g— 3ft).j'' — g

l + Tij;^ l+7^,

OÙ l'on trouvera

L— -* 2a = Vn — 2a.

On aura par conséquent arctang(v^) = [2«-(l + |->].^+(^-«>^('')+(^'^-2«)-^K);

donc

/l 2\ n(«)= , ^" .arctg/:^)-^"~^^"'^^^F+ (2a -//>)/" ^., )

yn

On trouvera

2av/« — (2«i+w) [» + 2v/(l + w)v/(cg + «)]

2nT 2»! — av/« «^ 4- v/(l +n)\/(c* + n)

Donc on aura

i7(«)= -^^^ . arc tg/-^) + ?^ï^^=^^ . /^+ ^^^

Où «X = ± (K(» + 1) ± K«) (/(« +^') ± K«) = A«)

a = («, + \)V{n + 1) + ?iiK« = %{n\

Ou bien en faisant pour abréger

-h^ , = a = (lUi)

2nj^ + a\/n ^^ '

2ni + a/M ' ^ '

-=ï=-^^ — ^r- — ^-^^ — = y = mn) et C =. — - — - ,

— 7r — /■ Soit maintenant

on aura de la même manière

n{n,) = p,F+ r,rJ{n,) — a, arctang (Jhf±hfL) .

En dérivant les quantités W3, a,, /^j, y^, «j» ^2 "^^ '^ même manière, on aura /7K) = ^,F+ r,/7(«3) - a, arctang (^5f±^) . etc.

En faisant des substitutions successives on aura donc:

n(n) = (/S + fi^r + ^îJTi + /*,m;'2 + • • • + ^^-irrj^ • • • r^^)F + rrir^r^---rrr,-i.n{n„) — «.arctg.(i^±^!l^)

«.y-arctg^i-!— ^— ?-j

— «2^ aictg. y \/jt ) etc.

— «»-i . rrir^r, ■ • • ;'m-2 • arc tg. (^-î^ — -^ — '—^ .

Considérons maintenant la loi que suivent les quantités 7i, n^. n^ etc. w, a les quatre valeurs suivantes: