Tome second. }2o

On peut donc toujours supposer n négatif et compris entre ces deux limites très étroites.

La dernière formule est,

«, = - {Y{n + 1) - Vu) (Vin + c') + Vn). Si n est très grand on a

Donc lorsque « est très grand n^ est très peu différent de — 1. C'est la plus grande valeur que puisse avoir w^. On obtient sa plus petite valeur en faisant n = 0, et on aura alors n^ = — c. Donc n^ est contenu entre — 1 et — c. Dans cp qui précède nous avons supposé n positif. Considérons maintenant le cas où n est négatif.

Soit 71 = — «, « étant positif, et soit d'abord n^ = -a^ = (]/(- «) + Vi- « + 1)) {Vi- «) + Vi- « + '•"-)) ;

On volt par là que «^ >«, et si a est extrêmement grand, on a

Lorque

on a a < «, et si « est très grand, «^ est très petit. Lorsque

on a, si a est très grand,

ou plus approché

donc la plus grande valeur de «^ est =1.

«j reçoit sa moindre valeur en faisant a^l; alors on a

Lorsque

d'où l'on tire,

toutes les valeurs de «^ sont renfermées entre les limites,

1 |/(1 c') et 6-^ Cherchons maintenant la valeur de n en n^.

En faisant le produit des quatre expressions suivantes:

„^ — (]/« - V{n 4- 1)) (K« - V{n + c*)) w^ — {Vn - V{n + 1)) (Vn + 1^(« + ^*)) w, — (]/« + V{n + 1)) (K« - Vin + c^)),

Cette valeur est très remarquable parce qu'elle est rationnelle en n^ et en c^. Elle est aussi très commode pour le calcul logarithmique, car on a: log?i=— log4+2log(Mj— f)+2log(«j+c)— logM^ — log(/ïj+l)— l0g(M^+O. La formule trouvée dans ce qui précède, peut aussi servir à trouver une infinité de fonctions elliptiques de la troisième espèce qui sont indéfiniment réductibles à la première espèce. Il suffit de faire

et on aura une intégrale /7(«) déterminée par des logarithmes et par la fonction F.

Soit par exemple n^ =?i, on aura,

et de là Sn" + 4(1 + cyi'' + 6c'' n' — c* = 0.

d'où l'on tire quatre valeurs de ti.

Lorsqu'on connaît une valeur de n de manière que /7(w) puisse s'exprimer par la fonction elliptique de la première espèce, on en peut trouver une infinité d'autres qui jouissent de la même propriété; ce qui est bien évident, car connaissant //(«) on connaît aussi

/7(rtJ, n(nj, n{n^), etc.

et n{n.i), n{n i), //(«^s), etc.

en continuant la suite w, n , n^ . .. vers le côté opposé.

Ainsi on a par exemple

donc on connaît aussi //(?? )

où 1. n^= (y(c+l) + ye}(Vic' + r)-\-Vc)