n^ = — (Vie + 1) - Vc) (V{c^ + c) + Vr

4. n^ = - (Vie + 1) + Vr) (Vie-' + c) - V'). De ces valeurs on déduit ensuite de nouvelles.

On connaît aussi

n(— 1 + 1/(1 — c% donc aussi /Z(w^), où „ ^ [(~l + ^Cl-c-^)r-c^r = 1 •

mais cette valeur rend la formule illusoire à cause que 1 — x'^ est facteur de B.

Méthode de trouve?' une infinité de formules de réductio7i pour les transcendantes elliptiques de la troisième espèce.

Pour trouver une formule de réduction pour les transcendantes elliptiques de la troisième espèce, il s'agit de trouver une relation entre deux de ces fonctions qui ne différent que par rapport au paramètre. Cette relation doit être déduite en différentiant une fonction logarithmique de la forme,

expression qui peut aussi être mise sous cette forme,

^.arc tang ( i^) + A' . arc tang (-^^) + • • •

Suivant ce qu'on a vu dans le chapitre second, il est aisé de voir que la relation entre les deux fonctions doit avoir la forme:

En mettant — :<; au lieu de x on aura

Il faut donc que -^ soit une fonction impaire ou de la forme x.Fix"^). Considérons seulement la fouction ^ . arc tang T-^^^ — )=iS.

En différentiant on aura: •«>

Q^R P^+q^R ' VR N' vR Comme -^ doit avoir la forme C + + , il faut que

/< et //' étant des nombres entiers et positifs quelconques.

En ditférentiant on aura:

2PdP + 2QBdQ + Q^-dR = dN, et en multipliant par P et remettant la valeur de P*,

2{N — Q'R) . dP + 2PQRdQ -\- PQ^dR = PdN.

C'est-à-dire:

„ rfiV ,^ dP hP-i ^

en substituant la valeur de N on aura:

il/= -i- (1-f .^ar^)''"^(l+w,ar^)''■"'(P(»/*ar(l+w^x^)+A.'«,.r(l+n.r^))— (l-fw.r^)(l-f w,.r'). -^

rfpy

donc

-^•(^[(iJ.n + |A'w,)j + ([j.+ [j.')«nix3].P — [l + (« + ni)jr* +n«iJ*]. -^j

~N (1 + nj:2) (1 + K j ji)

Le numérateur de cette fraction doit être de la forme:

11 y a deux cas à examiner selon que Q est une fonction paire ou impaire.

Si Q est une fonction paire P est une fonction impair. Dans ce cas, si u -{-/'' = 2/', la fonction Q est du degré 2r — 2 et P du degré 'i.v — 1: si au contraire (.i -\- fi' = 2i> + I5 1» fonction Q est du degré 2*' — 2, et /* du degré 2r -|- 1.

Si Q est une fonction impaire, P est une fonction paire. Dans ce cas, si jk4-//' = 2j', q est du degré 2^ — 3 et P du degré 2p; si au contraire Il -\- ,t' z= 21) -\- 1, Q et du degré 2r — 1 et P du degré 2i'.

Déterminons maintenant les quantités k et k'.

On a en faisant Q^fx et /* == (fx,

M = -z- [((/M» -f- n'n^x 4- (/t -f- ^i')nn^x^)(px — (1 + nx^) (1 + 7/^^:*) . (f,'x^

Soit x^ ■= — — et x"^ ■=■ , on aura

Mais on a {çxy + ifx)^.(l — x"") (1 — c^;r') = (1 + nx^f.{l + Wj^c*)"' ; donc en faisant x'^ = L et x"^ = ,

donc en substituant,

ou bien

On tire de là

k = JL + J . ( \>-V[{l+n){c-' + n)] ■ piV[(l + »i)(€^+«,)] \ ^

Soit pour abréger,

on aura en substituant ces valeurs:

(k + ^'.r'^ -f x*)A = [-1- +f l + J-V* •\-xA.A4-l-\- /'.r* ; L««i ' \« ' «j/ J

c'est-à-dire :

Donc

Soit

N nn^ (1 + 7i.r*)(l +Wjx2)

on aura

et en substituant les valeurs de / et de /',

^ ^ lx.v/[(l + w)(c^ + «)] g^ ^, ix'V[(l+«i)(c^ + w,)]

donc:

En multipliant par — — et intégrant on aura: \/ R

ou bien en désignant ^L( +w)(c +w;j ^^^ ^^^^^

arctang(-«^) = -^ .F-f ;*t/.(«)/7(/0 + /i'v;(« J./7(/^). On tire de là:

TL{n)=- ^ . ^ .mh) 4^ .F+ -^ . arc tang(-«^) ,

qui est la formule de réduction demandée.

«j est une fonction de n; je la désigne par ;f(w).

En mettant n^ au lieu de n, il faut mettre yX^J^^h •' ^^ place de n^, on a donc,

En substituant cette valeur il vient:

+ Ifarctangr^v^)- J^arctan.(«:^)l.

En général ou aura:

^ 1^ ^ Vl'*) P-y(") ) ""l "l"2 '^l^'s "3^4 ««-in»

Soit par exemple P = 1 + ^*'^j !? = ^•ï'j on aura: (1 + ÔJ.-')' + e'^x^l — x^) (1 — c^o;^) = (1 + »a:*) (1 + n^x'')\ d'où l'on tire:

donc

1 ^- = ^(1 4. „) eVic- + n) + n^ [^(1 + n) - "[/(l + -^)] ,

ce qui donne.

1 — c2 — v/(l + w) + ct/(c2 + «)

ou en réduisant,

Sur la ré.soltition algébrique des équations.

\jn des problèmes les plus intéressants de l'algèbre et celui de la résolution algébrique des équations. Aussi on trouve que presque tous les géomètres d'un rang distingué ont traité ce sujet. On parvint sans difficulté à l'expression générale des racines des équations des quatre premiers degrés. On découvrit une méthode uniforme pour résoudre ces équations et qu'on croyait pouvoir appliquer à une équation d'un degré quelconque : mais malgré tous les efforts de Lagrange et d'autres géomètres distingués on ne put parvenir au but proposé. Cela lit présumer que la résolution des équations générales était impossible algébriquement: mais c'est sur quoi on ne pouvait pas décider, attendu que la méthode adoptée n'aurait pu conduire à des conclusions certaines que dans le cas où les équations étaient résolubles. En effet, on se proposait de résoudre les équations, sans savoir si cela était possible. Dans ce cas, on pourrait bien panenir à la résolution, quoique cela ne fût nullement certain ; mais si par malheur la résolution était impossible, on aurait pu la chercher une éternité, sans la trouver. Pour parvenir infailliblement à quelque chose dans cette matière, il faut donc prendre une autre route. On doit donner au problème une telle forme qu'il soit toujours possible de le résoudre, ce qu'on peut toujours faire d'un problème quelconque. Au lieu de demander une relation dont on ne sait pas si elle existe ou non, il faut demander si une telle relation est en effet; possible. Par exemple, dans le calcul intégral au lieu de chercher, â l'aide d'une espèce de tâtonnement et de divination, d'intégrer les formules différentielles, il faut plutôt chercher, s'il est possible de les intégrer de telle ou telle manière. En présentant un problème de cette manière l'énoncé même contient le germe de la solution, et montre la route qu'il faut prendre; et je crois qu'il