Tome second. "ï

y aura peu de cas où l'on ne parviendrait à des propositions plus ou moins importantes, dans le cas même où l'on ne saurait répondre complètement à la question à cause de la complication des calculs. Ce qui a fait que cette méthode, qui sans contredit est la seule scientifitpie parce qu'elle est la seule dont on sait d'avance qu'elle peut conduire au but proposé, a été peu usitée dans les mathématiques, c'est l'extrême complication à laquelle elle parait être assujettie dans la plupart des problèmes, surtout lorsqu'ils ont une certaine généralité; mais dans bien des cas cette complication n'est qu'apparente et s'évanouira dès le premier abord. J'ai traité plusieurs branches de l'analyse de cette manière, et quoique je me sois souvent proposé des problèmes qui ont surpassé mes forces, je suis néanmoins parvenu à un «jrand nombre de résultats généraux qui jettent un grand jour sur la nature des quantités dont la connaissance est l'objet des mathématiques. C'est surtout dans le calcul intégral où cette méthode est facile à appliquer. Je donnerai dans une autre occasion les résultats auxquels je suis parvenu dans ces recherches, et le procédé qui m'y a conduit Dans ce mémoire je vais traiter le problème de la résolution algébrique des équations, dans toute sa généralité. Le premier, et, si je ne me trompe, le seul qui avant moi ait cherché à démontrer l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales, est le géomètre Ruffini; mais son mémoire est tellement compliqué qu'il est très difficile de juger de la justesse de son raisonnement. Il me parait que son raisonnement n'est pas toujours satisfaisant. Je crois que la démonstration que j'ai donnée de ce théorème, ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur: mais elle n'a pas toute la simplicité dont elle est susceptible. Je suis parvenu à une autre démonstration, fondée sur les mêmes principes, qui est plus simple en cherchant à résoudre un problème plus général.

On sait que toute expression algébrique peut satisfaire à une équation d'un degré plus ou moins élevé, selon la nature particulière de cette expression. 11 y a de cette manière une infinité d'équations particulières qui sont résolubles algébriquement. De là dérivent naturellement les deux problèmes suivants, dont la solution complète comprend toute la théorie de la résolution algébrique des équations, savoir:

1. Trouver toutes les équations d^un degré déterminé quelconque qui soient résolubles algébriquement.

2. Juger si une équation donnée est résoluble algébriquement, ou non.

C'est la considération de ces deux problèmes qui est l'objet de ce mémoire, et quoique nous n'en donnions pas la solution complète, nous indiquerons néanmoins des moyens sûrs pour y parvenir. On voit que ces deux problèmes sont intimement liés entre eux, en sorte que la solution du premier doit conduire à celle du second. Dans le fond, ces deux tliéorèmes sont les mêmes. Dans le cours des reclierches on parviendra à plusieurs propositions générales sur les équations par rapport à leur résolubilité et à la forme des racines. Ce sont ces propriétés générales en quoi consiste véritablement la tliéorie dos équations quant à leur résolution algébrique, car il importe peu si l'on sait qu'une équation d'une forme particulière est résoluble ou non. Une de ces propriétés générales est par exemple qu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales passées le quatrième degré.

Pour plus de clarté nous allons d'abord analyser en peu de mots le problème proposé.

D'abord qu'est ce que cela veut dire que de satisfaire algébriquement à une équation algébrique? Avant tout il faut fixer la notion de cette expression. Lorsqu'il s'agit d'une équation générale, dont tous les coefficiens peuvent par conséquent être regardés comme des variables indépendantes, la résolution d'une telle équation doit consister à exprimer les racines en fonctions algébriques des coelticiens. Ces fonctions pourront, selon la conception \Tilgaire de ce mot, contenir des quantités constantes quelconques, algébriques, ou non. On pourra y ajouter, si Ton veut, comme condition particulière, que ces constantes seront de même des quantités algébriques; ce qui modifierait un peu le problème En général, il y a deux cas différents selon que les coefficiens contiendront des quantités variables, ou non. Dans le premier cas, les coefficiens seront des fojictions rationnelles d'un certain nombre de quantités x, r, z', zf, etc. qui contiendront au moins une variable indépendante x. Nous supposons que les autres sont des fonctions quelconques de celle-là. Dans ce cas, nous dirons qu'on peut satisfaire algébriquement à l'équation proposée, si l'on peut y satisfaire en mettant au lieu de l'inconnu une fonction algébrique de X, z, z', zf, etc. Nous dirons de même que l'équation est résoluble algébriquement, si l'on peut exprimer toutes les racines de cette manière. L'expression d'une racine pourra, dans ce cas de coefficiens variables, contenir des quantités constantes quelconques algébriques, ou non.

Dans le second cas, où l'on regarde les coefficiens comme des quantités constantes, on peut concevoir que ces coefficiens sont formés d'autres quantités constantes à l'aide d'opérations rationnelles. Désignons ces dernières quantités par «, /j, y,..., nous dirons qu'on peut satisfaire algébriquement à l'équation proposée, s'il est possible d'exprimer une ou plusieurs racines en «, f], y, . . . à l'aide d'opérations algébriques. Si l'on peut exprimer toutes les racines de cette manière, nous dirons que l'équation est résoluble algébriquement; «, /S, y,... pourront d'ailleurs être quelconques, algébriques ou non. Dans le cas particulier où tous les coefficiens sont rationnels, on peut donc satisfaire algébriquement à l'équation, si une ou plusieurs de ses racines sont des quantités algébriques.

Nous avons distingué deux espèces d'équations, celles qui sont résolubles algébriquement, et celles auxquelles on peut satisfaire algébriquement. En effet, on sait qu'il y a des équations dont une ou plusieurs racines sont algébriques, sans qu'on puisse affirmer la même cliose sur toutes les racines.

Cela posé, la marcbe naturelle pour résoudre notre problème se prête d'elle même d'après l'énoncé, savoir il faut substituer dans l'équation proposée, à la place de l'inconu, l'expression algébrique la plus générale, et ensuite chercher s'il est possible de lui satisfaire de cette manière. Pour cela il faut avoir l'expression générale d'une quantité algébrique et d'une fonction algébrique. On aura donc d'abord le problème suivant:

"Trouver la forme la plus générale d'une expression algébrique."

Après avoir trouvé cette forme, on aura l'expression d'une racine algébrique d'une équation algébrique quelconque.

La première condition à laquelle cette expression algébrique doit être assujettie, est qu'elle doit satisfaire à une équation algébrique. Or, comme on sait, elle peut le faire dans toute sa généralité. Cette première condition est donc remplie d'elle-même. Pour savoir maintenant si elle peut être particularisée de sorte qu'elle satisfasse à l'équation proposée, il faut chercher toutes les équations auxquelles elle puisse satisfaire, et ensuite comparer ces équations à la proposée. On aura donc ce problème:

"Trouver toutes les équations possibles auxquelles une fonction algébrique puisse satisfaire."

Il est clair qu'une même fonction algébrique peut satisfaire à une infinité d'équations différentes. Donc lorsque l'équation proposée peut être satisfaite

aljîébriquement, il y aura deux cas; ou cette équation sera la moins élevée à laquelle elle puisse satisfaire, ou il doit exister une autre de la même forme à laquelle elle puisse satisfaire, qui est d'un degré moins élevé, et qui est la plus simple. Dans le premier cas, nous dirons que l'équation est irréductible, et dans l'autre, «pi'elle est réditctihle. Le problème proposé se décompose ainsi en ces deux autres: