V(7i + 1) + l/?^) (K('' + c^) - Vn

4. 71, = - (Vin + 1) - Vn) (Vin + r^) + Vn). Soit d'abord w^ = (]/(« + 1) + K«) (l/"!// + c-) + K^) ;

on voit aisément que ?/j > 4m, car comme >^(/i -j- 1) > Vn et |'^(n + e*) > V» on a w^ > (!/"« + Vn) (/« + K«),

c'est-à-diré 7i, > 4«,

de même «.^ > 4wi > 4'/?

On peut donc faire en sorte que «,„ devienne tiussi grand qu'on le voudra. D'où il suit qu'on peut exprimer la fonction //(«) par la fonction /?(//„) dans laquelle w„ est plus grand qu'un nombre donné quelconque.

Considérons maintenant les quantités a, b, ce, i^^ etc.

On a 6 = fiiVn- b est donc positif et très grand, si n est grand. La valeur de a est

a ==K + !)]/(« + l)-;^Kn, d'où Ton voit sans difficulté que a croit en même temps que n et que par suite les quantités a, a^, a^, etc. vont en croissant.

On a de même

2/z, — a.-i.\/(w»i) En substituant les valeurs de ??„ et de a^i en w„i on verra que «„,! est une

très petite quantité de l'ordre — ^ r- •

On a

d'où l'on voit sans peine que (i est toujours contenu entre les limites — 1 et — 1^, et que la série des valeurs de /î tend continuellement vers la dernière limite, lorsque n est positif.

Enfin on a

En différentiant la valeur de y par rapport à m on verra que -~ est toujours

positif, lorsque n est positif On conclut de là que la suite des valeurs de y tend continuellement vers la limite 1 en croissant.

Considérons maintenant la seconde formule

n, = {Vin + 1) — Vn) (V{n + ç') — Vn). Supposons d'abord que n soit très grand; alors on a

donc n, = ~ —

Donc à mesure que /* devient plus grand n^ devient plus petit, si n est plus grand que l'unité. La même chose a lieu si n est moindre que l'unité, d'où l'on peut se convaincre aisément en différentiant la valeur de n^, car on trouve

donc, la différentielle étant négative, il est clair que ii^ croît si n diminue, et réciproquement.

Cherchons maintenant si la série des quantités n, w, , w„, etc. aune limite. Si elle en a une, cette limite est la valeur que reçoit n en faisant n^ = n. Soit k cette valeur, on aura

k = {Vik + 1) - Vk) {V{k + e^) — Vk).

Faisons it ^=k-\- «, on a

donc w, = ^ — 1 (—^^ -\ 7^^^^) . « + etc.

inaiQtenant 1 ( — X- — - -J — —-^ ) < 1 ;

donc Wj — k <i «.

Donc «1 diffère moins de k que n; donc A- est la limite des quatités w, «,,

7/g, etc.

On peut donc réduire /7(w) à la fonction //(«,„), où ?/,„ diffère de k d'iiiie quantité aussi petite qu'on le voudra. La fonction n{k) peut s'exprimer par la fonction F et des logarithmes, car on a:

(l-;0./7(A-)=p'F-«.arctang(i^L±^)

b = — iiyn = — k\ a = {k-\- if + k\

^ /2a + 3x/h\ '2a + Vk

^ V a+'lVkh ^ a+'ly/k '

donc

A- est déterminé par l'équation

k = {V{k + 1) - Vk) {V{k + .-) — 1/A-). Considérons maintenant la troisième formule:

"i = - (I '(" + 1) + Vn) {Vin + c") - Vn) «j est donc toujours négatif.

En différentiant on aura :

du, = — X II, l — ) . du

l'accroissement de >/^ est donc positif.

Soit d'abord n très grand; on a alors

„, = -2Vn{^^) = -c\

Donc lorsque 7i est très grand, w^ est très peu différent de — r*, qui est aussi la plus petite valeur que puisse recevoir 7i^. La plus grande est — c, qu'on obtient en faisant « = 0. Toutes les valeurs de Wj sont donc renfermées entre — f ^ et — c.