Juger si une équation proposée est réductible, ou non
2. "Juger si une équation irréductible peut être satisfaite algébriquement, ou non."
Considérons d'abord le second problème. L'équation proposée étant irréductible, elle est par là, la plus simple équation à laquelle l'expression algébrique cherchée pourra satisfaire. Donc pour s'assurer si elle peut être satisfaite ou non, il faut chercher l'équation la moins élevée à laquelle une expression algébrique puisse satisfaire, et ensuite comparer cette équation à l'équation proposée. De là naît le problème:
"Trouver l'équation la moins élevée à laquelle une fonction algébrique
puisse satisfaire." La solution de ce problème sera l'objet d'un second paragraphe. On aura ainsi toutes les équations irréductibles qui pourront être satisfaites algébriquement. L'analyse conduit aux théorèmes suivants:
1. "Si une équation irréductible peut être satisfaite algébriquement, elle est en même temps résoluble algébriquement, et toutes les racines pourront être représentées par la même expression en donnant à des radicaux qui s'y trouvent, toutes leurs valeurs."
2. "Si une expression algébrique satisfait à une équation quelconque, on pourra toujours lui donner une telle forme qu'elle y satisfasse encore, en attribuant à tous les différents radicaux dont elle se compose, toutes les valeurs dont ils sont susceptibles."
5. "Le degré d'une équation irréductible, résoluble algébriquement, est nécessairement le produit d'un certain nombre d'exposans de radicaux qui se trouvent dans l'expression des racines.
Ayant ainsi montré comment on peut parvenir à l'équation la moins élevée à laquelle pourra satisfaire une expression algébrique quelconque, la marche la plus naturelle serait de former cette équation, et de la comparer à l'équation proposée, mais on tombe ici dans des difficultés qui paraissent insurmontables.
Car quoiqu'on ait assigné une règle générale pour former dans chaque cas particulier l'équation la plus simple, on est loin d'avoir par là l'équation même. Et quand même on parviendrait à trouver cette équation, comment juger si des coefficiens d'une telle complication pouvaient en effet être égaux à ceux de l'équation proposée. Mais je suis parvenu au but proposé en suivant une autre route, savoir en généralisant le problème.
D'abord l'équation étant donnée, son degré le sera de même. 11 se présente donc maintenant d'abord ce problème:
"Trouver l'expression algébrique la plus générale qui puisse satisfaire à une équation d'un degré donné." On est conduit naturellement à considérer deux cas, selon que le degré de l'équation est un nombre premier ou non.
Quoique nous n'ayons pas donné la solution cemplète de ce problème, néanmoins la marche naturelle de la solution a conduit à plusieurs propositions générales, très remarquables en elles-mêmes, et qui ont conduit à la solution du problème dont nous nous occupons. Les plus importantes de ces propositions sont les suivantes:
i. "Si une équation irréductible d'un degré premier ;U est résoluble algébriquement, les racines auront la forme suivante:
y = ^ + l/i?, + !//?, + ... + ]//?,„ où A est une quantité rationnelle, et R^, R^, . . . Ry,-i les racines d'une équation du degré // — 1."
2. "Si une équation irréductible, dont le degré est une puissance d'un nombre premier /<", est résoluble algébriquement, il doit arriver l'un de deux, ou l'équation est décomposable en fi'^'^ équations, chacune du degré /ii^, et dont les coefficiens dépendront des équations du degré fi'^^; ou bien on pourra exprimer une quelconque des racines par la formule
y = A + vn,-{-VR,+ ... + VR.,
où A est une quantité rationnelle, et R^, R^, . . . R^ des racines d'une même équation du degré v, le dernier nombre étant tout au plus égal à
fl —1. ^
3. "Si une équation irréductible d'un degré /u, divisible par des nombres premiers différents entre eux, est résoluble algébriquement, on peut toujours décomposer fi en deux facteurs fi^ et /.t^, de sorte que l'équation
proposée soit décomposable ea //, équations, chacune du degré fj^, et dont les coefûcieus dépendent d'équations du degré fii" 4. "Si une équation irréductil)ie du degré a', où ^ est premier, est résoluble algébriquement, on pourra toujours exprimer une quelconque des racines par la formule:
où /' désigne une fonction rationnelle et symétrique des radicaux entre les parenthèses, et//j, 7?^, . . . Ra des racines d'une même équation dont le degré est tout au plus égal à /<'' — 1."
Ces théorèmes sont les plus remarquables auxquels je suis paiTenu, mais outre cela on trouvera dans le cours du mémoire une foule d'autres propriétés générales des racines, propriétés qu'il sera trop long de rapporter ici. Je dirai seulement un mot sur la nature des radicaux qui pourront se trouver dans l'expression des racines. D'abord le troisième théorème fait voir que, si le degré d'une équation irréductible est représenté par
il ne pourra dans l'expression des racines se trouver d'autres radicaux que ceux qui pourront se trouver dans l'expression des racines d'équations des degrés /*^'i, //^^a, //j^s, . . . //^^'o,.
A l'aide des théorèmes généraux auquels on est ainsi parvenu, on en a ensuite déduit une règle générale pour reconnaître si une équation proposée est résoluble, ou non. En effet, on est conduit à ce résultat remarquable que, si une équation irréductible est résoluble algébriquement, on pourra dans tous les cas trouver les racines à l'aide de la méthode de Lagrange proposée pour la résolution des équations: savoir, en suivant la marche de Lagrange on doit parvenir à des équations qui aient au moins une racine qui puisse s'exprimer rationnellement en les coefficiens. Il y a plus, Lagrange a fait voir qu'on peut ramener la résolution d'une équation du degré à celle de équa-
tions respectivement des degrés à l'aide d'une équation du de-
gré . Nous démontrerons que c'est cette équation qui doit nécessaire-
ment avoir au moins une racine exprimable rationnellement en ses coefficiens pour que l'équation proposée soit résoluhle algébriquement.
Donc, si cette condition n'est pas remplie, c'est une preuve incontestable que l'équation n'est pas résoluble: mais il est à remarquer qu'elle peut être
remplie sans que l'équation soit en effet résoluble algébriquement. Pour le reconnaître, il faut encore soumettre les équations auxiliaires au même examen. Cependant dans le cas où le degré de la proposée est un nombre premier, la première condition suffira toujours, comme nous le montrerons. De ce qui précède, il a été facile ensuite de tirer comme corollaire qu'il est impossible de résoudre les équations générales.
Détermination de la forme générale d'une expression algébrique.
Comme nous l'avons remarqué plus haut, il faut avant tout connaître la forme générale d'une expression algébrique. Cette forme doit se déduire d'une définition générale que voici.
"Une quantité y est dite pouvoir s'exprimer algébriquement en plusieurs autres quantités, lorsqu'on peut la former de ces dernières à l'aide d'un nombre limité des opérations suivantes:
1. Addition. 2. Soustraction. 3. Multiplication. 4 Division. 5. Extraction des racines avec des exposans premiers." Nous n'avons pas parmi ces opérations compté Télévations à des puissances entières et l'extraction des racines avec des exposans composés, parce qu'elles ne sont pas nécessaires, la première étant contenue sous la multiplication, et le seconde sous l'extraction des racines avec des exposans premiers.
Si les trois premières opérations ci-dessus sont seules nécess^iires pour former la quantité y, elle est dite rationnelle et entih^e en les quantités connues, et si les quatre premières opérations sont seules nécessaires, elle est dite rationnelle. D'après la nature des quantités connues nous ferons les distinctions suivantes :
\. Une quantité qui peut s'exprimer algébriquement en Tunite s'appelle un nombre algébrique; si elle peut s'exprimer rationnellement en l'unité, elle s'appelle un nombre rationnel, et si elle peut être formée de l'unité à l'aide de Taddition, soustraction et multiplication, elle s'appelle un nombre entier.
2. Si les quantités connues contiennent une ou plusieurs quantités variables, la quantité y est dite fonction algébrique, rationnelle ou entière de ces quantités selon la nature des opérations nécessaires pour la former. Dans ce cas on regarde comme quantité connue toute quantité constante.
A l'aide de ces définitions on établira sans peine les propositions suivantes, connues depuis lon^ temps:
1 Une (quantité y exprimable entièrement en les quantités a^, a^, . . . a,„ peut être fonnée par latldition d'un nombre limité de termes de la forme
^. a,"' 1. «2"'2 ... «„"''', A étant un nombre entier et ni^, m^, . . . /«,. des nombre entiers en y comprenant zéro.
2. Une quantité y exprimable rationnellement en «j, ««...«n pourra toujours se mettre sous la forme
où ?/j et y^ sont exprimés entièrement en les mêmes quantités. 5. Un nombre rationnel pourra toujours être réduite à la forme
yi
où y^ et y.^ sont des nombres entiers positifs, premiers entre eux.
4. Une fonction entière y de plusieurs quantités variables x^, x^,...x„ pourra toujours être formée par l'addition d'un nombre limité de termes de la forme
A.x^^i .x^ï . . . .r„"'", où A est une quantité constante et m^, m^, . . . ni„ des nombres entiers en y comprenant zéro.
3. Une fonction rationnelle y de plusieurs quantités x^, x^. . . x„ pourra toujours se réduire à la forme
yi
où y^ et y^ sont des fonctions entières qui n'ont point de facteur commun. Cela posé, il nous reste à déterminer la forme des expressions algébriques en général.
Quelle que soit la forme d'une expression algébrique, elle doit d'abord contenir un nombre limité de radicaux. Désignons tous les radicaux différents par.
H, Us f'--. \L'
e( il est clair que la quantité proposée pourra s'exprimer rationnellement en ces radicaux et en les quantités connues. Désignons cette quantité par
y = f{yR^, Vn„...VR„).
