J \ = al -.x^^dx, lorsque o

1 + — ) = « / — J — —.x^-'âx lorsque «<0

/j.m l — - — — x^'dx, pour des valeurs entières de m et

de a, est intégrable par des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires.

Or 1 -[- — peut, pour des valeurs entières de m et de a signifier une quantité

rationnelle quelconque: donc le théorème énoncé est démontré.

Soit 7w=l et«=2; on aura Z(l +1)=2 /"-:^=:2 — 2 log 2, ce que

«y ol+j o ^

nous avons trouvé plus haut par un procédé différent.

Soit ;« = 1 et « = 3: on aura Ln-{.\) = ^ T^^^ =3 — 3 P-^"^^ d'où l'on tire Z(l + i)=3 — | log 3— ~^^^K

Revenons à l'expression générale ZM -|-— jr=«/ '^"'~ — . .r^'.-V/.r. Or l'intégrale / "^^ .x^'dx se divise en deux parties, savoir,

Il reste donc à trouver 1 intégrale / — . dx.

^^ j^m+a— 1 j^TTï— 1

Un a = x^~^ -j : et par conséquent

Oi- on peut supposer m<a, car le problème peut toujours être ramené à ce cas. On aura donc lorsque a est un nombre impair, (voyez Euleri Cale, integr. pag. 49, 50).

f^^ a. = llog(..-l) + |'|'cos^ log j/(l-2.cos ^ + .')

, j; . sin ' ^ v- sin . arc tang < —

Si l'on pose cette expression égale à — 'og (x — 1) -\- P, on aura

/•^"' . x^-'dx=P log ^ , et en intégrant entre les limites x=0 eta:=l, a:" — ! a " .r — 1

n\xm__i^ ;r»-irf.r = P" — P' ~ log a.

On voit aisément que /" = 0, et qu'on ait

P«=l'';^^osi^ ,0,(2-2 cos ^)-l' v.;^ sin^^.arct.

Il s'ensuit donc, lors(pie a est impair