Tome second

Les radicaux qiii composent une expression algébriijue peuvent être de deux espèces: ou ils sont nécessaires pour former l'expression, ou non. S'ils ne sont pas nécessaires, on peut les ciiasser, et alors l'expression proposée contiendra un nombre moindre de radicaux. De là il suit qu'on peut toujours supposer que les radicaux soient tels qu'il soit impossible d'exprimer l'expression algébrique par une partie des radicaux qui s'y trouvent.

Cela posé, comme le nombre des radicaux est limité, il s'ensuit que parmi les radicaux, il se doit trouver au moins un tpii ne soit pas contenu sous un

autre radical. Supposons que }^lîi soit un tel radical, la quantité B^ pourra toujours s'exprimer rationnellement en les autres radicaux et les quantités connues.

Maintenant y est une fonction rationnelle des radicaux et des quantités connues; donc on peut faire

où «1 et ^2 sont des expressions entières des radicaux et des quantités connues. Donc on pourra d'al)ord faire

y^ ^ P„ + Pi ■ VR^ + P^WRJ +.-. + P, WRJ

Qo+Qi vR,+qJ<VRJ +...+ q.,WRj où Pq' ^u • • • Qo-> Qi-> • • • ^^^^ ^^'^ expressions rationnelles des quantités connues et des autres radicaux. Or on peut encore simplifier beaucoup cette expression. D'abord désignons par

les valeurs que prendra y^ en mettant au lieu de Y^^ les valeurs fo]/i?,,

IX, V-y

(o^y R^ . . . ioi'-~^ .yR^, to étant une racine imaginaire de l'équation o^- — 1=0:

ou sait que le radical ]/ ^j et la quantité w disparaîtront de l'expression du produit

et que l'expression T/j.yj.y'a .. .y.^'!^'"') sera rationnelle eu |//?i sans lo. On aura donc

où Zi est entier en les quantités connues et en les radicaux H^^', ^gi^^, . . ., et 2

1 j 1 entier en les quantités connues et les radicaux /i^^^, B^i^:, B^^^ . . .

En faisant donc

on aura

Or on a

R^^'=n„ i?, i^. =/.\./?/. etc.

donc on pourra enfin supposer

JL i. ïiizL

où /*„, Pj, . . • ^iJL,-i et i^j pourront s'exprimer ratioiineUement en les quanti-

tés connues et les radicaux ^2*^= , R^^^^ , etc.

Maintenant les quantités P^, P^, . . .R^ étant des expressions algébriques,

mais contenant un radical de moins, on pourra les mettre sous une forme sem-

blable à celle de y. Et si l'on désigne par R^- un radical qui se trouve contenu sous un des autres radicaux, les expressions dont il s'agit pourront se mettre sous la forme

P', + P\.R^^ + P'.,.R^^ Jr ■ ■ ■ + P'^.-,-R^, où R^, P'„, P\,. • ■ P'ii^-i pourront s'exprimer rationnellement en les quantités

connues et les radicaux ^3*^5, ^4^^^, etc.

En continuant ainsi, ou doit panenir enfin à des expressions qui ne contiendront aucun radical, et qui par conséquent seront rationnelles en les quantités connues.

Dans ce qui précède nous avons besoin de distinguer les expressions algébriques selon le nombre des radicaux quelles contiennent. Nous nous servirons de l'expression suivante. Une expression algébrique qui, outre les quantités connues, ne contient qu'un nombre de ?i radicaux sera appelée exprès-

sion algébrique de l'ordre n. Ainsi pai' exemple en supposant connues les quantités ]/2 et V^tt, la quantité

|/2 4 ]/(3 — 1/2 + V^) + \ [5 + K^ + K(3 — K2 + V^rr)] sera une expression algébrique du second ordre, car outre les quantités |/2, |/;r elle ne contient que les deux radicaux

l/"(3 — V^ + V^\ V{5 + V^ + V{^ -V2 + Vrt)).

Détenni'i/atiort de l'équation la moins élevée à laquelle peut satisfaire une expression

algébrique donnée.

Pour simplifler les expressions, nous nous servirons des notations suivantes :

i. Nous désignerons par ^„, B,„, C„, . . . des expressions algébriques de Tordre m.

2. Si dans A^ = Pf^-\- p^.y R-\- . . .-\-i)^^.\YR) on substitue à la

place de yR successivement a.y^R, to*.]/^, . . . wh^~*.]/ i?, où w est une racine imaginaire de l'équation wH- — 1 = 0, nous désignerons le produit de toutes les quantités ainsi formées par IIA„.